Всякая диаграммная техника основана на выделении из га- мильтониана системы оператора взаимодействия: Н = Щ + V, где Но — гамильтониан системы невзаимодействующих частиц. Диаграммная техника есть теория возмущений по V. Ее построение для неравновесной системы осуществляется по тому же пути, по которому это делалось в равновесном случае, при Г = О1). Гриновская функция G = G выражается через Ф-операторы в представлении взаимодействия (т. е. для идеаль- ного газа) формулой З*^), (93.1) г) Дальнейшее изложение существенно опирается на изложение в IX, § 12, 13. § 93 НЕРАВНОВЕСНЫЕ СИСТЕМЫ 481 где (оо \ -г / Vo(t)dt), (93.2) —оо / a Vo(t) — оператор V в представлении взаимодействия. Усред- нение в (93.1) производится по некоторому состоянию системы невзаимодействующих частиц. Для дальнейшего будет удобнее предположить, что это состояние является стационарным и од- нородным, но не основным (мы увидим далее, что это начальное состояние можно исключить и сформулировать теорию так, что уравнения вообще не будут от него зависеть). В этом разница со случаем Г = 0, когда усреднение производится по основному состоянию. Это отличие очень существенно: усреднение операто- ра 5 уже нельзя отделить от усреднения остальных множите- лей (как это было сделано в IX, § 12, при переходе от A2.12) к A2.14)); дело в том, что неосновное состояние под влиянием опе- ратора 5 переходит не само в себя, а в некоторую суперпози- цию других возбужденных состояний (которые могут наглядно рассматриваться как результат всевозможных процессов взаим- ного рассеяния квазичастиц1). Выражение (93.1) должно быть разложено по степеням V. При этом удобно сначала преобразовать 5, используя унитар- ность оператора S: ^ ^ _ / оо ^ \ S'1 = S+ = Т ехр (г / V(t) dt (93.3) \ —оо / (использована также эрмитовость оператора V)\ символ Т анти- хронологического упорядочения был уже введен в предыдущем параграфе. Разложив S и S~x в ряды и подставив их в (93.1), мы полу- чим сумму различных членов, в каждом из которых надо про- извести усреднение с помощью теоремы Вика, и каждому спосо- бу попарных сверток Ф-операторов сопоставляется определенная с диаграмма' ¦2). j Заметим, что по такой же причине изложенная в IX, § 12, 13, диаграмм- ная техника, вообще говоря, неприменима даже при Т = 0 в случае наличия внешних переменных полей (т. е. когда оператор V зависит явно от време- ни уже в шредингеровском представлении): переменные поля возбуждают основное состояние системы. Подчеркнем в то же время, что развиваемая здесь техника пригодна и при наличии переменного поля. 2) Напомним, что в макроскопическом пределе справедливость теоремы Вика не связана с тем, по какому однородному стационарному состоянию производится усреднение - см. конец IX, § 13. 16 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X 482 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ГЛ. X Заметим прежде всего, что (как и в диаграммной технике при Т = О, которую будем называть обычной) следует учиты- вать только связные диаграммы, не содержащие отсоединенных вакуумных петель. Вакуумные же петли взаимно сокращаются. В этом легко убедиться, рассмотрев несколько первых диаграмм, по которым можно усмотреть общий принцип такого сокраще- ния. Если все свертки, приводящие к связной диаграмме, произво- дятся внутри множителя ТФхФ^ в (93.1), то мы получим чле- ны, изображающиеся описанными в IX, § 13, обычными диаграм- мами (разумеется, с другим конкретным видом функций, отве- чающих сплошным линиям). Напомним, что речь идет здесь о диаграммах в координатном представлении; для неравновесных состояний (когда G-функции зависят от переменных Х\ и Х2 по отдельности) переход к импульсному представлению неудобен. Другие члены возникают от свертываний, в которых участвуют также и Ф-операторы из S~l = *S+. В каждом порядке теории возмущений они получаются из обычных членов заменой лю- бого множителя V, взятого из *S, на множитель V из *S+. Эти члены изображаются диаграммами того же графического вида, но с несколько измененным правилом их прочтения. Эти измене- ния являются следствием трех обстоятельств: 1) в S+ операторы взаимодействия входят в виде +iV (вместо — iV в 5); 2) все Ф- операторы в 5+ стоят всегда левее операторов в произведении ТФхФ^*?; 3) внутри множителя *S+ операторы упорядочены зна- ком Т-произведения (вместо Т). Проследим, как эти изменения проявляются при построе- нии диаграммной техники в простейшем случае — для систе- мы частиц (скажем, фермионов), находящихся во внешнем поле U(t,r) = U(X). Члены первого порядка в разложении выражения (93.1): Для рассматриваемой здесь ситуации характерен второй член в этой сумме; при усреднении по основному состоянию должен был бы рассматриваться только первый член. В первом члене все четыре Ф-оператора находятся под знаком Т-произведения; их попарные свертки, +(^) (93.4) § 93 НЕРАВНОВЕСНЫЕ СИСТЕМЫ 483 дают множители G^ и G\% . Во втором же члене сворачи- ваемые Ф-операторы не упорядочены друг с другом знаком Т или Т: #33)(i2); (93.5) их свертки дают множители G32 и G13 5 кроме того, здесь стоит -\-iUs вместо —iU%. Введем графические элементы, отличающиеся от фигуриро- вавших в обычной диаграммной технике дополнительными ин- дексами + или — на концах линий. Штриховые линии с индекса- ми + или — на одном из концов (вершине диаграммы) означают множитель +Ш(Х) или —iU(X): = -ЩХ) (ср. IX, § 19). Сплошным линиям с индексами ± на обоих концах сопоставляются различные G-функции: (93.7) Цифры на концах линий нумеруют аргументы функций — пере- менные Xi, Х2. Тогда два члена (93.4), (93.5) изобразятся диаграммами 1- 2- 1- 2- Двум внешним концам сплошных линий приписываются индек- сы — соответственно тому, что речь идет о поправках в функции G . По переменным, отвечающим вершине диаграммы, подра- зумевается интегрирование1). В аналитическом виде: (93.9) ) Точнее — интегрирование по dtdxj* суммирование по паре одинаковых спиновых индексов. Последнее будем подразумевать ниже включенным в интегрирование по d4X. 16* 484 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ГЛ. X В следующем, втором, порядке теории возмущений поправка в функции G дается четырьмя диаграммами: it it it it II it it it '+ +U 1- -it L+ (93.10) (цифровые индексы опущены). Индекс =Ь в каждой вершине диа- граммы относится к концам всех трех сходящихся в ней линий. Аналогичным образом, поправочные члены в других G- функциях изобразятся диаграммами с другими индексами у двух внешних концов сплошных линий. Так, для функции G ^ в первом порядке имеем две диаграммы: (93.11) Таким образом, диаграммы в технике Келдыша получаются из диаграмм обычной техники приписыванием в их вершинах и свободных концах всеми возможными способами дополнитель- ных индексов + или —. Это правило остается в силе и в диа- граммной технике при других типах взаимодействия. Для системы с парным взаимодействием между частицами в обычной диаграммной технике внутренней штриховой линии сопоставляется потенциал взаимодействия двух частиц. Теперь концам такой линии приписывается еще пара одинаковых индек- сов + или —: iU(X1-X2)=ib(t1-t2)U(r1-r2) г_ 2_ (93.12) Так, поправка первого порядка в функции G для системы с парным взаимодействием изобразится суммой четырех диа- грамм: -V V (93.13) (вместо двух диаграмм A3.13) (см. IX) обычной техники). Сплошной линии, замкнутой самой на себя, по-прежнему сопо- § 94 СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 485 ставляется множитель Nq(/j,,T) (плотность идеального газа) при любом знаке вершины. Уже упоминалось, что диаграммная техника Келдыша при- менима также и к равновесным системам при Т ^ 0. Предпо- ложим, что внешнее поле отсутствует и перейдем от координат- ного к импульсному представлению, разложив все G-функции в интегралы Фурье. Тогда, обычным образом, каждой линии на диаграммах приписывается определенный «4-импульс» и этим линиям сопоставляются, по тем же правилам, функции U(QI () () в импульсном представлении. При Т = 0 функция распределения Ферми _ Г 1, p<pFl пр-\ о, p>PF. Поэтому, согласно (92.20), (92.21), для ферми-системы при Т = 0 G(O)-+(P) = 0 при р > pF, G@)+-(P) = 0 при р < pF и все диаграммы для G , содержащие «плюсовые» вершины, обращаются тождественно в нуль. Таким образом, диаграмм- ная техника Келдыша в применении к равновесным системам (в отличие от мацубаровской техники) непосредственно переходит при Т = 0 в обычную диаграммную технику.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Диаграммная техника для неравновесных систем» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
