Кинетические коэффициенты металла. Низкие температуры
В количественном исследовании кинетических явлений при низких температурах мы будем иметь в виду случай открытых ферми-поверхностей, соответственно чему не будем специально заботиться о процессах переброса. Прежде всего покажем, что релаксация в фононной систе- ме осуществляется (при Т « 0) в основном за счет фонон- электронных, а не фонон-фононных столкновений. Для оценки фонон-электронного интеграла столкновений G9.10) замечаем, что при низких температурах ио ~ Т, е — /i ~ T 416 МЕТАЛЛЫ и поэтому Nq ~ по ~ 1, dN^/duo ~ 1/Т. Интегрирование по с/3]э производится по объему слоя толщины ~ T/vp вдоль ферми- поверхности. Ввиду малости к/р, аргумент E-функции можно представить в виде е(р) - е(Р - к) - ^(к) « к— - о; « v^k - w. (82.1) E-функция устраняется интегрированием по направлениям р (или, что то же, по направлениям v^) при заданном к, что вно- сит в подынтегральное выражение множитель 1/vfk. Наконец, w оценивается по формуле G9.18). В результате найдем т. е. эффективная частота столкновений (82.2) Эффективная же частота фонон-фононных столкновений при низких температурах, согласно оценке F9.15): С Vph,ei (82.3) что и доказывает сделанное утверждение. Ниже мы будем пренебрегать фонон-фононными столкнове- ниями. Тогда кинетическое уравнение для фононов имеет вид дЩ = _^дЩ = ( } ( 4) Это уравнение может быть решено в явном виде относительно фононной функции х- Поскольку к в этом уравнении — заданная величина, то функция Хк может быть вынесена из содержащего ее интеграла и получается Xk = - + J_ [w(n> щщ?-е'-ш)(<р-<р')^-3=Х1+Х2, (82.5) Vph.e J BТГK где vPh,e = I w(n'o - щ)ё(е -е1- u)^. (82.6) Легко видеть, что Х2 ^ Xi- Действительно, из определения функции Х2 видно, что Х2 ~ <р (интегралы в числителе и знаме- нателе отличаются только множителем ср — срг в подынтегральном § 82 МЕТАЛЛЫ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ 417 выражении). Порядок же величины функции ср определяется ки- нетическим уравнением для электронов: откуда Эффективная же частота электрон-фононных столкновений оце- нивается так же, как это было сделано выше для vph,e', разница состоит лишь в том, что интегрирование по d?к в интеграле IGiPh производится по объему импульсного пространства ~ (Т/и)^ (вместо объема ~ p^T/vp при интегрировании по d3p в инте- грале Iph^e): з Ъ*н ~ |j. (82.7) Наконец, заметив, что xi ~ IVT^/V^g, находим — ~ — ~ 77г < 1, (82.8) Х2 VFVph,e в2 что и требовалось доказать. При вычислении электро- и теплопроводности (но не термо- электрического коэффициента — см. ниже) можно пренебречь малой величиной xi- Подставив затем выражение х ^ Х2 из (82.5) в электрон-фононный линеаризованный интеграл столк- новений (представленный в виде G9.11)), получим ) = ^Ih^) + Iej>h,e(<P)> (82-9) где Ie,Ph,e(v>) обозначает результат подстановки Х2 в интеграл е /г(х)- Первый член в (82.9) есть интеграл столкновений элек- тронов с равновесными фононами, а второй можно назвать инте- гралом столкновений между электронами через посредство фо- нонов. Введем (как это уже делалось в § 79) в качестве независи- мых переменных в функции <р(р) величину т\ = е — \i и вектор Pi?, проведенный в направлении р и оканчивающийся на ферми- поверхности. Оба члена в (82.9) содержат в своих подынтеграль- ных выражениях разность <p{v,Pf)-<p{v',p'f), (82-Ю) причем V ~ ч! = ±^, Pf ~ Pf = х, где У€ — проекция вектора к на плоскость, касательную к ферми- поверхности в точке pp. 14 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X 418 МЕТАЛЛЫ По переменной pF функция ср(г],рр) существенно меняется на интервалах ~ рр] разность же ус ~ к <С pp. В этом смысле зависимость ср от переменной рр является медленной, и в первом приближении можно положить в разности (82.10) р^, = р/?, т. е. заменить ее на <p(ri,pF)-<p(ri',pF). (82.11) Зависимость же от переменной т\ является сильной в том смысле, что разность \т\ — rf\ = со ~ Т совпадает, по порядку величины, с тем интервалом, на котором функция (р существенно меняется. Обозначим оператор, получающийся из Ie^h (82.9) заменой (82.10) на (82.11), через Lq] тогда Ie,ph представится в виде Ie,ph(<P) =L0(ip) +Ll((p), причем Lq ^> L\. Кинетическое уравнение для электронов (при наличии как электрического поля, так и градиента температуры) имеет вид - (еЕ + 1VT) v^ = LQ{v) + Ыг). (82.12) Два члена в правой части имеют существенно различный фи- зический смысл: первый ответствен за быструю релаксацию по энергии, а второй — за медленную, «диффузионную», релакса- цию по направлениям квазиимпульса. Отметим два очевидных свойства оператора Lq. Во-первых, он обращается в нуль для всякой функции, зависящей только от рр (так как обращается в нуль разность (82.11)). Во-вторых, обращается в нуль интеграл fL0(ip)dri = 0; (82.13) оператор Lq описывает столкновения с изменением только энер- гии, и равенство (82.13) означает просто сохранение числа элек- тронов с заданным направлением р. Будем искать решение кинетического уравнения в виде i, pF) = a{pF) + b{r), pF), (82.14) где а(рр) — функция только от pF, причем \а\ ^> \Ь\. Тот факт, что функция а (обращающая в нуль часть Lq интеграла столк- новений) велика, выражает собой быстроту процесса релаксации по энергиям. Подставив (82.14) в (82.12) и пренебрегая относи- тельно малым членом Li(b), получим уравнение ). (82.15) Оба члена в его правой части, вообще говоря, одинакового по- рядка величины. Но при вычислении коэффициентов электро- § 82 МЕТАЛЛЫ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ 419 или теплопроводности существен каждый раз лишь один из этих членов. В этом легко убедиться, вспомнив, что линеаризованный электрон-фононный оператор 1ефн (а с ним и операторы Lq и Li) при воздействии на функцию ср(г],рр) не меняет ее четности по переменной г/1). Имея это в виду, разделим функцию (р на чет- ную (tpg) и нечетную ((ри) п0 V части: (fg = а + bg, (fu = bu (независящая от т\ функция а по определению четна). Подставив ср = (pg + сри в (82.15) и отделив нечетные и четные по г/ члены уравнения, получим два уравнения: (82.16) _^eEvF = L0(bg) + Lx (a); (82.17) в левой части уравнений скорость v заменена, с достаточной точ- ностью, независящей от т\ скоростью лгр на ферми-поверхности. Второе из этих уравнений проинтегрируем еще по г/; ввиду свой- ства (82.13) член с Lq в результате выпадает и остается eEv^ = fL1(a)d7i. (82.18) Тепловой поток (при Е = 0) целиком определяется решени- ем уравнения (82.16), содержащего только оператор Lq, — как и следовало ожидать, он зависит от процессов релаксации по энер- гиям электронов. По решению уравнения (82.16) тепловой поток вычисляется как интеграл / f r~2d2>p f duo? 2dsp /oom\ q = / vrjSn—^ « - / vFr) — bu—^-, 82.19 J BтгK J дц BтгK четная по г/ часть функции if не дает вклада в интеграл ввиду нечетности получающегося под интегралом выражения. Оператор Lq — основная часть электрон-фононного интегра- ла столкновений. Отвечающая ему эффективная частота столк- новений есть поэтому ve^h из (82.7); об этой величине надо, точнее, говорить как об эффективной частоте столкновений по отношению к обмену энергией. Соответствующая длина пробе- га электронов есть / ~ ^F/^e.ph- Коэффициент же теплопро- водности можно оценить по газокинетической формуле G.10): к ~ cvlN. В данном случае N — плотность числа электронов, Для оператора I^ph это было показано в § 79. Мы не будем останавли- ваться на вполне аналогичном доказательстве для оператора Ie,Ph,e- 14* 420 МЕТАЛЛЫ с — электронная часть теплоемкости (отнесенная к одному элек- трону проводимости), a v ~ vp. Величины N и vp от темпе- ратуры не зависят, теплоемкость электронной ферми-жидкости пропорциональна Т, а согласно (82.7) длина пробега 1соТ~3. По- скольку вычисленный таким образом тепловой поток относится к Е = 0, коэффициент в нем есть не сам коэффициент теплопро- водности х, а сумма х7 = к-\-Таа2 (см. G8.3)). Таким образом, х'ооТ~2. Член Таа2, однако, оказывается малым по сравнению с х7 (см. ниже примеч. на с. 421); поэтому и хооТ~2. Положив для грубой оценки с (обычные единицы; ср. IX, A.15)), получим (82.20) Электропроводность определяется решением уравнения (82.18), содержащего только оператор L\ — как и следовало ожи- дать, электрический ток зависит от процессов релаксации по направлениям квазиимпульсов электронов. В начале § 81 бы- ло отмечено, что эти процессы имеют характер диффузии вдоль ферми-поверхности. В следующем параграфе будет показано, ка- ким образом кинетическое уравнение (82.18) может быть дей- ствительно приведено к виду уравнения диффузии. Закон же температурной зависимости электропроводности может быть вы- яснен уже путем следующих простых рассуждений. Перемещение вдоль ферми-поверхности происходит малыми скачками — на расстояния к ~ Т/щ эта величина играет роль «длины свободного пробега» в импульсном пространстве (/р), частота же «актов рассеяния» совпадает с частотой электрон- фононных столкновений ve^h- Коэффициент диффузии вдоль ферми-поверхности можно оценить по газокинетической форму- ле D ~ lv ~ l2v, написав в ней 1р и уеф в качестве I ж v. Таким образом, получим (обычные единицы) (82.21) Отсюда можно найти время релаксации, которое должно фигурировать в оценке электропроводности согласно G8.16): а ~ e2Nvpr/pp. Это — время, за которое квазиимпульс элек- трона меняется на величину порядка его самого. Другими сло- вами, за время т электрон должен продиффундировать вдоль ферми-поверхности на расстояние ~ pp. Но при диффузионном перемещении средний квадрат смещения пропорционален време- ни (и коэффициенту диффузии). Отсюда находим соотношение § 82 МЕТАЛЛЫ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ 421 р^р ~ DpT, и затем для проводимости (обычные единицы): а„ьЫ{е\\ (82.22) m*e \tJ v ; Таким образом, при низких температурах проводимость пропор- циональна Т~5 х). Остановимся на вопросе о термоэлектрическом коэффициен- те. Ситуация здесь аналогична той, которая имеет место при высоких температурах. Если вычислить ток j по функции Ъп — решению уравнения (82.16), то ввиду нечетности этой функции по переменной г/ ин- теграл обращается в первом приближении в нуль, а отличный от нуля результат получается лишь с учетом следующего по tj/ef члена разложения подынтегрального выражения. Это приводит (как и при Т ^> Э) к значению термоэлектрического коэффици- ента (обычные единицы) а1 ~ — (82.23) вместо «нормального» порядка величины а ~ 1/е2). Другой вклад в термоэлектрический коэффициент возник- нет от отброшенного в (82.5) члена xi B фононной функции х; этот вклад связан с эффектом увлечения электронов фононами. Если сохранить этот член, то в интеграле столкновений (82.9) добавится член ^ \ *"~\ "Л "Г I ^^^ Г I 1 I (82.24) Этот член можно перенести затем в левую часть кинетического уравнения (82.12), где его следует сравнивать с членом (vVT). (82.25) Член (82.24) мал по сравнению с (82.25) в отношении Т2/в2 (оценка, аналогичная (82.8)). Но учет этого члена приводит к по- явлению в решении if кинетического уравнения слагаемого (про- порционального VT), которое не будет уже нечетным по г/. По- этому при вычислении соответствующего вклада в ток никаких дополнительных малостей не возникает и в термоэлектрическом коэффициенте появляется слагаемое а11 - — (82.26) ев2 v } Этот результат был впервые получен Блохом (F. Bloch, 1929). 2) Из оценок (82.20)-(82.23) видно, что Та2а/>с - (S/eFJ < 1, чем оправ- дывается сделанное при выводе (82.21) пренебрежение. 422 металлы (Л.Э. Гуревич, 1946) х). По мере понижения температуры частота электрон-фонон- ных столкновений уменьшается и в конце концов главная роль в создании электро- и теплосопротивления переходит к столкно- вениям электронов с примесными атомами. Отметим, что ввиду различной температурной зависимости переход к «остаточному теплосопротивлению» происходит позже, чем переход к остаточ- ному электрическому сопротивлению. В очень чистых металлах может существовать область тем- ператур, в которой кинетические свойства металла определяют- ся электрон-электронными столкновениями. Соответствующая длина свободного пробега в электронной жидкости в металле, как и во всякой другой ферми-жидкости, зависит от темпера- туры как Т~2, причем малым параметром разложения является отношение Т/ер (см. § 75). При Т ~ ер этот пробег должен был бы стать ~ с/, так что (ff. (82.27) Отсюда следует закон температурной зависимости электро- и теплопроводности ас\эТ-2, ныТ'1 (82.28) (Л.Д. Ландау, И.Я. Померанчук, 1936). При понижении темпера- туры эффективная частота vee электрон-электронных столкнове- ний убывает медленнее, чем частота электрон-фононных столк- новений i^e^ph- Но поскольку малым параметром в vee является Т/ер, а не Т/Э, как в ve^vh, электрон-электронные столкновения могут стать определяющими лишь при очень низких температу- рах. Отметим также, что законы (82.28) могут в принципе от- носиться к случаям как открытых, так и закрытых ферми- поверхностей. Поскольку квазиимпульсы электронов велики, то необходимость в существовании процессов переброса не являет- ) Здесь надо сделать следующее замечание. Ввиду малости квазиимпуль- са фонона, из закона сохранения энергии имеем е(р) - е(р - к) и vFk и ±cj(k), откуда видно, что угол в между vf и к близок к тг/2: cos в ~ uu/(vFk) ~ ~ u/vf *C 1. В изотропном случае направления квазиимпульса к и скорости и фонона совпадают, так что мало и произведение uvf- Такое же произве- дение возникает и в интеграле, определяющем ток по функции (р, пропор- циональной uVT; это обстоятельство привело бы, в изотропном случае, к II -г» / дополнительной малости в а . В анизотропном же кристалле (в том чис- ле кубической симметрии) оснований для появления такой малости, вообще говоря, нет. § 82 МЕТАЛЛЫ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ 423 ся, вообще говоря, в случае закрытых ферми-поверхностей ис- точником какой-либо дополнительной малости.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кинетические коэффициенты металла. Низкие температуры» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Для оператора I^ph это было показано в § 79. Мы не будем останавли- 