Рассмотрим газ, состоящий из элементарных частиц, или ча- стиц, которые в данных условиях могут рассматриваться как элементарные. Как уже было в свое время указано, к обычным атомным или молекулярным газам распределения Ферми или 7 Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, том V 194 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ Бозе вообще не приходится применять, так как эти газы фак- тически всегда с достаточной точностью описываются распреде- лением Больцмана. Все выводимые в этом параграфе формулы имеют совершен- но аналогичный вид для обеих статистик Ферми и Бозе, отли- чаясь лишь одним знаком. Ниже везде верхний знак соответ- ствует статистике Ферми, а нижний — статистике Бозе. Энергия элементарной частицы сводится к кинетической энергии ее поступательного движения, которое всегда квази- классично. Поэтому имеем ?=7^(р1+Р2у+р1), E6.1) а в функции распределения переходим обычным образом к рас- пределению по фазовому пространству частицы. При этом на- до иметь в виду, что при данном значении импульса состояние частицы определяется также направлением ее спина. Поэтому число частиц в элементе фазового пространства dpxdpydpzdV получится умножением распределения E3.2) или E4.2) на где g = 2s + 1, s — спин частицы, т. е. равно dN= . gdJT . E6.2) e( Интегрируя по dV (что сводится к замене dV на полный объем V газа), получим распределение по компонентам импульса частиц, а переходя к сферическим координатам в пространстве импуль- сов и интегрируя по углам, найдем распределение по абсолютной величине импульса (где е = р2/2т), или распределение по энергии ± Г Эти формулы заменяют классическое распределение Максвелла. Интегрируя E6.4) по ск, получим полное число частиц в газе оо y/Ede § 56 ФЕРМИ- И БОЗЕ-ГАЗЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ 195 Вводя новую переменную интегрировани е/Т = z, перепишем это равенство в виде N _ g(mT)s/2 О Эта формула определяет в неявном виде химический потенциал газа \i как функцию от температуры Т и плотности N/V. Совершая такой же переход от суммирования к интегриро- ванию в формулах E3.4), E4.4), получим следующее выражение для потенциала О: J e—>'T±l' [ j о Интегрируя по частям, находим оо / 7 ¦ =Ы Это выражение совпадает с точностью до множителя —2/3 с пол- ной энергией газа, равной (X) Е = е dN? = 5^ 9 , / -—-г- . E6.7) J л/2тг2й3 J е(?-^)/т ±1 v J о о Имея также в виду, что О = — PV, получаем, таким образом, следующее соотношение: PV = B/3) Е. E6.8) Будучи точным, это соотношение должно выполняться и в пре- дельном случае больцмановского газа; действительно, подстав- ляя больцмановское значение Е = 37VT/2, получим уравнение Клапейрона. Из формулы E6.6), сделав подстановку е/Т = z, найдем, что О = -PV = FT5/2/(/i/T), E6.9) где / — функция от одного аргумента, т.е. ft/V есть однородная функция \i и Т порядка 5/2:) . Поэтому Если по выражению E6.9) вычислить энергию как Е = Nfi + TS - PV = -//— - Т— + то мы снова получим соотношение E6.8). 7* 196 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ — однородные функции \i и Т порядка 3/2, а их отношение S/N—однородная функция нулевого порядка: S/N = (р(/л/Т). Отсюда видно, что при адиабатическом процессе (S = const) остается постоянным отношение /i/T, а поскольку N/VT3'2 то- же есть функция только от \ijT', то и VT3/2 = const. E6.10) Тогда из E6.9) следует, что PV5/3 = const, E6.11) а также и Т5/2/Р = const. Эти равенства совпадают с урав- нением адиабаты Пуассона D3.9) для обычного одноатомного газа. Подчеркнем, однако, что показатели степени в форму- лах E6.10), E6.11) не связаны теперь с отношением теплоем- костей (поскольку несправедливы соотношения Cp/cv = 5/3 и cp-cv = 1). Формула E6.6), переписанная в виде [ z^dz вместе с формулой E6.5) определяют в параметрическом виде (параметром является /i) уравнение состояния газа, т. е. связь между Р, V и Т. В предельном случае больцмановского газа (чему соответствует е^/т <С 1) из этих формул получается, как и должно было быть, уравнение Клапейрона. Покажем это, вычи- слив одновременно также и первый поправочный член разложе- ния в уравнении состояния. При е^/т ^С 1 разлагаем подынтегральное выражение в E6.12) в ряд по степеням e^/T~z и получаем, сохраняя два первых члена разложения, 1 25/2 Подставляя это в E6.12), имеем BтгK/2П3 § 57 ВЫРОЖДЕННЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ 197 Если сохранить лишь первый член разложения, то получим в точности больцмановское значение химического потенциала од- ноатомного газа (формула D6.1а). Следующий же член дает ис- комую поправку, так что можно написать: Но малые добавки ко всем термодинамическим потенциалам (выраженные через соответствующие переменные, см. B4.16)), одинаковы. Поэтому, выразив поправку в О через Т и V (что можно сделать с той же точностью с помощью больцмановских выражений), мы получим поправку к свободной энергии: 3/2 дг2^3 ?h E6-14) Наконец, дифференцируя по объему, получим искомое уравнение состояния г = NT\1± L 1 • E6.15) 2\ V J 2g V(mT)s Условие малости поправочного члена в этой формуле совпадает, естественно, с условием D5.6) применимости статистики Больц- мана. Таким образом, отклонения свойств идеального газа от классических, возникающие при понижении температуры при заданной плотности (как говорят, при начинающемся его вы- рождении), ведут в статистике Ферми к увеличению давления по сравнению с его значением в обычном газе; можно сказать, что квантовомеханические обменные эффекты приводят в этом случае к появлению некоторого дополнительного эффективного отталкивания между частицами. В статистике же Бозе величина давления газа отклоняется в обратную сторону— в сторону уменьшения по сравнению с классическим значением; можно сказать, что здесь появляется некоторое эффективное притяжение между частицами.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Ферми- и бозе-газы элементарных частиц» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Если по выражению E6.9) вычислить энергию как 