Таким образом, в обоих предельных случаях — низких и вы- соких температур — оказывается возможным произвести доста- точно полное вычисление термодинамических величин твердого Эта поправка обычно отрицательна, чему соответствует А > 0 в F5.11). 234 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ГЛ. VI тела. В промежуточной же области температур такое вычисле- ние в общем виде невозможно, так как сумма по частотам F4.1) существенно зависит от конкретного распределения частот по всему спектру колебаний данного тела. Вследствие этого представляет интерес построение единой интерполяционной формулы, которая давала бы правильные значения термодинамических величин в обоих предельных слу- чаях. Решение задачи об отыскании такой формулы, разумеется, неоднозначно. Однако следует ожидать, что разумным образом построенная интерполяционная формула будет, по крайней ме- ре качественно, правильно описывать поведение тела и во всей промежуточной области. Вид термодинамических величин твердого тела при низ- ких температурах определяется распределением F4.4) частот в спектре колебаний. При высоких же температурах существен- но, что возбуждены все 37W колебаний. Поэтому для построе- ния искомой интерполяционной формулы естественно исходить из модели, в которой на всем протяжении спектра колебаний частоты распределены по закону F4.4) (который в действи- тельности справедлив лишь для малых частот), причем спектр, начинаясь от со = 0, обрывается при некоторой конечной часто- те ио = иош\ последняя определяется условием равенства полного числа колебаний правильному значению 37W: UJm — / и J 2ъгп6 J 2ъгп6 О откуда о 1 /Q и;т=п1 1 . F6.1) Таким образом, распределение частот в рассматриваемой модели дается формулой 9Nu^-^- {ио ^ иот) F6.2) для числа колебаний с частотами в интервале duo (мы выразили п через иот). Переходя в F4.1) от суммы к интегралу, получим теперь UJm 66 ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ДЕБАЯ 235 Введем так называемую дебаевскую или характеристическую температуру тела 0, определив ее как в = НоОт (в есть, разумеется, функция плотности тела). Тогда в/т ^y f z2\n(l -e-z)dz. Интегрируя по частям и вводя функцию Дебая z3dz можно переписать эту формулу в виде F = OF Для энергии Е = F — Т— получим отсюда и для теплоемкости F6.3) F6.4) F6.5) F6.6) F6.7) F6.8) На рис. 8 дан график зависимости C/CNv) от Т/О. Формулы F6.6)-F6.8) и пред- ставляют собой искомые интерпо- 1?0 ляционные формулы для термо- о,8 динамических величин твердого тела (P.Debye, 1912). Легко видеть, что в обоих 0,4 предельных случаях эти форму- 0 2 лы действительно дают правиль- ные результаты. При Т <С Э (низкие температуры) аргумент функции Дебая в/Т велик. В первом приближении можно заменить жнаоов верхнем пределе интеграла в определении F6.5) функции D(x)] получающийся с 3Nu I J 1 **~— ^ — Т О 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 Рис. 8 236 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ГЛ. VI определенный интеграл равен тг4/15, так что1) D(x) « ^ (х » 1). Подставляя это в F6.8), получим AK, («.в, что совпадает с F4.9). При высоких же температурах (Т ^> Э) аргумент функции Дебая мал; при ж < 1 в первом приближе- нии D(x) ~ I2) , и из F6.8) имеем: С = 37W, снова в полном согласии с ранее полученным результатом F5.5K) . Полезно указать, что фактический ход функции D(x) при- водит к тому, что критерием применимости предельных законов для теплоемкости является относительная величина Т и Э/4: теплоемкость можно считать постоянной при Т > 6/4 и про- порциональной Т3 при Т < 6/44) . Согласно формуле Дебая теплоемкость есть некоторая уни- версальная функция отношения в/Т. Другими словами, соглас- но этой формуле должны быть одинаковыми теплоемкости раз- личных тел находящихся, как говорят, в соответственных со- стояниях, т. е. обладающих одинаковыми в/Т. ) Заменив интеграл J на J — J, разлагая {ez — 1) в подынтегральном О Ох выражении второго интеграла по степеням e~z и интегрируя почленно, най- дем, что при х ^> 1 X Приведенное в тексте значение справедливо, следовательно, с точностью до экспоненциально малых членов. 2)При х <С 1 прямое разложение подынтегрального выражения по степе- ням х и почленное интегрирование дают D(x) = 1- -Х+—Х2 - ... У J 8 20 3) С точностью до следующего члена разложения теплоемкость при высо- ких температурах дается формулой 1 ~ 20 ) Укажем для примера значения 0 для ряда веществ, полученные из дан- ных об их теплоемкости: РЬ: 90 К; Ag: 210 К; А1: 400 К; КВг: 180 К; NaCl: 280 К; в особенности велико значение 0 у алмаза, порядка 2000 К. § 67 ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 237 Формула Дебая хорошо (в той степени в которой этого вооб- ще можно требовать от интерполяционной формулы) передает ход теплоемкости с температурой лишь у ряда тел с простыми кристаллическими решетками— у большинства элементов и у ряда простых соединений (например, галоидных солей). К те- лам с более сложной структурой она фактически неприменима; это вполне естественно, поскольку у таких тел спектр колебаний черезвычайно сложен.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Интерполяционная формула Дебая» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Эта поправка обычно отрицательна, чему соответствует А > 0 в F5.11). 