Максимальная работа, производимая телом, находящимся во внешней среде
Рассмотрим теперь вопрос о максимальной работе в дру- гой постановке. Пусть тело находится во внешней среде, причем температура Tq и давление Pq среды отличны от температуры Т § 20 ТЕЛО, НАХОДЯЩЕЕСЯ ВО ВНЕШНЕЙ СРЕДЕ 81 и давления Р тела. Тело может совершать работу над неко- торым объектом, который предполагается теплоизолированным как от среды, так и от данного тела. Среда вместе с находя- щимися в ней телом и объектом работы образует замкнутую систему. Среда обладает настолько большими объемом и энер- гией, что изменение этих величин в результате происходящих с телом процессов не приводит к сколько-нибудь заметному из- менению температуры и давления среды, которые можно, сле- довательно, считать постоянными. Если бы среды не было, то работа, произведенная телом над теплоизолированным объектом при заданном изменении состоя- ния тела (т. е. заданных начальном и конечном состояниях), была бы вполне определенной величиной, равной изменению энергии тела. Наличие же среды, тоже участвующей в процессе, делает результат неоднозначным, и возникает вопрос о том, какова мак- симальная работа, которую может произвести тело при данном изменении его состояния. Если при переходе из одного состояния в другое тело про- изводит работу над внешним объектом, то при обратном пе- реходе из второго состояния в первое какой-либо внешний ис- точник работы должен производить работу над телом. Пря- мому переходу, сопровождающемуся совершением телом макси- мальной работы |i?|max5 соответствует обратный переход, осу- ществление которого требует затраты внешним источником ми- нимальной работы i?min. Очевидно, что работы |i?|max и i?min совпадают друг с другом, так что задачи об их вычислении полностью эквивалентны, и ниже мы говорим о работе, произ- водимой над телом теплоизолированным внешним источником работы. В течение процесса тело может обмениваться теплом и рабо- той со средой. Работа, произведенная над телом средой, долж- на быть, конечно, выделена из полной произведенной над телом работы, так как нас интересует лишь та работа, которая произ- водится данным внешним источником. Таким образом, полное изменение энергии тела АЕ при некотором (не обязательно ма- лом) изменении его состояния складывается из трех частей: из произведенной над телом работы внешнего источника i?, из ра- боты, произведенной средой, и из полученного от среды тепла. Как уже было указано, благодаря большим размерам среды ее температуру и давление можно считать постоянными; поэтому произведенная ею над телом работа есть PqAVq, а отданное ею количество тепла равно —TqASq (буквы с индексом нуль отно- сятся к среде, а без индекса—к телу). Таким образом, имеем R + P0AV0 - T0AS0. 82 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ГЛ. II Поскольку объем среды вместе с телом остается неизменным, то AVq = — AV. Далее, в силу закона возрастания энтропии имеем: AS + ASq ^ 0 (энтропия теплоизолированного источника работы вообще не меняется), так что ASq ^ — AS. Поэтому из R = АЕ - Ро AVb + То AS + 0 находим R > АЕ - T0AS + P0AV. B0.1) Знак равенства достигается при обратимом процессе. Таким образом, мы снова приходим к выводу, что переход совершается с минимальной затратой работы (и, соответственно, обратный переход —с максимальным производством работы), если он про- исходит обратимо. Величина минимальной работы определяется формулой i?min = А(Е - T0S + P0V) B0.2) (Tq и Pq как постоянные величины могут быть внесены под знак А), т. е. эта работа равна изменению величины Е — TqS + PqV . Для максимальной работы формула должна быть, очевидно, на- писана с обратным знаком: P0V), B0.3) так как начальное и конечное состояния меняются местами. Если в течение процесса тело находится в каждый данный момент в равновесном состоянии (но, конечно, не в равнове- сии со средой), то для бесконечно малого изменения состоя- ния формулу B0.2) можно написать в другом виде; подставив dE = TdS - PdV в dRmin -TodS + Po dV, находим dRm[n = (T - To) dS-(P- Po) dV. B0.4) Отметим два важных частных случая. Если объем и тем- пература тела остаются неизменными, причем последняя равна температуре среды, то из B0.2) имеем: Rmin = А(Е — TS), или i?min = АР, B0.5) т. е. минимальная работа равна изменению свободной энергии тела. Если же постоянны температура и давление тела, при- чем Т = Tq , Р = Ро, то имеем Дтт = АФ, B0.6) т. е. работа, произведенная внешним источником, равна измене- нию термодинамического потенциала тела. Подчеркнем, что в обоих этих частных случаях речь долж- на идти о теле, которое не находится в равновесии, и поэтому его состояние не определяется одними только Т и V (или Р); в противном случае постоянство этих величин означало бы, что § 20 ТЕЛО, НАХОДЯЩЕЕСЯ ВО ВНЕШНЕЙ СРЕДЕ 83 никакого процесса вообще не происходит. Речь может идти, на- пример, о химической реакции в смеси реагирующих друг с дру- гом веществ, о процессе растворения и т. п. Предположим теперь, что находящееся во внешней среде те- ло предоставлено самому себе и над ним не производится ника- кой работы. В этом теле будут происходить самопроизвольные необратимые процессы, приводящие его в равновесие. В нера- венстве B0.1) надо теперь положить R = 0, поэтому будет А(Е - T0S + P0V) ^ 0. B0.7) Это значит, что в результате происходящих с телом процессов величина Е — TqS + PqV будет убывать, так что в равновесии она достигнет минимума. В частности, при самопроизвольных процессах с постоянны- ми температурой Т = Tq и давлением Р = Pq убывает термоди- намический потенциал тела Ф, а при процессах с постоянными температурой Т = Tq и объемом тела убывает его свободная энергия F. Эти результаты были уже получены с другой точки зрения в § 15. Отметим, что произведенный здесь вывод по суще- ству не предполагает, что температура и объем (или давление) тела остаются постоянными в течение всего процесса: можно утверждать, что термодинамический потенциал (или свобод- ная энергия) тела уменьшится в результате всякого процесса, в начале и конце которого температура и давление (или объем) одинаковы (и равны температуре и давлению среды), даже если они в течение процесса менялись. Минимальной работе можно приписать еще и другой тер- модинамический смысл. Пусть Su есть полная энтропия тела вместе со средой; если тело находит- ся в равновесии со средой, то Su есть Su/K функция от их полной энергии Еи: Su = SU(EU). Пусть тело не находится в равно- весии со средой; тогда их суммар- ная энтропия отличается от значе- ния SU(EU) (при том же значении их суммарной энергии Еи) на неко- торую величину ASU < 0. На рис. 3 сплошная линия изображает функ- цию SU(EU), а вертикальный отре- зок ab— величину — ASU. Горизон- Рис. 3 тальный же отрезок be есть измене- ние полной энергии при обратимом переходе тела из состоя- ния равновесия со средой в состояние, соответствующее точке Ь. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ Другими словами, этот отрезок изображает минимальную ра- боту, которую должен затратить некоторый внешний источник для приведения тела из состояния равновесия со средой в дан- ное; состояние равновесия, о котором при этом идет речь (точ- ка с на рис. 3), разумеется, не совпадает с состоянием равнове- сия, соответствующим данному значению Еи (точка а). Поскольку тело представляет собой весьма малую часть всей системы, то происходящие с ним процессы приводят лишь к от- носительно ничтожным изменениям полных энергии и энтропии. Из графика на рис. 3 следует поэтому, что _ dSu(Eu) р Но производная dEu/dSu есть равновесная температура системы, т.е. температура среды Tq. Таким образом, ASU = -— = - — (АЕ - T0AS + PqAV). B0.8) То То Эта формула определяет, насколько отличается энтропия замк- нутой системы (тело + среда) от своего наибольшего возможного значения, если тело не находится в равновесии со средой; при этом АЕ, AS и AV — разности между энергией, энтропией и объемом тела и их значениями в состоянии полного равновесия.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Максимальная работа, производимая телом, находящимся во внешней среде» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
