Теплопроводность диэлектриков. Высокие температуры
Уравнение F7.13) позволяет сразу же определить темпера- турную зависимость коэффициента теплопроводности диэлек- трика при высоких температурах, больших по сравнению с деба- евской температурой в ~ u/d (Hu/d в обычных единицах). Максимальное значение энергии фононов во всех ветвях их спектра порядка величины Э. Поэтому при Г ^> Э энергии всех вообще фононов о; <Т, причем для основной их массы ио ~ Э. При этом равновесная функция распределения F7.9) сводится к Щ « - > 1. F8.1) § 68 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ 353 В интеграле столкновений F7.17) температура выносится в виде множителя Г2; функция w, взятая для частот ио ~ в, не влия- ет на температурную зависимость интеграла. В левой же части уравнения F7.13) производная дЩ/дТ « 1/uj не содержит тем- пературы. Отсюда заключаем, что VT ХАТ dNo VT Y^—, oN = ——-у ^—, Л Т2 ' ди* Г ' а потому и тепловой поток 1) Ef cAT dsk VT J Bтг)з Т о Таким образом, коэффициент теплопроводности обратно пропорционален температуре: х~1, Г>в F8.2) (в классической теории этот результат был получен Дебаем (P. Debye)). В анизотропном кристалле направления q и VT, вообще говоря, не совпадают, так что коэффициент теплопро- водности не скаляр, а тензор второго ранга; говоря о его темпе- ратурной зависимости, мы отвлекаемся от этого обстоятельства. Оценим длину свободного пробега фононов в рассматрива- емой области температур. Согласно элементарному газокинети- ческому соотношению G.10), и ~ Cvl, где С — теплоемкость (отнесенная к единице объема), v — средняя скорость носителей энергии, / — длина их пробега. Теплоемкость кристалла при вы- соких температурах постоянна; постоянна и скорость фононов, которую можно оценить как скорость звука и. Тогда мы видим, что длина пробега I ~ 1/Г. Длина / должна была бы стать поряд- ка постоянной решетки d при температурах настолько высоких, что амплитуда колебаний атомов тоже стала бы ~ d. Согласно оценке F7.5), такая температура ~ Ми2, и для длины пробега и эффективной частоты столкновений v ~ и/1 находим оценки , Mu2d T ,-Q Qx Т ' Mud V } Отсюда видно, что / ^ d фактически при всех температурах ниже точки плавления. г) Заранее очевидное обращение q в нуль в равновесии формально следует из обращения в нуль интеграла по d к ввиду нечетности подынтегрального выражения как функции к: частота о;(к), а с нею и Щ(и) — четные функции к, а скорость и = дш/&к — нечетная функция. Напомним (см. V, § 69), что четность функции о; (к) связана с симметрией по отношению к обращению времени и имеет место при любой симметрии кристаллической решетки. 12 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X 354 диэлектрики гл. vn В изложенных рассуждениях по существу подразумевалось, что рассмотренный трехфононный механизм теплового сопро- тивления кристаллической решетки эффективен для всех фоно- нов. Потоки энергии, переносимой различными группами фоно- нов, аддитивны, так что аддитивны и их вклады в коэффициент теплопроводности. Если данный механизм был бы недостаточен хотя бы для какой-нибудь группы фононов, то тем самым он был бы вообще недостаточен для обеспечения конечной тепло- проводности. В этом отношении требуют особого рассмотрения длинноволновые акустические фононы. Рассмотрим прежде всего процессы, в которых участвуют только длинноволновые акустические фононы с малыми квази- импульсами сравнимой величины (будем обозначать эти квази- импульсы буквами f с соответствующими индексами). Оценим для таких процессов интеграл столкновений F7.17) в смысле его зависимости от /. Согласно F6.14), в этом случае функция wcoffif2 ~ /3. Множители Nq ~ T/uo col/f. Интегрирование производится в ^-пространстве по объему ~ /3, но E-функция выделяет внутри этого объема лишь поверхность с площадью ~ /2. Таким образом, найдем, что интеграл столкновений (в последнем выражении учтено, что согласно определению F7.15) SNoox/f2)] этот результат можно сформулировать в тер- минах эффективной частоты столкновений: K/W4. F8.4) В левой же части кинетического уравнения F7.13) множитель и не зависит (для акустических фононов) от /, а dNo/дТ со 1//. Поэтому SNco—. Вклад длинноволновых фононов в поток энергии q дается интегралом F7.4), взятым по объему ~ /3. Но этот интеграл u F8-5) расходится при малых / как 1//. Таким образом, трехфонон- ные процессы между одними только длинноволновыми акусти- ческими фононами привели бы к бесконечной теплопроводности; для обеспечения конечного теплового сопротивления необходи- мы столкновения этих фононов с коротковолновыми {И.Я. По- меранчук, 1941). § 68 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ 355 Пусть коротковолновый фонон с квазиимпульсом к распада- ется на длинноволновый акустический фонон f и коротковол- новый фонон к — f — b, относящийся к той же ветви спектра о;(к), что и фонон к (для дальнейших рассуждений существен- на не столько абсолютная величина /с, сколько тот факт, что к ^> /). Поскольку функция ui(k) периодична в обратной решет- ке, то оо (к — f — b) = о; (к — f) и закон сохранения энергии дает o;(k) =o;(k-f)+u(n)/. F8.6) Второй член справа — частота акустического фонона — линейная функция / (и(п) = o;(f)//) — фазовая скорость звука, зависящая от направления n = f//. Разложив о;(k—f) по степеням малого f, переписываем это равенство в виде f §? = /«(п). F8.7) Оно может быть выполнено, лишь если скорость коротковолно- вого фонона превышает скорость звука: u(n). F8.8) В этом смысле наиболее «опасна» акустическая ветвь с наиболь- шей скоростью звука; эту ветвь мы и будем иметь в виду, говоря об акустических фононах1). Другие возможности для трехфононных процессов появля- ются при наличии точек вырождения в ^-пространстве, в кото- рых энергии двух или более ветвей фононного спектра совпада- ют (С. Herring, 1954); наличие таких точек (изолированных или заполняющих линию или плоскость) во многих случаях явля- ется обязательным следствием симметрии кристаллической ре- шетки. Возникающие в результате возможности иллюстрируют- ся графическим построением, которое мы сначала проведем для уже рассмотренного случая испускания «сверхзвуковым» корот- коволновым фононом. При заданном направлении f выберем это направление в ка- честве оси х] на рис. 27а сплошная кривая изображает зависи- мость ио(кх) (при заданных ky, kz) для коротковолновых фоно- нов. Написав условие F8.7) в виде дои / \ х) В изотропном твердом теле одна ветвь акустического спектра отве- чает продольным, а две другие — поперечным колебаниям; скорость про- дольных звуковых волн больше скорости поперечных волн. В анизотропном кристалле разделение волн на продольные и поперечные теряет, вообще го- воря, смысл. Но в литературе часто называют условно «продольной» ветвь с наибольшей скоростью звука. 12* 356 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. VII fu со > fu /l мы видим, что испускание акустиче- ского фонона возможно, если в неко- торой точке кривой ее наклон совпа- дает со скоростью звука. Тогда вбли- зи этой точки частоты cj(k) и о; (k — f) коротковолновых фононов даются точ- ками пересечения кривой со штриховой прямой, проведенной с наклоном и(пх)] разность ординат этих точек дает ча- стоту uf. Если же в некоторой точке кх = кхо кривые двух ветвей оо(кх) пересекают- ся, то вблизи такой точки трехфонон- ный процесс возможен всегда, при лю- бых наклонах кривых w(kx), независи- мо от того, имеет ли место в точке кхо простое пересечение (рис. 275) или ка- сание (рис. 27в). При этом оба коротко- волновых фонона относятся к различ- ным ветвям спектра. Оценим эффективное число столк- новений длинноволнового акустическо- го фонона при наличии точек выро- ждения. Речь при этом должна идти о процессах поглощения и испускания этого фонона — процессы F7.8) (при распаде такого фонона — процессы F7.7) — два образующихся фонона бу- дут также длинноволновыми и мы воз- вратились бы к прежней ситуации). Поэтому мы должны оце- нить второй член в F7.17), считая, что OJl^OJs ^ OJCOf —>> 0. При этом учтем, что woof, NqCoI/f, а остальные множители под интегралом можно заменить на независящие от / средние значе- ния, поскольку интегрирование производится лишь в окрестно- сти точек вырождения. Снова введя SNcox//2, получим оценку зависимости интеграла столкновений от / в виде I(x) ~ v(fMN, где v(f) со f f 5[uii(k — f) + u(n)f — ^з(к)] d?k. F8.9) Этот интеграл можно преобразовать в интеграл по поверхно- сти в к-пространстве, определяемой уравнением Рис. 27 u(n)/-w3(k)=0, F8.10) § 68 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ 357 согласно формуле1) Г _ Г jo F8.11) где интеграл берется по поверхности -F(k) = 0. Тогда получим F8.12) где AS(f) — площадь поверхности F8.10), а угловые скобки означают усреднение по поверхности. Рассмотрим типичный случай, когда точки вырождения об- разуют линию в k-пространстве. Тогда при / —>> 0 поверхность F8.10) стягивается в линию, на которой лежат точки вырожде- ния, а при малых / она представляет собой тонкую трубку, охва- тывающую эту линию; зависимость площади AS от / совпадает поэтому с зависимостью от / диаметра трубки. Если изоэнергетические поверхности пересекаются на линии вырождения без касания (см. рис. 275), то расстояние точки к от точки вырождения зависит от / линейно, так что и AS oof. Поскольку разность производных в этом случае конечна в точке пересечения, то К/)с\э/3. F8.13) Интеграл F8.5) расходится теперь уже лишь логарифмическим образом. Эта расходимость должна устраняться так же, как и в отсутствие вырождения (см. ниже). Ввиду слабости расходимо- сти она обычно не приводит к существенному изменению закона F8.2). Пусть теперь изоэнергетические поверхности имеют в точке вырождения квадратичное касание. Тогда, как ясно из рис. 27в, / пропорционально квадрату расстояния до точки касания. Пло- щадь же AS, будучи пропорциональной этому расстоянию, ока- зывается со/1/2. Но такова же в этом случае зависимость от / и разности производных в F8.12), поскольку кривые производных пересекаются уже без касания. Поэтому в этом случае v(f)cvf2 F8.14) и расходимость в теплопроводности не возникает. ) Эту формулу можно сразу получить, если учесть, что где / — расстояние по нормали к поверхности. 358 диэлектрики гл. vn Аналогичным образом можно рассмотреть и другие типы вы- рождения 1). Если точки вырождения в фононном спектре отсутствуют, то для обеспечения конечной теплопроводности за счет трехфонон- ных процессов условие F8.6) должно выполняться (хотя бы для одной ветви спектра о;(к)) при всех направлениях п. В против- ном случае конечная теплопроводность устанавливается лишь за счет процессов более высокого порядка (четырехфононных) и за- кон F8.2) не имеет места. Заметим, что при низких температу- рах, когда длина пробега настолько возрастает, что может срав- ниться с размерами образца L, расходимость интеграла F8.5) может обрезаться на / ~ 1/L, что привело бы к зависимости коэффициента теплопроводности от размеров L.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теплопроводность диэлектриков. Высокие температуры» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
