Кинетическое уравнение для квазичастиц в ферми-жидкости
Кинетическое уравнение для квазичастиц в нормальной ферми-жидкости уже рассматривалось в другом томе этого кур- са в связи с вопросом о распространении колебаний в этой жид- кости (см. IX, § 4, 5); для этих вопросов интеграл столкновений в уравнении был несуществен. Продолжим теперь изучение ки- нетического уравнения, имея в виду его применение к диссипа- тивным процессам, связанным именно со столкновениями. Квазичастицы в ферми-жидкости обладают спином 1/2. Со- ответственно этому, в общем случае их функция распределения является матрицей по отношению к спиновым переменным. Но в широкой категории задач достаточно рассматривать распреде- ления, не зависящие от спиновых переменных. В таких случаях функция распределения сводится к скалярной функции п(г, р), нормированной так, что ncftp/'Bтг/гK есть число квазичастиц (в единице объема) с импульсами в интервале d3p и с заданной про- екцией спина; это и будет подразумеваться ниже в § 74-76. Характерное свойство спектра ферми-жидкости состоит в том, что энергия квазичастиц е является функционалом от функции распределения. Когда последняя меняется на малую величину, гс(г,р) =по(р)+(Ь(г,р) G4.1) (по — равновесное распределение), энергия меняется на <5ф,р) = J f(p,p')8n(r,p')-0^, G4.2) где /(р,р7) — функция взаимодействия квазичастиц. Таким об- разом, распределению G4.1) отвечает энергия квазичастиц ф,р)=ео(р) + <5ф,р), G4.3) где б(р) — энергия, отвечающая равновесному распределению. Кинетическое уравнение гласит: + dt dp дг dr dp § 74 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ 377 Его характерная особенность состоит в том, что в неоднородной жидкости левая часть уравнения содержит член с производной де/дт даже в отсутствие внешнего поля — за счет зависимости е от координат, вносимой выражением G4.3). Интеграл столкновений в правой части уравнения G4.4) имеет вид Stn= где n, ni, n7, rii — функции импульсов p, pi, p7, p[ сталкиваю- щихся квазичастиц. Закон сохранения импульса при столкнове- ниях предполагается уже учтенным, так что р + Pi = р' + pi; интегрирование в G4.5) производится поэтому всего по двум (а не по трем) импульсам. Сохранение же энергии обеспечивается E-функцией, выписанной в явном виде. Наконец, w — функция импульсов, определяющая вероятность столкновения. Первый и второй члены в фигурных скобках определяют соответственно числа квазичастиц, приходящих в заданное квантовое состояние и уходящих из него в результате столкновений. Эти члены отли- чаются от аналогичных членов в интеграле столкновений больц- мановского газа множителями A — п), ... Появление этих мно- жителей связано со статистикой Ферми, в силу которой столк- новения могут привести квазичастицы лишь в еще не занятые состояния. К столкновениям квазичастиц в ферми-жидкости борновское приближение, вообще говоря, неприменимо. Тем не менее вероят- ности прямого и обратного процессов рассеяния можно считать одинаковыми. Мы рассматриваем величины, уже усредненные по направлениям спинов квазичастиц. В этих условиях вероят- ность рассеяния оказывается зависящей только от начальных и конечных импульсов сталкивающихся квазичастиц. Это обстоя- тельство позволяет применить здесь те же соображения, кото- рые были использованы в § 2 при выводе принципа детального равновесия в форме B.8). При этом существенно, что в ферми- жидкости по-прежнему имеет место инвариантность относитель- но пространственной инверсии. Таким образом, приходим к ра- венству ™(р', pi; p, pi) = ™(p, pi; р', pi), уже использованному в интеграле столкновений G4.5). Функция w зависит, вообще говоря, от чисел заполнения состояний и тем самым — от температуры. Но ввиду малости температуры (су- щественной для всей теории ферми-жидкости) под w в интегра- 378 КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ ле столкновений следует понимать функцию, вычисленную для Т = 0. Как и следовало, интеграл G4.5) тождественно обращается в нуль при подстановке в качестве п равновесной функции рас- пределения Ферми по(е)= [exp^ + l]. G4.6) Действительно, заметив, что по / е — и \ = ехр — - , 1 - no сразу видим, что в силу закона сохранения энергии имеет место равенство ПрПр! _ 7^0^01 (rj л rj\ A - П0)A - 7101) " A " П0)A - П01) " Выясним с помощью кинетического уравнения, каким обра- зом выражаются, в терминах функции распределения, законы сохранения массы, энергии и импульса ферми-жидкости. Зави- симость энергии квазичастиц от их распределения придает этому вопросу определенную специфику. Проинтегрируем обе части уравнения G4.4) по 2сРр/BтгН)^ (множитель 2 учитывает два возможных направления спина). В силу сохранения числа квазичастиц при столкновениях, ин- теграл от St n обращается в нуль. В левой же части уравнения интеграл от члена — (дп/др)(де/дг) преобразуем по частям, в результате чего уравнение принимает вид — = divi = О, dt ' где N — плотность числа квазичастиц, i = (v>, G4.8) a v = де/др — скорость квазичастиц х). Это — уравнение непре- рывности для квазичастиц, так что i — плотность их потока. В силу совпадения числа квазичастиц в ферми-жидкости с числом истинных частиц, i есть в то же время плотность потока истин- ных частиц, так что i = (р/га). Произведем теперь с уравнением G4.4) те же операции, пред- варительно умножив обе его части на р. Интеграл от р St n обра- Здесь и ниже в этом параграфе символ (...) означает интегрирование по распределению п: ' J § 74 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ 379 щается в нуль в силу сохранения суммарного импульса квазича- стиц при столкновениях. Левая же часть, написанная в вектор- ных компонентах, дает д(Ра) f ( дту_де_ _ &п_де\ 2dsp dt J а\дх(здр(з дррдхр) BтгПK Подынтегральное выражение во втором члене переписываем в виде д ( де \ . де д f де РП + ГС— Р дха Интегрирование обращает третий член в нуль, а второй дает про- изводную дЕ/дха от плотности энергии жидкости Е] напомним, что энергия квазичастиц в ферми-жидкости определяется имен- но по вариации внутренней энергии: 5Е= [een^L. G4.9) J B7ГЙK V ' Таким образом, получаем уравнение сохранения импульса в виде где тензор плотности потока импульса Па/3 = (PavE) + SaE((e) - Е). G4.10) Наконец, умножив обе части уравнения G4.4) на ? и проинте- грировав, аналогичным образом получим уравнение сохранения энергии, где плотность потока энергии q = (ev). G4.11) В равновесии все потоки i, q, П^ обращаются в нуль. По- лучим для них выражения, линейные по малой поправке 6п в возмущенном распределении G4.1). Равновесная функция щ зависит только от энергии квазича- стицы, причем сама эта энергия отвечает именно равновесному распределению. Отметив это обстоятельство индексом нуль у ?, запишем определение G4.1) в более точном виде: п(г, р) = по(ео) + 8п(г, р). G4.12) 380 КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ Если же выразить щ в функции реальной энергии квазичасти- цы ?, то надо написать щ(?о) =по(е) -Se^- и тогда возмущенная функция распределения представится в ви- де гс(г, р) = щ(е) + <Уга(г, р), G4.13) Bтг/гK Поскольку в интегралах G4.8)-G4.11) е и v = де/др — уже реальные энергия и скорость квазичастицы, то достаточно под- ставить в них п в виде G4.13) и мы сразу же получим 2dsp [ х~ 2dsp [ ~~ 2dsp Bтгй)з' ^ J Bтг*)з' ^ G4.14) (в последнем выражении использовано также G4.9)). Теперь, ко- гда выделены члены первого порядка по 5п, в интегралах G4.14) уже можно, конечно, понимать е как ?о(р)- Подобно тому, как мы это уже неоднократно делали, пред- ставим дп в виде 5п = -ф^. G4.15) В данном случае выделение множителя дщ/де имеет особый смысл. Возмущение 6п сконцентрировано в зоне размытости рас- пределения Ферми. В той же зоне заметно отлична от нуля и производная дщ/де] после выделения этого множителя остаю- щаяся функция ф будет уже медленно меняющейся. Наряду с G4.15) будем писать 8п = -<р?1* = Ml-по) G416) где V = *-ff<*vt)<*gbH',vt)gL. G4.17) В нулевом приближении по малому отношению Т/ер функ- цию по (е) можно заменить ступенчатой функцией, обрывающей- ся на граничной энергии ер. Тогда ^ = -ё(е - eF) G4.18) и интегрирование по d3p сводится к интегрированию по ферми- поверхности е = ер. Элемент объема между двумя бесконечно § 74 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ 381 близкими изоэнергетическими поверхностями в импульсном про- странстве равен где dS — элемент площади изоэнергетической поверхности. По- этому интегрирование по d?p преобразуется в интегрирование по ферми-поверхности формулой ...8{e-eF)d6p= I ... ^, G4.20) где vf — значение скорости на ферми-поверхности. В G4.20) еще не использована сферичность поверхности; на сфере dSp = Pf do с постоянным pf- После такого преобразования определение G4.17) принимает вид ?>(г,р) =^(г,р)+ [ Нр,Рр)Ф(^р'р)-^—, G4.21) J vfFBirh)s где pf обозначает импульс (с переменным направлением!) на ферми-поверхности. Выражение потока частиц: i= [XL^l^Z. G4.22) J vF BтгПK V J и аналогично для потока импульса. В потоке же энергии при- ближение G4.18) заведомо недостаточно: оно свело бы q просто к конвективному переносу энергии e^i — первому члену в выра- жении 4 = eFi- [v(E-eF№<p?%. G4.23) J де Bтг/гK Для проведения линеаризации интеграла столкновений надо заметить, что он обращается в нуль равновесным распределени- ем по (б) как функцией реальной энергии б1). Поэтому линеа- ризация осуществляется подстановкой п в виде G4.13), G4.16). Вычисления производятся подобно тому, как это было сделано при переходе от F7.6) к F7.17). Пишем выражение в квадрат- ных скобках в G4.5) в виде гЦгт _ 1 — п' 1 — п\ и замечаем, что г П По (f 1 - п 1 - no T' ) Подчеркнем общий характер этого замечания. Оно относится к любому интегралу столкновений с участием фермиевских квазичастиц, а не только к интегралу G4.5). 382 КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ В результате получим Stn = 1{ф) = — wnonoi(l — п())A — nfQi)((pf + (p'i — (р - х die' + e\ - e - e{]d*Pld*p'. G4.24) Обратим внимание на то, что искомое (при решении кинети- ческого уравнения) возмущение функции распределения входит в интеграл столкновений в виде того же дп, которое фигурирует и в выражениях потоков G4.14). Если в левой части кинетическо- го уравнения G4.4) членов с дп вообще не надо учитывать (как в задачах о вычислении коэффициентов теплопроводности и вяз- кости — см. следующий параграф), то функция взаимодействия квазичастиц /(р, р7) не фигурирует явным образом в системе по- лучающихся уравнений: уравнения с /-функцией для неизвест- ного дп такие же, какими они были бы при / = 0 для неизвестно- го дп. Другими словами, в таких задачах «ферми-жидкостные» эффекты не проявляются, и задачи формально тождественны с таковыми для ферми-газа. Покажем, что такая же ситуация имеет место и в определен- ной категории случаев, когда в левой части кинетического урав- нения должны быть сохранены члены первого порядка по дп. При независящей от координат функции щ эти члены таковы: ддп ддп део дпо дде _ dt дг др др дг ддп . ддп дп0 д f ., />iX , /ч d3p' = +v — v—-— / /(р,р )дп(т, р ) —. dt dr de dr J J V^' * J V ' * J Bтг/гK С дп из G4.13) они сводятся к виду ddn ddn^ ( } dt dr v J Если производной по времени можно пренебречь, то и здесь бу- дет фигурировать только дп. Эти утверждения сохраняют силу не только для электриче- ски нейтральной ферми-жидкости, о которой здесь идет речь, но и для электронной жидкости в металлах, которая будет рассма- триваться в следующей главе. Имея в виду этот объект и что- бы не возвращаться вновь к этому вопросу, сделаем уже здесь несколько дополнительных замечаний. Если квазичастицы несут электрический заряд — е, то в при- сутствии электромагнитного поля в производной р = —де/дг появляется дополнительный член — действующая на заряд ло- § 75 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ВЯЗКОСТЬ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ 383 ренцева сила. Соответственно в левой части кинетического урав- нения появляется член dp J J dp Электрическое поле обычно предполагается слабым и в члене —eEidn/dp достаточно положить п = щ. Член же с магнитным полем обращается тождественно в нуль для функции по (б), за- висящей только от е. Но если поле сильное, то может оказаться необходимым сохранение также и членов первого порядка по 6п. Эти члены таковы: _^vBl^ - е- 1"^в1 ^ = --\vS\ (— - ^д5е\ с1 } dp с [ dp \ dp с1 }\ dp de dp J (где v = де^/др). В фигурной скобке можно внести множитель дщ/де, зависящий только от ?, под знак д/др (его производ- ная направлена вдоль v и дает нуль при умножении на [vB]). В результате эти члены сведутся к виду G4.26) снова содержащему только 5п.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кинетическое уравнение для квазичастиц в ферми-жидкости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Здесь и ниже в этом параграфе символ (...) означает интегрирование 