При низких температурах (Т <С 0) характер переноса тепла в диэлектриках радикально меняется. Дело в том, что в таких условиях число процессов переброса становится экспоненциально малым, как это ясно из следующих рассуждений. Сохранение квазиимпульса в трехфононном процессе с пере- бросом, выражаемое равенством k = ki + к2 + Ь, требует, чтобы по крайней мере один из трех квазиимпульсов был велик; пусть это будет к\ ~ Ъ. Тогда и энергия ио\ ~ в, а вследствие этого сохранение энергии (ио = ио\ + с^) требует, чтобы была велика и энергия ио ~ в. Но при Т < 9 большинство фононов имеет энергию ~ Т, а число фононов с энергиями ~ в экспоненци- ально мало. Таким образом, как для процесса распада фонона, так и для обратного процесса слияния двух фононов числа на- чальных фононов, а с ними и числа процессов, экспоненциально малы. Легко заметить, что в этих рассуждениях несущественна трехфононность процесса. То же самое относится и к процессам с участием большего числа фононов. В этой ситуации физическая картина теплопередачи выгля- дит следующим образом. Многочисленные нормальные столкно- вения фононов, сохраняющие суммарный квазиимпульс, приво- дят к установлению лишь «внутреннего» равновесия в фононном газе, который может при этом двигаться относительно решетки с произвольной скоростью V. Малочисленные же столкновения с перебросом лишь слабо меняют функцию распределения, но ими устанавливается определенное (пропорциональное градиен- ) Их исследование см. в оригинальной статье: Herring С. // Phys. Rev. 1954. V. 95. P. 954. § 69 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ 359 ту температуры) значение V; этим значением в свою очередь определяется тепловой поток. Покажем теперь, каким образом эта картина выражается в математическом решении задачи 1). Запишем кинетическое уравнение в виде ^ F9.1) разделив в интеграле столкновений части, связанные с нормаль- ными (индекс N) и перебросными (индекс U) столкновениями. Равновесная функция распределения, отвечающая движению га- за как целого со скоростью V, получается из функции Щ() заменой ее аргумента ио на ио — kV; при малом V имеем Щ(оо - kV) « JVoM - kV^. F9.2) duo В соответствии с описанной выше картиной ищем решение урав- нения F9.1) в виде X = Xn + Xu, X7V = kV; F9.3) Хи — часть изменения функции распределения, связанная с про- цессами переброса. Эта последняя часть мала по сравнению с xn- Если обозначить через vjj и v^ порядки величины эффективных частот столкновений с перебросами и без них (уи <С ^дг), то ^ ~ *L. F9.4) Подстановка в F9.1) приводит к уравнению ^uVT = IN(Xu) + Iu(xn), F9.5) где действующие на функции х линейные операторы определя- ются выражением F7.17). В F9.5) учтено, что In(xn) = 0, а член Ijj(xu) опущен как малый; оба же оставленных в правой части члена одинакового порядка величины при соотношении F9.4). Подчеркнем прежде всего, что в пренебрежении процессами переброса, при отличном от нуля градиенте температуры, кине- тическое уравнение вообще не имело бы решения. Действитель- но, умножим уравнение F9.5) на к, проинтегрируем по с/3/с/BтгK и просуммируем по всем ветвям спектра фононов. Поскольку Обратим внимание на то, что однозначное выделение процессов пере- броса как малого эффекта достигается именно при обусловленном в § 66 вы- боре основной ячейки в обратной решетке, в результате которого все столк- новения между одними лишь длинноволновыми фононами малых энергий являются нормальными. 360 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. VII нормальные столкновения сохраняют полный квазиимпульс, то член In{xu) обратится в результате в нуль, так что остается У /k(uVT)^^- = У [ыиЫ — . F9.6) ^J У ' ОТ BтгK ^J иУА 'Bп)з У ' о о В пренебрежении процессами переброса, в правой части этого уравнения стоял бы нуль, между тем как левая часть заведо- мо отлична от нуля (подынтегральная функция — четная функ- ция к, поскольку о;(к) — четная, а и = дио/д\а — нечетная функ- ции); это противоречие и означает отсутствие решения у кине- тического уравнения. С учетом же процессов переброса равенство F9.6) определя- ет неизвестную величину V, входящую в решение F9.3). Для упрощения записи формул будем считать, что кристалл имеет кубическую симметрию; тогда в интегралах в F9.6) анизотропия кристалла не проявляется 1) и равенство F9.6) после подстанов- ки xn из F9.3) принимает вид C1\7T=-vuf32TV, F9.7) где введены обозначения , h у fN0, BтгK' И 39T^j ш BтгK' \ F9. J BтгK (множитель ^2 выделен для упрощения записи формул ниже). Равенство F9.7) определяет V, после чего поток энергии вы- числяется как интеграл F7.4), в котором в качестве N надо под- ставить функцию duo и ОТ Тогда получим q = T/3iV; вместе с F9.7) это дает q = —xVT с коэффициентом теплопроводности ^ F9.9) Интересно, что в рассматриваемом случае вычисление ус не тре- бует решения кинетического уравнения F9.5), а сводится к вы- числению интегралов F9.8). При кубической симметрии всякий тензор второго ранга сводится к скаляру: аар = A/3)а6ар), а = ааа. § 69 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ 361 Интегралы fa и fa определяются областью частот ио ~ Т, в которой находится большинство фононов. Эти интегралы зави- сят от Т лишь степенным образом. Поскольку малой энергией могут обладать лишь акустические фононы, то в ft и fa факти- чески достаточно суммировать лишь по трем акустическим вет- вям спектра. Легко видеть, что при этом fa,fa(X)T3. F9.10) Экспоненциальная же зависимость заключена в интеграле vjj . Его конкретное выражение можно получить с помощью F7.17). Для процессов переброса имеем Xni + XN2 ~ Xn = V(ki + k2 - k) = Vb. Для большинства фононов ио ~ Т и функция распределения Щ ~ 1; для фононов же с w > Т функция Щ <С 1. Поэтому множители Щ + 1 ~ 1 и при оценке интеграла могут не учиты- ваться. Функции же содержат множители ехр (—ujjT\ которые могут быть экспонен- циально малыми; эти множители и играют определяющую роль при оценке интеграла. Таким образом, если интересоваться лишь экспоненциальной зависимостью vjj от температуры, имеем f J F9.11) суммирование производится по всем ветвям спектра g, gi, g2 и по всем возникающим в процессах переброса отличным от нуля значениям Ь. Уравнение a;g(k)=Wgl(k1)+a;g2(k-k1) F9.12) определяет пятимерную поверхность в шестимерном k, ki-npo- странстве. Пусть A(g,gi,g2) — минимальное значение ojg(k) на этой гиперповерхности; поскольку энергии фононов, участвую- щих в процессах переброса, велики, то и эти значения ~ Э. Ка- ждый из интегралов под знаком суммы по (g) в F9.11) пропор- ционален ехр [—A(g,gi,g2)/T]. Сохранив лишь наибольший из них, имеем (^) F9.13) где Amin — наименьшее из A(g,gi,g2). 362 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. VII Таким образом, мы приходим к результату, что коэффициент теплопроводности зависит от температуры в основном по экспо- ненциальному закону ^, F9.14) причем Amin ~ в (R. Peierls, 1929). Процессы более высокого порядка, с участием большего чис- ла фононов, приводят к температурной зависимости такого же характера, причем А — наименьшее возможное значение энергии начальных фононов в каждом процессе (или, что то же, половина наименьшего значения суммарной энергии всех — начальных и конечных — фононов, участвующих в процессе). В принципе мо- жет оказаться, что это значение меньше, чем для трехфононных процессов, и тогда вклад процессов высшего порядка в тепло- проводность может стать преобладающим, несмотря на то, что предэкспоненциальный множитель, разумеется, уменьшается с возрастанием порядка процесса. В отличие от частоты v\j процессов переброса, эффективная частота z^v нормальных столкновений уменьшается с темпера- турой по степенному закону; имея в виду применение в § 71, определим закон этого убывания. Нормальные столкновения происходят между акустически- ми фононами с uj ~ T, составляющими большинство. Их ква- зиимпульсы к ~ ио/и ~ Т/и. В интеграле столкновений F7.17) интегрирование производится по поверхности с площадью ~ /с2, выделяемой E-функцией в объеме ~ /с3. В этой области функции Щ ~ 1, а функция week3 (согласно F6.14)); поэтому z^vOoT5. Коэффициент пропорциональности проще всего определить из условия, что при Т ~ 0 это выражение и оценка F8.3) должны приводить к одинаковому результату; отсюда ?!! F9.15)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теплопроводность диэлектриков. Низкие температуры» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Обратим внимание на то, что однозначное выделение процессов пере- 