Согласно результатам § 34, амплитуда возмущения с волно- вым вектором к в однородной неограниченной среде ведет себя асимптотически при t —»> ос как е"™^, F1.1) где о;(к) — частота волн, распространяющихся в среде. В частно- сти, для продольных волн в плазме частоты о; (к) — корни урав- нения *) ег(и>,к) = 0. F1.2) Частоты о;(к), вообще говоря, комплексны. Если мнимая часть Imcj = —7 < 0, то возмущение затухает со временем. Ес- ли же в некотором интервале значений к имеем 7 < 0, то такие возмущения возрастают — среда неустойчива по отношению к колебаниям в этом интервале длин волн; величину |7| называют в таком случае инкрементом неустойчивости. Сразу же под- черкнем, что, говоря о «неограниченном» возрастании возмуще- ния (по закону ехр (|7|^))? мы всегда, здесь и ниже, имеем в виду лишь поведение в линейном приближении; в действительности, разумеется, возрастание ограничено нелинейными эффектами. В бесстолкновительной плазме мнимая часть частоты возни- кает в силу затухания Ландау. Термодинамически равновесное состояние плазмы, отвечая абсолютному максимуму энтропии, устойчиво по отношению к любому возмущению. В § 30 было уже отмечено, однако, что для неравновесных распределений в плаз- ме поглощение энергии колебаний может смениться их усилени- ем. Это проявляется в появлении области значений независимых переменных киш (си > 0), в которой мнимая часть диэлектри- ческой проницаемости отрицательна: е"(а;,к) < 0. Подчеркнем, однако, что наличие таких областей само по себе еще не означает обязательно неустойчивости плазмы (во всяком случае, в линей- ном приближении); необходимо еще, чтобы в эту область фактиче- ски попадала какая-либо из ветвей спектра плазменных колебаний. j Напомним, что в случае анизотропной плазмы это дисперсионное урав- нение относится к квазипродольным «медленным» волнам — см. § 32. 11 Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X 322 ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ Характерный пример неустойчивости представляет направ- ленный пучок электронов, проходящих через неподвижную плаз- му (А.И. Ахиезер, Я.Б. Файнберг, 1949; D. Bohn, E.P. Gross, 1949). Пучок предполагается электрически компенсированным: сумма электронных плотностей зарядов в плазме и пучке равна ионной плотности зарядов плазмы. Система однородна и неогра- ничена, т. е. пучок (как и неподвижная плазма) заполняет все пространство, причем его направленная скорость V везде оди- накова. Скорость V будем считать нерелятивистской. Предположим сначала, что как пучок, так и плазма — хо- лодные, т. е. можно пренебречь тепловым движением их частиц; необходимое для этого условие выяснится ниже. В области частот электронных колебаний продольная диэлек- трическая проницаемость системы плазмы-пучок имеет вид !^ F1.3) Первый член справа отвечает неподвижной плазме, Ое = = D7re27Ve/?7iI/2 есть соответствующая электронная плазменная частота. Второй член обязан электронам пучка. В системе отсче- та К1', движущейся вместе с пучком, вклад его электронов в е\ — 1 равен — (Og/o;7J, где а/ — частота колебаний в этой системе, а О7е = D7re27Vg/?7iI/2 (N'e — плотность электронов в пучке). При переходе к исходной системе отсчета К частота а/ заменяется на J = o;-kV F1.4) и мы приходим к выражению F1.3) х\ Будем считать плотность пучка малой в том смысле, что К < Ne, F1.5) так что и Ое <С Ое. Тогда наличие пучка лишь незначитель- но меняет основную ветвь спектра продольных колебаний плаз- мы — тот корень дисперсионного уравнения е\ = 0, для которого uj ~ Ое. Но наряду с этой ветвью появляется еще и новая ветвь, связанная с наличием пучка; она-то нас здесь и интересует. Чтобы член с малым числителем Og2 не выпадал из диспер- сионного уравнения о2 о/2 ^ + ^ = 1, F1.6) cj2 (ш - kVJ ' V ; х) Закон преобразования частоты легко получить путем преобразования фазового множителя волны. Радиус-вектор точки в системе К : г = г — Vt. Поэтому кг - uot = кг' - (и - KV)t = кг' - Jt. § 61 ПУЧКОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 323 эта малость должна компенсироваться малостью знаменателя. Поэтому ищем решение в виде ио = kV + S с малым S. Тогда уравнение принимает вид о2 о'2 (kVJ д2 v откуда e ' п: ч, F1.8) причем условие 6 <С kV требует, чтобы |kV| было не слишком близко к Ое. Предположение же о холодности плазмы требует соблюдения условия kvTe <C w и в данном случае означает, сле- довательно, что должно быть Уте ^ V — скорость пучка велика по сравнению с тепловой скоростью электронов плазмы. Если (kVJ > О2, то оба корня F1.8) вещественны и колеба- ния не нарастают. Если же (kVJ < О2, F1.9) то оба значения 5 мнимы; то из значений ?, в котором Imo; = = ImS > 0, отвечает нарастающим колебаниям. Таким образом, система неустойчива по отношению к колебаниям с достаточно малыми значениями kV. Другая ситуация возникает при учете теплового движения электронов в плазме. В общем случае вместо F1.3) будем иметь ?/(o;,k) = 6j (o;,k) — , F1.10) V ' J l V ' J (cj-kVJ' V J где в} относится к плазме без пучка. Решая уравнение е\ = 0 тем же способом, найдем теперь S = ± п° . F1.11) Но в силу затухания Ландау функция е^ил) имеет мнимую часть всегда (при любом к). Тем самым всегда будет комплекс- ным и E, причем в силу двойного знака в F1.11) для одной из ветвей колебаний будет ImS > 0, т. е. эти колебания неустой- чивы. При переходе к большим V, отвечающим рассмотренному выше случаю холодной плазмы, связанная с затуханием Ландау часть Imei становится экспоненциально малой и мы возвраща- емся к F1.8). В изложенных рассуждениях пренебрегалось тепловым раз- бросом скоростей электронов в пучке. Это пренебрежение оправ- дано, если величина этого разброса «Те « Т- F2Л2)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Пучковая неустойчивость» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
