Квантовые осцилляции проводимости металла в магнитном поле
Изложенная в § 84, 85 теория гальваномагнитных явлений имела квазиклассический характер в том смысле, что кванто- вость проявлялась только в виде функции распределения элек- тронов, дискретность же уровней энергии в магнитном поле не х) При законах дисперсии (89.6), (89.7) условие kvF <^C оо означает, что дол- жно быть и а У&> vf • В достижимых полях В это условие может фактически выполняться лишь в полуметаллах (висмут) с малой плотностью носителей тока. ) Возможность существования этих волн была указана Буксбаумом и Голтом (S.J. Buchsbaum, J. Golt, 1961). Изложенная теория принадлежит Э.А. Канеру и В.Г. Скобову A963). 460 МЕТАЛЛЫ учитывалась. Эта дискретность приводит, однако, к качествен- но новому явлению — осцилляциям проводимости как функции магнитного поля (так называемый эффект Шубникова-де Гааза). Этот эффект аналогичен осцилляциям магнитного момента (эф- фект де Гааза-ван Альена), но его теория сложнее ввиду кине- тического, а не термодинамического характера явления. Мы рас- смотрим ее в рамках модели невзаимодействующих электронов, оставляя в стороне вопрос (по-видимому, еще не исследованный) о влиянии ферми-жидкостных эффектов. Как и в § 84, магнитное поле будем считать сильным в смысле условия (84.1), которое запишем в виде иовт > 1, (90.1) где т — время свободного пробега электронов, а иов = —. (90.2) т*с — ларморовская частота; т* — циклотронная масса электро- нов 1). В то же время, конечно, поле не должно быть настолько сильным, чтобы нарушилось условие квазиклассичности Поив < eF. (90.3) Соотношение же между Ни в и Т может быть произвольным. Мы ограничимся исследованием квантовых осцилляции по- перечной (по отношению к магнитному полю — оси z) прово- димости, предполагая при этом, для упрощения записи формул, симметрию кристалла кубической. В таком кристалле симмет- ричная (диссипативная) часть тензора проводимости имеет лишь компоненты ахх = ауу и azz. Сравнительная простота задачи для поперечных компонент связана с тем, что для них влияние столк- новений может рассматриваться (как мы видели в § 84) как ма- лое возмущение по сравнению с влиянием магнитного поля; для продольной проводимости azz это не так2). Как и в § 84, рассматриваем металл в области его остаточного сопротивления, так что речь идет о столкновениях электронов с примесными атомами. Ввиду упругости этих столкновений, элек- троны различных энергий участвуют в образовании электриче- ского тока независимо друг от друга. х) Напомним (см. IX, E7.6)) определение: т* = (dS/de)/2тг, где S(e,pz) — площадь сечения изоэнергетической поверхности плоскостью pz = const; изоэнергетическая поверхность определена здесь в р-пространстве (а не в р//г-пространстве, как в IX). ) Что касается антисимметричной части тензора проводимости, то кван- товые осцилляции в них появляются лишь во втором приближении по § 90 КВАНТОВЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ПРОВОДИМОСТИ 461 Пусть g(e) — число квантовых состояний электрона, отне- сенное к единичному интервалу энергий. Тогда пространствен- ная плотность числа электронов с энергией в интервале de есть n(e)g(e) d(e), где п(е) — числа заполнения состояний. Обозначим через jy(s) плотность создаваемого этими электронами попереч- ного тока. При наличии как электрического поля, так и гради- ента плотности электронов, плотность тока изобразится суммой jy(e) = eD(e)^g(e) + ауу{е)Еу. (90.4) Первый член представляет собой диффузионный перенос заря- да; D(e) — коэффициент диффузии (в реальном пространстве!) электронов с энергией е. Ток (90.4) должен обращаться в нуль для распределения по(б - еф) « гсо(е) - e(P~^ri отвечающего статистическому равновесию электронного газа в слабом постоянном электрическом поле с потенциалом ср(г) (щ — распределение Ферми). Отсюда находим соотношение, связыва- ющее (УуУ{е) и D(e): де Полная же электропроводность, учитывающая вклад от электро- нов всех энергий, есть ^w = -e / g(e)?>(e)— de =-е >^D(es)—^Л (90.5) В последней записи суммирование производится по всем кванто- вым состояниям электрона; s условно обозначает совокупность квантовых чисел состояний. Эта формула сводит задачу о вы- числении проводимости к вычислению коэффициента диффузии электронов в отсутствие электрического поля. В свою очередь коэффициент диффузии выражается через характеристики микроскопических актов рассеяния формулой типа B1.4): 2St где суммирование производится по столкновениям, испытывае- мым электроном в течение времени 5t, a Ay — изменение средне- го значения у-координаты электрона при столкновении (напом- ним, что движение электрона в плоскости, перпендикулярной 462 МЕТАЛЛЫ полю, финитно; в наглядной картине квазиклассических орбит Ау — смещение центра орбиты). Обозначим через вероятность перехода электрона из состояния s в состояние sf при рассеянии; E-функция выражает собой упругость рассеяния, а множитель NUp (плотность примесных атомов) — независимость рассеяния на хаотически расположенных атомах. Тогда коэффи- циент диффузии представится формулой D(es) = iiVnp Y.iVs ~ ys'?Wssl8{es - ea,), s' где ys — среднее значение координаты в s-м состоянии. Подста- вив это выражение в (90.5), получим для проводимости: ^es - es.) (90.6) ss' {S. Titeica, 1935; Б.И. Давыдов, И.Я. Померанчук, 1939) х). При фактическом применении этой формулы надо рас- шифровать смысл обозначения s. Дискретное квантование уровней энергии электрона проводимости в магнитном поле возникает при замкнутых квазиклассических траекториях в р-пространстве (т. е. замкнутых сечениях изоэнергетических по- верхностей), что и будет подразумеваться ниже. При этом кван- товые состояния определяются четырьмя числами: s = (n,Px,Pz=pz,a), (90.7) где п — целое положительное (большое) число; число а = =Ы за- дает значение проекции спина электрона, а Рж, Р2 - компонен- ты обобщенного квазиимпульса Р = р — еА/с. Подразумевается, что векторный потенциал магнитного поля выбран в калибровке Ах = — By, Ау = Az = 0; ввиду цикличности координат х и z, компоненты обобщенного импульса Рх и Pz сохраняются (см. IX, § 58). Уровни же энергии зависят только от трех из этих кван- товых чисел: n, pZl а. Они даются выражением enaiPz) = e(n,pz) + af3B?n(pz), (90.8) причем функция s(n,pz) — решение уравнения (90.9) ) При рассеянии на примесях принцип Паули не отражается на виде фор- мул — ср. интеграл столкновений G8.14), в котором связанные с принципом Паули произведения пп взаимно сокращаются. § 90 КВАНТОВЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ПРОВОДИМОСТИ 463 Во втором члене в (90.8) /3 = еН/Bтс) — магнетон Бора, а множитель ^n(Pz) характеризует изменение магнитного момен- та электрона в результате спин-орбитального взаимодействия в решетке. Рассматривавшийся в § 84, 85 тензор проводимости есть в действительности результат усреднения точных функций аа^(В) по малым квантовым осцилляциям. В частности, согласно (85.3), усредненная таким образом поперечная проводимость ~ауусоВ~2. Покажем, прежде всего, как этот результат получается из фор- мулы (90.6), и выясним при этом связь между фигурирующими в этой формуле величинами Wsis и функцией г^(р;,р) в квази- классическом интеграле столкновений электронов с примесями G8.14). В § 84 было уже отмечено, что условие квазиклассичности движения электрона обеспечивает в то же время независимость процесса рассеяния от магнитного поля. Вероятность рассеяния в отсутствие поля с изменением квазиимпульса от р к р' была представлена в интеграле столкновений G8.14) в виде - е1)^. (90.10) Чтобы написать это выражение в форме, пригодной и для рас- сеяния в магнитном поле, достаточно преобразовать его к пере- менным, сохраняющим свой смысл для движения в поле: w(P^p'z,s';PXjpZjeM(s-e')^^ (90.11) BтгпNуу (производная vy = де/дру тоже подразумевается выраженной через новые переменные). Координата у при движении по ква- зиклассической траектории связана с обобщенным квазиимпуль- сом соотношением Рх = рх + еВу/с; поэтому среднее (по траек- тории) значение y = ^[Px-px(e,Pz)} = ^. (90.12) Усредненная по осцилляциям проводимость ~&уу получится по формуле (90.6) заменой в ней суммирования по дискретной пере- менной s интегрированием по непрерывной переменной е. Введя для краткости обозначение / / \ 1 // /\2 w dPx dP' /nn 1 о\ a{e,pz,pz) = - Пк-к —TT^fl' 90'13 2 J Vyv'y^irhL получим ^1^ ' '2t0- (90-14) 464 МЕТАЛЛЫ (множитель 2 — от двух направлений спина электрона; веро- ятность рассеяния предполагается не зависящей от спина, так что его проекция не меняется). Интегрирование по е' устраняет E-функцию. При интегрировании же по е можно считать медлен- но меняющийся множитель а постоянным (взяв его значение при е = /i) и интегрировать лишь производную дщ/де. В результате получим Wyy = ^ [aldpzdp>z J_ fb{ y2d (9(U5) УУ Б2 J BтгйJ Б2 J KFZ) FZ V ; Перейдем теперь к учету дискретности уровней. Это значит, что вместо интегрирования в (90.14) по непрерывной перемен- ной е (при заданных Рх и pz) надо писать суммирование по п, заменив de —>> huoB J где / дп как это ясно из (90.9) и определения циклотронной массы т* Используя введенные выше обозначения, имеем Оiiii — (90.16) (отметим, что ввиду интегрирования по обеим переменным pz и p'z функцию а мож:но считать симметричной по ним). Осциллирующая часть этого выражения, ауу1 выделяется с помощью формулы суммирования Пуассона (ср. IX, § 63) / оо ? -F@) + ^ F(n) = / F(x) rfx + 2 Re ^ / F(x)e27rilx dx (90.17) n=i g г=1о и возникает от стоящей здесь суммы по /; усредненное же ~ауу возникает от первого, интегрального, члена. Мы будем считать, что амплитуда осцилляции мала по срав- нению с усредненной ~дуу (тем самым налагается определенное условие на величину магнитного поля — см. ниже (90.26)). Тог- да достаточно учесть осциллирующую часть каждый раз лишь в одной из сумм (по п и по п') в (90.16). С учетом симметрии а § 90 КВАНТОВЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ПРОВОДИМОСТИ 465 по pz и p'z и введя обозначение b по аналогии с определением в (90.15), имеем ОО ^ = ^ReE Е й" (90-18) 1=1 а=±1 где Jio- — осциллирующая часть интеграла оо Jla = - I' dn J' Ь(еП(Т,рг)^Л^е^п dpz. о Введя в качестве переменной интегрирования вместо п функцию s(n,pz) из (90.8), интегрируем по е по частям (причем медленно меняющийся множитель Ъ можно считать постоянным). Проин- тегрированный член не приводит к осцилляционной зависимости от поля (и представляет собой лишь малую поправку к сгуу)] опу- стив его, получим ?dpg de. (90.19) о т Здесь /v = \i — crf3{;B и введена функция n(e,Pz) = C-l^- - \ (90.20) 2тгеНВ 2 (ср. (90.9)); в аргументе функции b(?n(npz) пренебрежено членом (З^В по сравнению с большим е. Интегрирование по pz в (90.19) производится в точности так, как в интеграле (см. IX) F3.8) при исследовании эффекта де Гааза-ван Альена. Интеграл определяется областями вблизи точек pz = Pzexis), в которых n(e,pz) (т. е. площадь сечения S) как функция pz имеет экстремумы. В результате получим сю 2тггл//ехр {2ш1пех ± гт где а знаки + или — в экспоненте относятся соответственно к случа- ям, когда pzex является точкой максимума или минимума функ- ции n(e,pz)] суммирование производится по всем экстремальным точкам. 466 МЕТАЛЛЫ В свою очередь интеграл (90.21) вполне аналогичен интегра- лу (см. IX) F3.9) отличаясь от него лишь медленно меняющи- мися множителями b и dnex/d,? = cm%^j{ehB) в подынтеграль- / ном выражении; эти множители как и множитель V pi могут быть заменены их значениями при е = /i, т. е. на ферми- поверхности. После этого интегрирование по ? и суммирование по а приводит к окончательному результату (Q _ ех 1=1 dpi sh A/ тг^ех—1 , (90.22) m J 2тг2/Т еВ — , UB = — берутся при е = \i на ферми-поверх- причем *Sex, Cex5 mt^-) ности г). Если при заданном направлении В имеется всего одно экстре- мальное сечение ферми-поверхности, то существует пропорцио- нальность между осциллирующими частями проводимости ауу и продольной магнитной восприимчивости. Сравнив (90.22) с фор- мулой F3.13) (см. IX) найдем ~ _ BТГLЛ3' а ауу si W Изложенные вычисления предполагают малость амплитуды осцилляции проводимости по сравнению с ее усредненным зна- чением. Более того, это требование по существу является усло- вием применимости всей изложенной в § 84, 85 теории: ясно, что усредненные значения имеют реальный смысл, лишь если они являются главной частью тензора проводимости. При Ниов ~ Т амплитуда осцилляции определяется первыми членами суммы в (90.22), в которых / ~ 1, А/ ~ 1. Согласно опре- делению в (90.15), величина 6ех оценивается как 6ех ~ сгВ /pp. Производная же d2S/dp2z ~ 1. Отсюда находим следующую оцен- *) Осцилляции проводимости были рассмотрены А.И. Ахиезером A939) и Б.И. Давыдовым и И.Я. Померанчуком A939) для квадратичного зако- на дисперсии электронов, и A.M. Косевичем и В.В. Андреевым A960) для произвольного закона дисперсии. § 90 КВАНТОВЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ПРОВОДИМОСТИ 467 ку амплитуды осцилляции: , Тьиов ~ J- • (yU.z4) SF ) Это отношение мало уже в силу обязательного условия (90.3). Если же Т <С Ноов, то оценка меняется. В этом случае ам- плитуда осцилляции определяется суммой большого числа чле- нов в (90.22), в которых А/ ~ 1, т. е. / ~ Ноов/Т ^> 1. Число таких членов порядка величины того же /. По сравнению с пре- дыдущей оценкой здесь появляется дополнительный множитель Г1/2/ - (Нив/ТI/2, так что у ()' и (90в25) Требование малости этого отношения приводит к условию Пив < {eFTI'2. (90.26)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Квантовые осцилляции проводимости металла в магнитном поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
