Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Теоретична фізика у 10 томах

Высокочастотные свойства сверхпроводников. Общая формула

В IX, § 51, были получены формулы, связывающие ток в
сверхпроводнике с векторным потенциалом электромагнитного
поля в нем. Здесь эти формулы будут обобщены на случай пе-
ременного во времени поля. Как и в IX, мы будем исследовать
этот вопрос в рамках модели БКШ, рассматривая электроны в
металле как изотропный газ со слабым притяжением между ча-
стицами г).
Как всегда в металлах (и тем более — в сверхпроводниках), в
уравнениях Максвелла можно пренебречь током смещения, т. е.
писать
rotH= — j. (96.1)
с
Отсюда следует, что в этом приближении
div j = 0. (96.2)
Для описания поля выберем калибровку, в которой скалярный
потенциал ср = 0. Линейную связь между компонентами фурье-
разложений (по времени и по координатам) плотности тока и
векторного потенциала поля напишем в виде
ja(u,k) = -Q(u,k) (бар - ^ф-) А$(и,к), (96.3)
тождественно удовлетворяющем уравнению (96.2), т. е. условию
kj (о;, к) = 0. Продольная (вдоль к) часть вектора А выпадает из
соотношения (96.3), а потому и вообще из уравнений, так что ее
можно положить равной нулю, т. е. считать, что к А (о;, к) = 0.
При таком выборе А связь между током и полем сводится к
j(w,k) = -Q(a;,k)A(a;,k). (96.4)
1) Результаты этого и следующего параграфов принадлежат Бардину и
Маттису (J. Bardeen, D.C. Mattis, 1958) и А.А. Абрикосову, Л.П. Горькову
и И.М. Халатникову A958).
496 СВЕРХПРОВОДНИКИ
Наша цель состоит в вычислении функции Q(a;,k). Эта ве-
личина относится к категории обобщенных восприимчивостей, и
для решения задачи воспользуемся изложенным в § 91 методом.
Следуя этому методу, формальным образом вводим в гамиль-
тониан сверхпроводника «векторный потенциал», зависящий от
мацубаровской переменной г (и от координат) 1):
А (т Y\ _ А ({ Ь.\ l[k.T-QsT) f _ О^^Т" TQfi *Л
С помощью уравнений Горькова вычисляем линейную по А по-
правку к мацубаровской гриновской функции:
/~> / \ /~> (о) / _, „ \ | /^ (ij/ v» • ¦r»^• ^o^ч^ч^
в силу «однородности по т» и пространственной однородности
невозмущенного сверхпроводника, Q^ зависит только от разно-
стей своих аргументов. Плотность тока j(r, r) выражается через
гриновскую функцию согласно
г; г', г')] г/=г -—А(т,г), (96.7)
. тс
где N — плотность числа частиц2). С полем (96.5) это соотно-
шение фактически будет иметь вид
j(T,r) = -QM(Ce,k)A(r,r). (96.8)
Коэффициент Qm b нем есть мацубаровская восприимчивость,
и согласно (91.18)
Q(i|Ce|,k) = QM(Ce,k). (96.9)
Для определения искомой функции Q(o;,k) надо будет произве-
сти аналитическое продолжение с точек ио = i\Cs\ на всю верхнюю
полуплоскость.
Ход вычисления Qm вполне аналогичен вычислениям в IX,
§ 51. Напомним, что в калибровке потенциалов с divA = 0 по-
правка к щели А в энергетическом спектре отсутствует, а линеа-
ризованные уравнения Горькова для гриновских функций Q и Т

В этом параграфе полагаем Л = 1.
2) Ср. IX, E1.17). При сравнении с формулами в IX, § 51, надо помнить,
что теперь е обозначает положительную величину — элементарный заряд.
§ 96 ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА. ОБЩАЯ ФОРМУЛА 497
имеют вид 1)
= —ilA(r, r)Vg@) (r - г', г - r'),
C (96.10)
')
me
При поле вида (96.5) можно сразу отделить зависимость
от сумм г -\- rf и г + г7, положив
= g(T - г', г - г') ехр [1к(г + г') - i0(r + г')] (96.11)
гично для Т с функцией / вместо g. Та
замены первое из уравнений (96.10) принимает вид
и аналогично для Т с функцией / вместо g. Так, после этой
(9610)
[ik(r - г') - k
L2 2
Разложим теперь все величины в ряды Фурье по т — т' и
интегралы — по г — г7:
00 Г
g(r,r)=T J3 /g(C7
(96.12)
и т. д. В результате получим для фурье-компонент систему двух
алгебраических уравнений:
(96.13)
Оператор Лапласа пишем как V2 в отличие от щели А!
498 сверхпроводники
«Невозмущенные» гриновские функции ферми-системы Q^ и
Т разлагаются в ряды Фурье с «нечетными частотами»: Bsf +
+ 1)тгТ. Поэтому из (96.13) следует, что «частоты» (^, пробегают
значения
?, = Bs' + 1 - s)ttT.
Функции Q(°} и Т даются выражениями (см. IX, D2.7),
D2.8))
где
rj = ^--fjL^ vF(p - pF), e2 = А2 + г/2 (96.15)
2т
(постоянную А считаем вещественной). Используя эти формулы,
легко привести решение системы (96.13) к виду
me
(96.16)
где
(96.17)
Используя (96.7), (96.11), (96.12), получим для плотности тока:
2еТ
s' = — oo
с функцией g из (96.16). Учитывая поперечность векторов j и А
по отношению к к, производим под знаком интеграла усредне-
ние по направлениям вектора р^ в плоскости, перпендикуляр-
ной к. Функции ?/(°) и Т в (96.16) от направления р^ не
зависят; усреднение же множителя p_l(p_lA) превращает его в
Ар2 sin2 6/2, где в — угол между р и к. В результате находим сле-
дующее окончательное выражение для мацубаровской восприим-
чивости:
оо
sf = — oo
)(Р-)]0. (96.18)
Займемся теперь аналитическим продолжением этой функ-
ции с дискретного ряда точек Cs = 2snT на всю правую полу-
96
ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА. ОБЩАЯ ФОРМУЛА
499
плоскость комплексной переменной ? (т. е. на верхнюю полуплос-
кость переменной ио = г?). Задача сводится к аналитическому
продолжению подынтегрального выражения интеграла по d3p;
рассмотрим, например, первый член в нем:
jM{Q = т
+|) д. (с -1) =
= Т
(96.19)
(для краткости обозначений опускаем индекс @), а аргументы
р± = р ± k/2 заменяем индексами ±). Это выражение может
быть представлено в виде интеграла
JM((S) = J- (b g+(z)g-(z-(s)tg^dz, (96.20)
взятого по трем замкнутым контурам Ci, С2, С3 (рис. 32), кото-
рые в общей сложности охватывают всю бесконечную совокуп-
ность полюсов множителя tg (z/2T), которые он имеет в точках
z = Bs7 + 1)тгТ (точки на рисунке); вычеты подынтегрального
выражения в каждом из этих полюсов дают соответствующие
CiC2
C2C3
Н h
о
Н 1
©
Рис. 32
Рис. 33
члены в сумме (96.19) (на бесконечности Q(z)ool/z, так что ин-
теграл сходится). В выборе контуров учтено, что функция Q{z)
аналитична в каждой из двух полуплоскостей:
GA{iz\ Kez < 0,
где GR и G — аналитические функции (запаздывающая и опе-
режающая функции Грина — см. IX, § 37); мнимая же ось z
является, вообще говоря, разрезом для функции Q{z).
500 СВЕРХПРОВОДНИКИ ГЛ. XI
Развернем теперь контуры так, чтобы они проходили верти-
кально по обоим берегам линий разрезов Re z = 0 и Re z = ?5
(рис. 33; бесконечно удаленные замыкающие участки контуров
не показаны). На паре линий Ci, С2 заменяем переменную инте-
грирования, положив z = гио1', а на паре Ci, C3 полагаем z — (s =
= га/. Тогда при (s > 0 имеем
Jm(Cs) = ~
co'. (96.21)
При выводе этого выражения значение ?5 было еще фиксировано:
?5 = 2тг sT. Но для таких значений
tg —ь— = tg — = г th —.
Ь 2T Ь 2Т 2Т
После такой замены аналитичность выражения (96.21) при всех
?5 > 0 очевидна ввиду аналитичности функций G и GR в со-
ответствующих полуплоскостях. Полагая теперь г?5 = c<j, имеем
для уже аналитически продолженного выражения 1):
^u' -ш) + [G^(w') - Gd(w')]G?(w' + и)} бы'. (96.22)
Таким же способом производится продолжение второго члена
в подынтегральном выражении в (96.18) и приводит к результа-
ту, отличающемуся от (96.22) лишь заменой функций GR, G на
p+R^ f+a 2)> все эти функции даются следующими выражения-
ми (см. IX, § 41):
и — г -\- гО и + г + гО
) Изложенный способ аналитического продолжения принадлежит
Г.М. Элиашбергу A962).
2) Определение гриновской функции F+ (соответствующей температур-
ной функции J7) — см. IX, § 41. Определения функций F+R и F+A отли-
чаются от F+ заменой Т-произведения коммутатором — аналогично связи
между GR, GA и G.
§ 96 ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА. ОБЩАЯ ФОРМУЛА 501
где
4 .
Функции же GA, F+A отличаются от GR, F+R лишь знаком пе-
ред гО. Поэтому
GR - GA = 2ImGR = -1г[и2р6(ш - е) + у26(ш + e)],
F+R _ F+A = пА [<J(w _ g) _ ци + ?)]
и интегрирование в (96.22) сводится к устранению ^-функций.
После ряда простых, но довольно громоздких алгебраических
преобразований получается следующее окончательное выраже-
ние -1):
>k) = ^! _ J*_ fp2sm2eth^±
' тс 4т2 с J 2T
х< И+"+1/-"" I I - + V^l +
е+ — Е- — ио — гО е+ — Е- + ио + гО
е+е- \ |_?++?_-и-гО ?++?_+ и + гО J J BттK '
(96.24)
где
4 = Д2 + *7±- (96.25)
Два члена в фигурных скобках в (96.24) имеют существенно
различное происхождение и смысл. Первый из них нечетен по
р; поэтому при Г = 0 (когда множитель th(e+/2T) = 1) инте-
грал от этого члена обращается в нуль. Эта часть Q связана с
бесстолкновительной динамикой элементарных возбуждений. Ее
мнимая часть, существующая при всех о;ик, связана с бесстолк-
новительным затуханием Ландау.
Интеграл же от второго члена остается отличным от нуля и
при Г = 0. Эта часть Q связана с рождением или разрывом купе-
ровских пар. Полюсы подынтегрального выражения в этой части
лежат при ?+ + ?_ = ±ои. Для их существования (а тем самым
и для возникновения диссипации — мнимой части Q) частота
должна превышать 2А — энергию связи куперовской пары.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Высокочастотные свойства сверхпроводников. Общая формула» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»