ДИПЛОМНІ КУРСОВІ РЕФЕРАТИ


ИЦ OSVITA-PLAZA

Реферати статті публікації

Пошук по сайту

 

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Теоретична фізика у 10 томах

Кинетические коэффициенты металла. Низкие температуры
В количественном исследовании кинетических явлений при
низких температурах мы будем иметь в виду случай открытых
ферми-поверхностей, соответственно чему не будем специально
заботиться о процессах переброса.
Прежде всего покажем, что релаксация в фононной систе-
ме осуществляется (при Т « 0) в основном за счет фонон-
электронных, а не фонон-фононных столкновений.
Для оценки фонон-электронного интеграла столкновений
G9.10) замечаем, что при низких температурах ио ~ Т, е — /i ~ T
416 МЕТАЛЛЫ
и поэтому Nq ~ по ~ 1, dN^/duo ~ 1/Т. Интегрирование по с/3]э
производится по объему слоя толщины ~ T/vp вдоль ферми-
поверхности. Ввиду малости к/р, аргумент E-функции можно
представить в виде
е(р) - е(Р - к) - ^(к) « к— - о; « v^k - w. (82.1)
E-функция устраняется интегрированием по направлениям р
(или, что то же, по направлениям v^) при заданном к, что вно-
сит в подынтегральное выражение множитель 1/vfk. Наконец,
w оценивается по формуле G9.18). В результате найдем
т. е. эффективная частота столкновений
(82.2)
Эффективная же частота фонон-фононных столкновений
при низких температурах, согласно оценке F9.15):
С Vph,ei (82.3)
что и доказывает сделанное утверждение.
Ниже мы будем пренебрегать фонон-фононными столкнове-
ниями. Тогда кинетическое уравнение для фононов имеет вид
дЩ = _^дЩ = ( } ( 4)
Это уравнение может быть решено в явном виде относительно
фононной функции х- Поскольку к в этом уравнении — заданная
величина, то функция Хк может быть вынесена из содержащего
ее интеграла и получается
Xk = -
+ J_ [w(n> щщ?-е'-ш)(<р-<р')^-3=Х1+Х2, (82.5)
Vph.e J BТГK
где
vPh,e = I w(n'o - щ)ё(е -е1- u)^. (82.6)
Легко видеть, что Х2 ^ Xi- Действительно, из определения
функции Х2 видно, что Х2 ~ <р (интегралы в числителе и знаме-
нателе отличаются только множителем ср — срг в подынтегральном
§ 82 МЕТАЛЛЫ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ 417
выражении). Порядок же величины функции ср определяется ки-
нетическим уравнением для электронов:
откуда
Эффективная же частота электрон-фононных столкновений оце-
нивается так же, как это было сделано выше для vph,e', разница
состоит лишь в том, что интегрирование по d?к в интеграле IGiPh
производится по объему импульсного пространства ~ (Т/и)^
(вместо объема ~ p^T/vp при интегрировании по d3p в инте-
грале Iph^e): з
Ъ*н ~ |j. (82.7)
Наконец, заметив, что xi ~ IVT^/V^g, находим
— ~ — ~ 77г < 1, (82.8)
Х2 VFVph,e в2
что и требовалось доказать.
При вычислении электро- и теплопроводности (но не термо-
электрического коэффициента — см. ниже) можно пренебречь
малой величиной xi- Подставив затем выражение х ^ Х2 из
(82.5) в электрон-фононный линеаризованный интеграл столк-
новений (представленный в виде G9.11)), получим
) = ^Ih^) + Iej>h,e(<P)> (82-9)
где Ie,Ph,e(v>) обозначает результат подстановки Х2 в интеграл
е /г(х)- Первый член в (82.9) есть интеграл столкновений элек-
тронов с равновесными фононами, а второй можно назвать инте-
гралом столкновений между электронами через посредство фо-
нонов.
Введем (как это уже делалось в § 79) в качестве независи-
мых переменных в функции <р(р) величину т\ = е — \i и вектор
Pi?, проведенный в направлении р и оканчивающийся на ферми-
поверхности. Оба члена в (82.9) содержат в своих подынтеграль-
ных выражениях разность
<p{v,Pf)-<p{v',p'f), (82-Ю)
причем
V ~ ч! = ±^, Pf ~ Pf = х,
где У€ — проекция вектора к на плоскость, касательную к ферми-
поверхности в точке pp.
14 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X
418 МЕТАЛЛЫ
По переменной pF функция ср(г],рр) существенно меняется
на интервалах ~ рр] разность же ус ~ к <С pp. В этом смысле
зависимость ср от переменной рр является медленной, и в первом
приближении можно положить в разности (82.10) р^, = р/?, т. е.
заменить ее на
<p(ri,pF)-<p(ri',pF). (82.11)
Зависимость же от переменной т\ является сильной в том смысле,
что разность \т\ — rf\ = со ~ Т совпадает, по порядку величины, с
тем интервалом, на котором функция (р существенно меняется.
Обозначим оператор, получающийся из Ie^h (82.9) заменой
(82.10) на (82.11), через Lq] тогда Ie,ph представится в виде
Ie,ph(<P) =L0(ip) +Ll((p),
причем Lq ^> L\. Кинетическое уравнение для электронов (при
наличии как электрического поля, так и градиента температуры)
имеет вид
- (еЕ + 1VT) v^ = LQ{v) + Ыг). (82.12)
Два члена в правой части имеют существенно различный фи-
зический смысл: первый ответствен за быструю релаксацию по
энергии, а второй — за медленную, «диффузионную», релакса-
цию по направлениям квазиимпульса.
Отметим два очевидных свойства оператора Lq. Во-первых,
он обращается в нуль для всякой функции, зависящей только
от рр (так как обращается в нуль разность (82.11)). Во-вторых,
обращается в нуль интеграл
fL0(ip)dri = 0; (82.13)
оператор Lq описывает столкновения с изменением только энер-
гии, и равенство (82.13) означает просто сохранение числа элек-
тронов с заданным направлением р.
Будем искать решение кинетического уравнения в виде
i, pF) = a{pF) + b{r), pF), (82.14)
где а(рр) — функция только от pF, причем \а\ ^> \Ь\. Тот факт,
что функция а (обращающая в нуль часть Lq интеграла столк-
новений) велика, выражает собой быстроту процесса релаксации
по энергиям. Подставив (82.14) в (82.12) и пренебрегая относи-
тельно малым членом Li(b), получим уравнение
). (82.15)
Оба члена в его правой части, вообще говоря, одинакового по-
рядка величины. Но при вычислении коэффициентов электро-
§ 82 МЕТАЛЛЫ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ 419
или теплопроводности существен каждый раз лишь один из этих
членов.
В этом легко убедиться, вспомнив, что линеаризованный
электрон-фононный оператор 1ефн (а с ним и операторы Lq и Li)
при воздействии на функцию ср(г],рр) не меняет ее четности по
переменной г/1). Имея это в виду, разделим функцию (р на чет-
ную (tpg) и нечетную ((ри) п0 V части:
(fg = а + bg, (fu = bu
(независящая от т\ функция а по определению четна). Подставив
ср = (pg + сри в (82.15) и отделив нечетные и четные по г/ члены
уравнения, получим два уравнения:
(82.16)
_^eEvF = L0(bg) + Lx (a); (82.17)
в левой части уравнений скорость v заменена, с достаточной точ-
ностью, независящей от т\ скоростью лгр на ферми-поверхности.
Второе из этих уравнений проинтегрируем еще по г/; ввиду свой-
ства (82.13) член с Lq в результате выпадает и остается
eEv^ = fL1(a)d7i. (82.18)
Тепловой поток (при Е = 0) целиком определяется решени-
ем уравнения (82.16), содержащего только оператор Lq, — как и
следовало ожидать, он зависит от процессов релаксации по энер-
гиям электронов. По решению уравнения (82.16) тепловой поток
вычисляется как интеграл
/ f r~2d2>p f duo? 2dsp /oom\
q = / vrjSn—^ « - / vFr) — bu—^-, 82.19
J BтгK J дц BтгK
четная по г/ часть функции if не дает вклада в интеграл ввиду
нечетности получающегося под интегралом выражения.
Оператор Lq — основная часть электрон-фононного интегра-
ла столкновений. Отвечающая ему эффективная частота столк-
новений есть поэтому ve^h из (82.7); об этой величине надо,
точнее, говорить как об эффективной частоте столкновений по
отношению к обмену энергией. Соответствующая длина пробе-
га электронов есть / ~ ^F/^e.ph- Коэффициент же теплопро-
водности можно оценить по газокинетической формуле G.10):
к ~ cvlN. В данном случае N — плотность числа электронов,
:) Для оператора I^ph это было показано в § 79. Мы не будем останавли-
ваться на вполне аналогичном доказательстве для оператора Ie,Ph,e-
14*
420 МЕТАЛЛЫ
с — электронная часть теплоемкости (отнесенная к одному элек-
трону проводимости), a v ~ vp. Величины N и vp от темпе-
ратуры не зависят, теплоемкость электронной ферми-жидкости
пропорциональна Т, а согласно (82.7) длина пробега 1соТ~3. По-
скольку вычисленный таким образом тепловой поток относится
к Е = 0, коэффициент в нем есть не сам коэффициент теплопро-
водности х, а сумма х7 = к-\-Таа2 (см. G8.3)). Таким образом,
х'ооТ~2. Член Таа2, однако, оказывается малым по сравнению
с х7 (см. ниже примеч. на с. 421); поэтому и хооТ~2. Положив
для грубой оценки
с
(обычные единицы; ср. IX, A.15)), получим
(82.20)
Электропроводность определяется решением уравнения
(82.18), содержащего только оператор L\ — как и следовало ожи-
дать, электрический ток зависит от процессов релаксации по
направлениям квазиимпульсов электронов. В начале § 81 бы-
ло отмечено, что эти процессы имеют характер диффузии вдоль
ферми-поверхности. В следующем параграфе будет показано, ка-
ким образом кинетическое уравнение (82.18) может быть дей-
ствительно приведено к виду уравнения диффузии. Закон же
температурной зависимости электропроводности может быть вы-
яснен уже путем следующих простых рассуждений.
Перемещение вдоль ферми-поверхности происходит малыми
скачками — на расстояния к ~ Т/щ эта величина играет роль
«длины свободного пробега» в импульсном пространстве (/р),
частота же «актов рассеяния» совпадает с частотой электрон-
фононных столкновений ve^h- Коэффициент диффузии вдоль
ферми-поверхности можно оценить по газокинетической форму-
ле D ~ lv ~ l2v, написав в ней 1р и уеф в качестве I ж v. Таким
образом, получим (обычные единицы)
(82.21)
Отсюда можно найти время релаксации, которое должно
фигурировать в оценке электропроводности согласно G8.16):
а ~ e2Nvpr/pp. Это — время, за которое квазиимпульс элек-
трона меняется на величину порядка его самого. Другими сло-
вами, за время т электрон должен продиффундировать вдоль
ферми-поверхности на расстояние ~ pp. Но при диффузионном
перемещении средний квадрат смещения пропорционален време-
ни (и коэффициенту диффузии). Отсюда находим соотношение
§ 82 МЕТАЛЛЫ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ 421
р^р ~ DpT, и затем для проводимости (обычные единицы):
а„ьЫ{е\\ (82.22)
m*e \tJ v ;
Таким образом, при низких температурах проводимость пропор-
циональна Т~5 х).
Остановимся на вопросе о термоэлектрическом коэффициен-
те. Ситуация здесь аналогична той, которая имеет место при
высоких температурах.
Если вычислить ток j по функции Ъп — решению уравнения
(82.16), то ввиду нечетности этой функции по переменной г/ ин-
теграл обращается в первом приближении в нуль, а отличный от
нуля результат получается лишь с учетом следующего по tj/ef
члена разложения подынтегрального выражения. Это приводит
(как и при Т ^> Э) к значению термоэлектрического коэффици-
ента (обычные единицы)
а1 ~ — (82.23)
вместо «нормального» порядка величины а ~ 1/е2).
Другой вклад в термоэлектрический коэффициент возник-
нет от отброшенного в (82.5) члена xi B фононной функции х;
этот вклад связан с эффектом увлечения электронов фононами.
Если сохранить этот член, то в интеграле столкновений (82.9)
добавится член
^ \ *"~\ "Л "Г I ^^^ Г I 1 I
(82.24)
Этот член можно перенести затем в левую часть кинетического
уравнения (82.12), где его следует сравнивать с членом
(vVT). (82.25)
Член (82.24) мал по сравнению с (82.25) в отношении Т2/в2
(оценка, аналогичная (82.8)). Но учет этого члена приводит к по-
явлению в решении if кинетического уравнения слагаемого (про-
порционального VT), которое не будет уже нечетным по г/. По-
этому при вычислении соответствующего вклада в ток никаких
дополнительных малостей не возникает и в термоэлектрическом
коэффициенте появляется слагаемое
а11 - — (82.26)
ев2 v }
:) Этот результат был впервые получен Блохом (F. Bloch, 1929).
2) Из оценок (82.20)-(82.23) видно, что Та2а/>с - (S/eFJ < 1, чем оправ-
дывается сделанное при выводе (82.21) пренебрежение.
422 металлы
(Л.Э. Гуревич, 1946) х).
По мере понижения температуры частота электрон-фонон-
ных столкновений уменьшается и в конце концов главная роль
в создании электро- и теплосопротивления переходит к столкно-
вениям электронов с примесными атомами. Отметим, что ввиду
различной температурной зависимости переход к «остаточному
теплосопротивлению» происходит позже, чем переход к остаточ-
ному электрическому сопротивлению.
В очень чистых металлах может существовать область тем-
ператур, в которой кинетические свойства металла определяют-
ся электрон-электронными столкновениями. Соответствующая
длина свободного пробега в электронной жидкости в металле,
как и во всякой другой ферми-жидкости, зависит от темпера-
туры как Т~2, причем малым параметром разложения является
отношение Т/ер (см. § 75). При Т ~ ер этот пробег должен был
бы стать ~ с/, так что
(ff. (82.27)
Отсюда следует закон температурной зависимости электро- и
теплопроводности
ас\эТ-2, ныТ'1 (82.28)
(Л.Д. Ландау, И.Я. Померанчук, 1936). При понижении темпера-
туры эффективная частота vee электрон-электронных столкнове-
ний убывает медленнее, чем частота электрон-фононных столк-
новений i^e^ph- Но поскольку малым параметром в vee является
Т/ер, а не Т/Э, как в ve^vh, электрон-электронные столкновения
могут стать определяющими лишь при очень низких температу-
рах.
Отметим также, что законы (82.28) могут в принципе от-
носиться к случаям как открытых, так и закрытых ферми-
поверхностей. Поскольку квазиимпульсы электронов велики, то
необходимость в существовании процессов переброса не являет-
) Здесь надо сделать следующее замечание. Ввиду малости квазиимпуль-
са фонона, из закона сохранения энергии имеем
е(р) - е(р - к) и vFk и ±cj(k),
откуда видно, что угол в между vf и к близок к тг/2: cos в ~ uu/(vFk) ~
~ u/vf *C 1. В изотропном случае направления квазиимпульса к и скорости
и фонона совпадают, так что мало и произведение uvf- Такое же произве-
дение возникает и в интеграле, определяющем ток по функции (р, пропор-
циональной uVT; это обстоятельство привело бы, в изотропном случае, к
II -г» /
дополнительной малости в а . В анизотропном же кристалле (в том чис-
ле кубической симметрии) оснований для появления такой малости, вообще
говоря, нет.
§ 82 МЕТАЛЛЫ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ 423
ся, вообще говоря, в случае закрытых ферми-поверхностей ис-
точником какой-либо дополнительной малости.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кинетические коэффициенты металла. Низкие температуры» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»

Заказать диплом курсовую реферат
Реферати та публікації на інші теми: КОНЦЕПТУАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ ЩОДО ВИЗНАЧЕННЯ РЕАЛЬНОЇ ЗАРОБІТНОЇ ПЛАТИ
Зміст та необхідність державної санаційної підтримки підприємств
АУДИТ ОКРЕМИХ СПЕЦИФІЧНИХ ЦИКЛІВ ТА РАХУНКІВ
Непрямі форми державного фінансового сприяння санації підприємств
ФОРМИ ГРОШЕЙ ТА ЇХ ЕВОЛЮЦІЯ


Категорія: Теоретична фізика у 10 томах | Додав: koljan (30.11.2013)
Переглядів: 540 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]

Онлайн замовлення

Заказать диплом курсовую реферат

Інші проекти




Діяльність здійснюється на основі свідоцтва про держреєстрацію ФОП