В конце § 66 было отмечено, что формула Дебая фактически неприменима к кристаллам сложной структуры. Сюда относят- ся, в частности, сильно анизотропные кристаллические структу- ры «слоистого» и «цепочечного» типов. Первые можно описать как состоящие из параллельных слоев атомов, причем энергия взаимодействия атомов внутри каждого слоя велика по срав- нению с энергией связи соседних слоев. Аналогичным образом цепочечные структуры построены из сравнительно слабо свя- занных друг с другом параллельных цепочек атомов. Спектр звуковых колебаний таких кристаллов будет характеризоваться не одной, а несколькими дебаевскими температурами, различ- ными по порядку величины. Закон Т3 для теплоемкости бу- дет иметь при этом место лишь при температурах, малых по сравнению с наименьшей из дебаевских температур; в проме- жуточных же областях возникают новые предельные законы (И.М.Лифшиц, 1952). Начнем со случая слоистых структур. Наибольшей жест- костью такая решетка обладает по отношению к колебаниям атомов в плоскости слоев (которую выберем в качестве плос- кости ху)\ жесткости же решетки по отношению к колебаниям слоев как целых друг относительно друга сравнительно очень малы. Эти свойства приводят к характеру зависимости частоты от волнового вектора (закону дисперсии) в трех ветвях спек- тра звуковых волн, выражающемуся следующими формулами, которые мы выпишем здесь в предположении гексагональной 240 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ГЛ. VI симметрии кристалла: Ш\ = Iff*:2 + «§*? Ь>\ = t/|x2 + U2*2, о;32 = ^2 + и\к\ (х2 = fe2 + fc2), l j причем U\1U2 ^> ^3,^4. Здесь скорости распространения ?/]_, [/2 относятся к колебаниям атомов в плоскости слоев, и% (в ветвях ио\ и U02) — к колебаниям сдвига слоев относительно друг друга,— щ к колебаниям относительного расстояния между слоямиг) . Выражения F8.1), однако, еще недостаточны для исследо- вания тепловых свойств кристалла. Эти выражения предствля- ют собой в действительности лишь первые члены разложения функций о;2(к) по степеням волнового вектора. Но ввиду «ано- мальной» малости некоторых коэффициентов в квадратичных членах этих разложений начинают играть существенную роль также и члены следующего, четвертого порядка2) . Для выясне- ния их вида замечаем, что при полном пренебрежении связью между слоями законы дисперсии волн имели бы вид cu2 = U2x2, cu2 = U2x2, а,2 = 72х4- F8.2) Частоты ио\ и ио2 отвечают продольным колебаниям в плоскости слоев, а частота оо% — поперечным колебаниям, представляющим собой в этом случае волны изгиба слоев, рассматриваемых как свободные упругие тонкие пластинки (ср. VII, §25). Поэтому, пренебрегая в членах четвертого порядка малыми слагаемыми, зависящими от связи между слоями, напишем окончательно за- кон дисперсии волн в виде ^1,2 = и1^2 + изк^ ^з = и\™2 + и1к1 + 72^4- F8.3) 1) Предположение о гексагональной симметрии кристалла не имеет прин- ципиального значения и сделано лишь с целью придать формулам F8.1) большую определенность. Скорости Ui,...,U4 выражаются через модули упругости Xikirn такого кристалла так: Ul = Xxyxy/p, U2 = Xxxxx/p, US = Xxzxz/p, U4 = Xzzzz/p, где р—плотность (эти формулы можно получить из выражений, найден- ных в задаче 2 к VII, § 23, путем разложения их по степеням модулей \xzxz-, Xzzzz, Xxxzz, которые для слоистого кристалла малы по сравнению с моде- лями \xxxx, ^хуху)- Указанный в тексте характер колебаний ясен из смысла отдельных компонент тензора \ikim- 2) Уравнение, определяющее закон дисперсии волн, представляет собой ал- гебраическое уравнение относительно и2 (см. следующий параграф). По- этому регулярно разлагается по степеням кх, ку, kz именно функция cj2(k). Ввиду четности этой функции (см. § 69) разложение содержит лишь члены четных степеней. СИЛЬНО АНИЗОТРОПНЫЕ КРИСТАЛЛЫ 241 Будем считать, что Ui ~ ?/2, ^з ~ Щ и введем обозначе- ние для малого отношения г/ ~ г^/[/, характеризующего отно- сительную величину энергии связи между слоями по сравнению с энергией связи между атомами в одном слое. Введем также дебаевскую температуру (точнее — наибольшую из дебаевских температур) как в = ?ьи)т, где иот ~ U/a — предельная часто- та «жестких» колебаний (а — постоянная решетки); предельная же частота «мягких» колебаний мала по сравнению с иот в отно- шении г/. Наконец, естественно считать, что предельная часто- та волн изгиба— того же порядка или меньше чем шт] пусть она ~ 00т1) . В этих условиях выясним характер температурной зависимости теплоемкости кристалла при Т <С Э2) . С учетом вклада от звуковых колебаний, свободная энергия тела определяется формулой ^l F8.4) где суммирование ведется по трем ветвям спектра, а интегриро- вание—по всей области изменения волнового вектора3) . Если Т ^> 7/Э, то можно пренебречь связью между слоя- ми и соответственно воспользоваться спектром F8.2). Основной вклад в свободную энергию возникает от «изгибной» ветви оо%. Ввиду быстрой сходимости при Т <С 0 интегрирование по dkxdky можно распространить от — оо до оо. Заменив его интегрирова- нием по 2тгхс/х, путем очевидной подстановки найдем оо =— [ ln(l - e~x)dx. nl J о о Интегрирование по dkz (по области \kz\ ^ fc2rnax ~ 1/а) дает не зависящий от температуры множитель ~ 1/а. В результате найдем, что температурная часть свободной энергии пропорцио- нальна Т2 и соответственно для теплоемкости С оо Т при ф <^Т <^@. F8.5) При Т ^С ^/Э в интегралах F8.4) надо писать для ша(к) их полные выражения F8.3), а интегрирование по всем компонен- ) Другими словами, полагаем, что 7 ^ шта ~ Ua. Подчеркнем, что ко- эффициент 7, связанный с «поперечной жесткостью» слоев, не выражается через одни только упругие модули \ikim- ) Высокие же температуры, Т ^> 0, составляют классическую область, в которой теплоемкость С = const. 3) То есть по одной ячейке обратной решетки—см. ниже формулу G1.7). 242 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ГЛ. VI там к можно распространить от — оо до оо. Получающаяся таким образом температурная зависимость свободной энергии довольно сложна, но в ней можно выделить еще два предельных случая. Если Т ^> г/2в, то основной вклад снова возникает от ветви а;з, причем в ней можно опустить член с х2, т.е. писать Действительно, основную роль в интеграле по и dn играют при этом значения Н^н2 ~ Т, а тогда Нин ~ Ни{Т/Н^I/2 ~ ~ Т(г}2®/ТI/2 < Т. Теперь находим ОО ОО / / In 1 — ехр I Ju\k2 + 72^4 ) 2тгн dn dkz = const , -оо О и в результате для теплоемкости СоэТ2 при т/26<Т <т/6. F8.6) Наконец, при Т <С г/2в тем же способом убеждаемся, что в F8.3) можно опустить член с х4, после чего мы возвращаемся к звуковому спектру F8.1) с линейной зависимостью ио от вели- чины /с, и для теплоемкости получается закон Дебая СооТ3 при Т^г]2@. F8.7) Аналогичным путем можно рассмотреть кристаллы цепочеч- ной структуры (направление цепей выбираем в качестве оси z). В этом случае законы дисперсии в трех ветвях спектра звуковых волн имеют вид \2 \2 + 72?;4, и)\ = и\н2 + Uik2z, F8.8) причем теперь щ, U2, и% ^С С/4 1) • В пренебреж:ении взаимодей- ствием между цепями законы F8.8) сводятся к ветвь о;з отвечает продольным колебаниям атомов в цепях, а ветви ио\ и U02 — волнам изгиба цепей, рассматриваемых как упругие нити. Полагая щ ~ и% ~ ^з и снова вводя малый па- раметр г/ ~ и/U и дебаевскую температуру в ~ HU/а, можно Здесь снова предположена, для определенности, гексагональная симме- трия— на этот раз вокруг направления цепей. Скорости щ,..., Ua выража- ются через модули упругости теми же формулами, которые были приведены в примеч. на с. 240, но теперь модули Ажжжж, Ххуху, ^xzxz, ^xxzz малы по срав- нению С \zzzz- § 69 КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ 243 получить следующие предельные законы температурной зависи- мости теплоемкости: С со Т1/2 при г/в < Т < в, С оо Т5/2 при г/2в < Т < г/в, F8.9)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Сильно анизотропные кристаллы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Здесь снова предположена, для определенности, гексагональная симме- 