Начнем со случаев, когда все (т. е. при всех pz) импульсные траектории электронов при заданном направлении В замкнуты. Траектории всегда замкнуты при лю- бом направлении В при замкнутых ферми-поверхностях. Что ка- сается открытых ферми-поверхностей, то здесь возможны как случаи, когда траектории замкнуты при любом направлении В, так и случаи, когда сечения замкнуты лишь при определенных (или в определенных интервалах) направлениях поля. При движении по замкнутой (в плоскости ху) траектории средние значения скоростей в этой плоскости равны нулю: vx = = уу = 0; это ясно из уравнений движения (84.2) с учетом того, что при прохождении траектории рх и ру возвращаются к исход- ным значениям. Значение же vz всегда отлично от нуля ввиду ин- финитности движения в направлении поля. Первое из равенств (84.15) дает теперь 7(Ci0)) = I(ci0)) = 0, откуда Сх = Су = 0 1). Решение (84.14) принимает в этом случае вид 42) + ..., (85Л) *) Нет никаких оснований для того, чтобы линейное однородное уравнение 1(С) = 0 имело бы какие-либо решения помимо тривиального G = 0. 436 МЕТАЛЛЫ (интегрирование функции v® произведено с помощью уравне- ний (84.2)). Компоненты тензора проводимости вычисляются по формуле (84.11). Так, (vx снова выражено с помощью (84.2)). Поскольку Сх не зави- сит от т, интегрирование по т в первых двух членах сводится к интегрированию производных dp2yjdr и dpy/dr и дает нуль. Та- ким образом, вклад в интеграл дает лишь член с gx , так что 2 Далее, вычисляем xv — Интегрирование второго члена снова дает нуль, а в первом имеем //» рх^- dr = px dpy = ±S(pz), dr J где S{pz) — площадь сечения ферми-поверхности плоскостью pz = const. Знаки + и — относятся соответственно к случа- ям, когда внутри контура находится область меньших или боль- ших энергий, т. е. когда замкнутая траектория является элек- тронной или дырочной (см. IX, § 61); обозначим площадь S в первом случае как 5е, а во втором — как SV Разница в зна- ках в этих случаях возникает от изменения направления обхо- да траектории. Интегрирование площади S по pz дает объем О импульсного пространства, заключенный внутри ферми-поверх- ности (если замкнутые траектории расположены на открытой ферми-поверхности, то О — объем, ограниченный этой поверх- ностью и гранями ячейки обратной решетки). Таким образом, = е_с2(пн-пе) = e_c{Nh _ ^ (g52) В Bтг/гK В где Ое и 0/^ — объемы электронных и дырочных полостей ферми- поверхности. Величины Ne — 1 J^h — представляют собой соответственно числа занятых электронных состояний с энергиями е < ?р и свободных состояний с е > ?р § 85 ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 437 (отнесенные к единице объема кристалла). В случае замкнутых ферми-поверхностей эти понятия имеют вполне определенный смысл и величины Ne и N^ представляют собой характеристи- ку электронного спектра металла, не зависящую от направления поля В; в случае же открытых поверхностей смысл этих величин становится более условным, так как они могут оказаться завися- щими от направления В. Выражение (85.2) — нечетная функция В и потому входит в антисимметричную часть тензора (JaE1)- Компонента же аХу симметричной части тензора дается следующим членом разло- жения (УХу) пропорциональным В~2. Аналогичным образом определяется зависимость от В остальных компонент аа^. Так, 2е3В azz = Интегрирование по т вносит множитель B~l, a Cz от В не за- висит; поэтому и ozz не зависит от В. В результате найдем, что = const, остальные а^1 со В ~2, асоБ. (85.3) все компоненты аао и а з столкновений, за исключением лишь При этом все компоненты аао и а зависят от вида интеграла Отметим, что все сгар, за исключением лишь <jZZi стремятся при В —>> оо к нулю. Физическая причина такого поведения состоит в локализации электронов на орбитах, малых по сравнению с длиной пробега; конечность же ozz связана с тем, что движение электронов вдоль магнитного поля всегда остается инфинитным. Малым параметром разложения является отношение гв//. Поэтому пропорциональные В~2 компоненты аЧ можно оце- нить по порядку величины как (з) (гв\2 NeH 1 — 1 , V I ) pF Обратим внимание на то, что a^col/l] это значит, что при уве- личении длины пробега поперечная проводимость в магнитном ) Из вывода кинетического уравнения ясно, что В входит в него не как абсолютная величина вектора В, а как проекция Bz = В. Замена В —»¦ — В требует поэтому и замены Б^-Вв написанных формулах. 438 МЕТАЛЛЫ поле стремится к нулю, а не к бесконечности, как в отсутствие поля. Компоненты же антисимметричной части тензора аар оцени- ваются как (а) сгогв ecN l В ' Подчеркнем, однако, что независимость этой оценки от / не озна- - (а) чает независимости точных значении ака? от конкретного вида интеграла столкновений (исключение составляет лишь а^у ); точ- ное вычисление тензора аар требовало бы полного определения функций С^1) и gB) путем решения конкретного кинетического уравнения. Из (85.3) можно найти также предельные законы зависимо- сти от В компонент обратного тензора рар = а~1 1). Сохраняя лишь члены наиболее низкого порядка по 1/i?, найдем РаВ ~ cons^ bx,by = const, bzooB, (85.4) причем все эти величины зависят от вида интеграла столкнове- ний, за исключением лишь bz « -— = . (85.5) az ec(Ne-Nh) V J (s) Все компоненты pL стремятся при В —>• oo к постоянным пре- делам. Особого рассмотрения требуют компенсированные металлы, в которых Ne = Nfr. В этом случае выражение (85.2) обращается (а) в нуль и разложение аху начинается с члена, пропорционального В~3. Таким образом, в этом случае 1, azcoB~3; (85.6) (s) зависимость же aai от В остается прежней. Для обратного тен- 1) Обратный тензор должен вычисляться, разумеется, по сумме аа/з = = а^р + сг^р и лишь затем разделяться на симметричную и антисимметрич- ную части. Таким образом, можно получить формулы l i" V" + аааЛ , Ьа = -I а^ар, а J a где а = а^ + а^ааа/з — определитель тензора (Та/з, а а^ — определитель его симметричной части (см. задачу в VIII, § 21). 85 ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 439 зора получим теперь Pzz = COnst, (s) (s) , №, PL = const, ЬсоБ. (85.7)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Замкнутые траектории» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
