Исследуя в предыдущем параграфе кинетические коэффи- циенты плазмы в сильном магнитном поле, мы пользовались ин- тегралом столкновений Ландау, что подразумевало выполнение неравенства гве ^> а E9.10). Покажем теперь, как можно освобо- диться от этого ограничения, т. е. получить формулы, пригодные и в случае полей, настолько сильных, что для электронов выпол- няется обратное неравенство: гВе < а. F0.1) При этом удобно воспользоваться специальным, так называ- емым дрейфовым приближением, которое производится уже в самом кинетическом уравнении, а не только при его решении. Это приближение справедливо, если магнитные и электрические поля достаточно медленно меняются в пространстве и во време- ни. Именно, частота поля ио и эффективная частота соударений v должны быть малы по сравнению с ларморовской частотой, а ха- рактерное расстояние, на котором меняются поля (обозначим его через 1/fc), должно быть велико по сравнению с ларморовским радиусом. Эти условия должны выполняться для каждого сорта частиц, к которым применяется дрейфовое приближение. Ниже в этом параграфе мы будем писать все формулы (для опреде- ленности) для электронов (аналогичные формулы для ионов по- лучаются, как всегда, заменами е —>• — ze, иове ~~^ ~^Вг^ т ~~^ М). Таким образом, будут предполагаться выполненными условия CJ, Vei < Шве-, Т > ГВе- F0.2) к Основой рассматриваемого метода является приближенное решение уравнений движения заряженных частиц в заданных полях Е(?, г) и В(?, г), учитывающее медленность изменения по- следних как функций t и г. Движение частиц в таких полях пред- ставляет собой совокупность быстро переменного вращения (с частотой иове) по «ларморовским окружностям» вместе с мед- ленно меняющимся перемещением центров этих окружностей § 60 ДРЕЙФОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 311 (или, как говорят, ведущих центров орбит). Метод решения со- стоит в выделении быстропеременной, осциллирующей состав- ляющей движения и усреднении по нему. Представим радиус-вектор и скорость электрона в виде v = V + C, V = R, F0.3) где R — радиус-вектор ведущего центра орбиты, а ? — ос- циллирующий радиус-вектор электрона относительно ведуще- го центра1). В нулевом приближении, в полном пренебрежении пространственной и временной зависимостями поля и столкнове- ниями, мы имеем дело просто с движением в скрещенных одно- родных и постоянных полях Е и В. Как известно (см. II, § 22), в этом случае вектор ? лежит строго в плоскости, перпендикуляр- ной полю В, и вращается в этой плоскости с постоянной угловой скоростью сове = еВ/'(тс), оставаясь неизменным по величине. Радиус окружности |?| связан с постоянной скоростью |?| = v± согласно |?| = v^/иове] в векторном виде связь между С и С за" писывается в виде < = - — [К], F0.4) где b = И/В. Центр же орбиты движется со скоростью R = Vo = где г>оц — скорость равномерно-ускоренного движения вдоль маг- нитного поля, удовлетворяющая уравнению = -еЬЕ, F0.5) = -[Eb] F0.6) В есть скорость перемещения в плоскости, перпендикулярной В (скорость электрического дрейфаJ). В дальнейшем мы ограничимся этим приближением и пре- небрежем членами, связанными с непостоянством полей Е и В, т. е. фактически будем считать их постоянными. В соответствии с этим мы будем опускать индексы 0 у всех величин. Сущность дрейфового приближения состоит в переходе в ки- нетическом уравнении к медленно меняющимся переменным R, ^||5 v± — ICI- Эти величины вместе составляют пять независимых переменных, от которых зависит функция распределения. Не смешивать обозначение V в этом параграфе с макроскопической скоростью, обозначенной через V в § 59! 2) При этом предполагается, конечно, что Е/В <^ 1, так что w ^C с и релятивистскими эффектами можно пренебречь. 312 ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. V Элемент фазового объема в новых переменных имеет вид d3x d3p = d3R • 2тгш3 dv\\ • v±_ dv± = 2тгш3 d3R dv\\ dJ, F0.7) где введена удобная для дальнейшего величина J = ^ F0.8) (при проверке соотношения F0.7) следует помнить, что в приня- том приближении поля можно считать постоянными). Выразим через новые переменные плотность тока электро- нов. Для одного электрона плотность тока есть — ev5(r — ге), где г — бегущие координаты точки пространства, а ге — координаты точки нахождения электрона. Положив v = V + (Hre = R + (, запишем -ev?(r - re) « -e(V + СЩт - R) - CVr(r Усредним это выражение по углу вращения с помощью очевид- ного соотношения (СаСр) v где а, /3 — двумерные (в плоскости, перпендикулярной магнит- ному полю) векторные индексы. Получим -eVS(r - R) + ^-[bVr]S(r - R). В Умножив это выражение на функцию распределения электронов /е и интегрируя по d3p = 2тгт3 dv\\ dJ, получим плотность тока в R-пространстве г): je = -е / V/e d3p - ^ rot (b / J/e d3p) . F0.9) Первый член в этом выражении отвечает переносу зарядов вместе с перемещающимися ларморовскими кружками, а второй учитывает вращение частиц по этим кружкам2). Этот второй член имеет простой физический смысл: если представить его в виде crotM, то вектор M = -—ffeJd3p F0.10) В ) Во втором члене произведено интегрирование по частям, в результате чего оператор Vr переносится на Ь/е. 2) Заметим, что такое же усреднение плотности зарядов — её (г — ге) при- водит к обычному выражению —е J fe d p; поправочные члены, связанные с вращением частиц, появились бы здесь лишь при учете малых величин второго порядка (вторые производные по координатам). § 60 ДРЕЙФОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 313 будет представлять собой намагниченность плазмы, связанную с вращением зарядов. Магнитный момент F0.10) не зависит от знака зарядов и направлен противоположно магнитному полю, т. е. отвечает диамагнетизму. Преобразуем к новым переменным кинетическое уравнение. Поскольку функция распределения /е отнесена к тому же эле- менту фазового пространства, что и раньше (лишь преобразо- ванному к другому виду — F0.7)), то кинетическое уравнение по-прежнему имеет вид dfe/dt = St /e, или, раскрыв левую часть новых переменных, +ч + [Eb] = St/е. F0.11) Здесь введены очевидные обозначения для проекций векторов и использованы равенства F0.5), F0.6). Член же с v_\_ в этом приближении отсутствует, поскольку v± при дрейфе не меняется. Перейдем к записи интеграла столкновений в дрейфовых пе- ременных х). Отметим прежде всего, что акт столкновения в этих переменных состоит в «мгновенном» изменении скоростей г>ц ии^и перпендикулярных к магнитному полю компонент радиус- вектора центра кружка R^ (что же касается параллельной ком- поненты, i?||, то она практически совпадает с соответствующей координатой самой частицы и при столкновении не меняется). Столкновения происходят лишь между частицами, проходя- щими друг мимо друга на прицельных расстояниях р, не пре- вышающих радиуса экранирования а: р < а. Если р мало по сравнению с ларморовскими радиусами сталкивающихся частиц, то магнитное поле вообще не сказывается на процессе рассея- ния, поскольку на таких расстояниях поле не искривляет замет- ным образом траекторий частиц. Описание таких столкновений в терминах дрейфовых переменных вообще не является естествен- ным. Поэтому использование интеграла столкновений в этих пе- ременных целесообразно лишь в условиях, когда по крайней мере для одной из сталкивающихся частиц г в <^С «. При кулоновском взаимодействии частиц в присутствии маг- нитного поля, как и в его отсутствие, существенны далекие столкновения и соответственно малые изменения всех перемен- ных. Поэтому произведенный в § 41 вывод интеграла столкнове- ний в р-пространстве остается в силе и для интеграла столкно- вений в пространстве переменных R^ = (X, У), г>ц, J (ось z — вдоль магнитного поля), если теперь вместо компонент импульса ) Интеграл столкновений в дрейфовых переменных был получен Е.М. Лифшицем A937) для электронного газа и обобщен для плазмы СТ. Беляевым A955). 314 ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. V ввести четыре переменные gk{X, У, г>ц, J} и понимать под Agi, Ag25 • • • изменения этих величин при столкновениях. Интеграл столкновений по-прежнему приводится к виду Stf = _ydsL = _ds^_dsl_ds? F012) /С— 1 (поток s_\_ по определению имеет компоненты только в плоскости, перпендикулярной В); здесь существенно, что элемент объема в пространстве переменных gk сводится просто к произведению их дифференциалов; поэтому интеграл столкновений имеет вид обычной дивергенции. Вывод в § 41 требует лишь небольших из- менений. Прежде всего, при записи D1.2) было уже учтено, что в силу сохранения импульса Ар = q = —Ар7. Для рассматрива- емых дрейфовых переменных такого соотношения, разумеется, нет. Повторив вывод без этого предположения, найдем (скажем, для столкновений электронов с ионами) 3Pu F0.13) где d3pi = 2тгМ3 dJ{ dv^ Agk — изменение величин gk при столк- новении, а угловые скобки означают усреднение по столкнове- ниям. При выводе F0.13) существенно использована также возмож- ность переставить в интеграле столкновений начальное и конеч- ное состояния, после чего становится очевидным сокращение ли- нейных по Ag^ членов; кроме того, это позволяет производить интегрирование по всему g -пространству. В § 41 такое преобра- зование было сделано в силу симметрии по отношению к обра- щению времени, связывающей вероятности прямого и обратного столкновений. При наличии магнитного поля такая симметрия имеет место только при условии изменения направления поля В на обратное, так что она связывает вероятности столкновения по существу в различных полях. Однако мы увидим ниже, что в данном случае симметрия относительно обращения времени вос- станавливается интегрированием по прицельным параметрам. Наконец, в F0.13) использовано, что взаимное рассеяние «кружков» имеет место лишь при их прохождении на рас- стояниях друг от друга, не превосходящих радиуса экрани- рования а. Предполагая, что функция распределения мало меняется на таких расстояниях, мы положили приближенно /( ) /i(Re,^ii, Ji) и произвели интегрирование по § 60 ДРЕЙФОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 315 d?Ri. В результате в F0.13) осталось лишь интегрирование по cftpi, а усреднение по столкновениям включает в себя интегри- рование по положениям R^. Ниже в конкретных случаях это усреднение будет выражено с помощью соответствующего се- чения рассеяния. Сейчас укажем лишь, что средние значения (AR^AJ), (ДН,_|_Дг7ц) равны нулю. Это видно из того, что произ- ведения AXAJ, AyAJ (и такие же с Дг>ц вместо AJ) образуют вектор в плоскости ху. Поскольку для ларморовских кружков не существует в этой плоскости каких-либо выделенных направ- лений, указанный вектор должен обратиться в нуль при усред- нении. Важное свойство интеграла столкновений в дрейфовых пе- ременных состоит в том, что его добавление к кинетическому уравнению изменяет выражение для потока частиц (в обычном пространстве!) через функцию распределения. Чтобы убедиться в этом, запишем кинетическое уравнение в виде ^ F0.14) V J + + (V||/e) (ввиду предполагаемого постоянства В и Е можно ввести V под знак производной). Проинтегрировав это уравнение по d3p, по- лучим ^ + divR/(V/e + se±)d3p = 0, Ne = ffed3p F0.15) (индекс е у электронных переменных для краткости опуска- ем); Ne — пространственная плотность числа кружков; выра- жение под знаком divR есть, следовательно, плотность потока этих кружков. Мы видим, что к обычному выражению / V/e d3p добавляется еще связанный со столкновениями член J se^ d3p. Этот член представляет собой по существу диффузионный по- ток в поперечном к магнитному полю направлении. При таком описании (в отличие от обычного описания диффузии) он входит непосредственно в кинетическое уравнение. При использовании этих выражений следует, конечно, учи- тывать, что плотность электрического тока связана с потоком истинных частиц, а не кружков. Поток частиц согласно F0.9) отличается от потока кружков членом с ротором, описывающим намагниченность. Окончательное выражение для плотности то- ка электронов имеет поэтому вид je = -е / V/e d3p - ^ rot (b / fej d3p) - J esel_ d3p. F0.16) Выражение F0.13) приобретает реальный смысл лишь по- сле вычисления фигурирующих в нем средних значений. Пока- 316 ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. V жем, как это делается на примере электронного интеграла для электрон-ионных столкновений. Вычисления производятся различным образом в двух обла- стях значений прицельных параметров /э, определяемых неравен- ствами: I) р < тВе, II) гВе < р < а. F0.17) Заметим, что интегрирования по параметру р будут, как обычно при кулоновском рассеянии, иметь логарифмический характер. С логарифмической точностью можно не делать различия меж- ду сильными C>) и слабыми (>) неравенствами. Поэтому обла- сти F0.17) перекрывают по существу весь интервал изменения прицельного параметра (в соответствии с F0.1) предполагается, конечно, что гве ^ °)- Для существования области I необходимо также, чтобы было ГВе > Pmin = -^-, F0.18) где pmin — прицельное расстояние, на котором угол рассеяния де- лается ~ 1 (мы рассматриваем здесь только квазиклассический е2 случай 3> 1). flVTe В то же время будем считать, что тв% > а- Тогда для всех прицельных параметров р < а влияние магнитного поля на дви- жение ионов (в процессе столкновения) несущественно: траек- тория иона мало искривляется полем на расстояниях ~ р. При этом можно пренебречь (в пределе тп/М —>• 0) отдачей ионов, т. е. положить равными нулю изменения всех характеризующих его переменных i?j_, г>ц, J 1). Тогда в F0.13) исчезает второй член в фигурных скобках, так что электрон-ионная часть электронного тока принимает вид 8(ег) = -^.{АХаАХ^^. F0.19) Величины (АХаАХ/з) составляют пространственный тензор, по- перечный к направлению поля. Представим его в виде (АХаАХ^) = i((AR±J}(<5a/3 - ЪаЪр), F0.20) выражающем эту поперечность явным образом. Поток же F0.19) запишется тогда как () ^() F0.21) ) Этого нельзя сделать, если существуют прицельные параметры, для которых а^> р^> гв1- При таких столкновениях ион дрейфует в поле элек- трона и его большая масса не проявляется. § 60 ДРЕЙФОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 317 где V^ = Vr — Ь(ЬУк) — оператор дифференцирования в по- перечных к b направлениях. Аналогичные F0.19) выражения для «скоростных потоков»: 2 ' *""' "" ' F0.22) (ег) Ni S т = — — В равновесии, т. е. для максвелловского распределения U = const • ехр (-^ ( 5- + А) , F0.23) интеграл столкновений должен обращаться в нуль. Подставив F0.23) в F0.22) и приравняв потоки нулю, найдем F0.24) Вычислим сначала вклад от области I. В этой области можно считать, что магнитное поле вообще не сказывается на процес- се рассеяния, поскольку на таких расстояниях не искривляется заметным образом траектория не только иона, но и электрона. Естественной переменной для описания столкновения является при этом обычный импульс электрона р, через который и надо выразить дрейфовые переменные. Согласно F0.3), F0.4), F0.8) имеем _ р1 «ц = 2L, J=f-2. rn 2m2 Имея в виду, что координаты частицы г (в отличие от коорди- нат центра орбиты R!) не меняются при столкновении, находим отсюда [bqj, A«|| = 2!L, Aj = ±p±qj_, F0.25) где q — малое изменение импульса р. Отмечая индексом I вклад от рассматриваемой категории столкновений, пишем теперь ((AR±J)[et) = J(AR±Jv da = -^ J q\v da, F0.26) mzuj Be где da — сечение рассеяния электрона на неподвижном ионе. Взяв последнее из D1.6) и произведя интегрирование, получим 318 ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. V где в — угол между v и b, a Ll = In ^™^ = In -^ F0.28) ze2 ze2UBe — кулоновский логарифм, «обрезанный» сверху на прицельных расстояниях р ~ гве (верхняя граница области I). Наконец, вы- разив этот результат через дрейфовые переменные, окончатель- но находим P 82VL ^ + J F0.29) ' П B2 Аналогичное вычисление дает (д }(e,) = _8**V 11 m2 2 (vj| + 2JK/2 а оставшиеся две величины определяются из F0.24). Обратимся к области П. Здесь естественными являются имен- но дрейфовые переменные и столкновение описывается как дрей- фовое отклонение кружка, летящего в направлении b (ось z) в кулоновском поле неподвижного иона. При дрейфе скорость v±, а значит, и J не меняются; в силу закона сохранения энергии при рассеянии на тяжелом ионе, это в свою очередь приводит к сохранению г>ц. Поэтому область II не вносит вклада в величины F0.24). Вклад же в ((AR^J) вычисляется как ((RlJ)^ = /(AR±)>|||da = /(ARJ>|||dV, F0.31) где р — значение радиус-вектора центра кружка R^ до столк- новения. Изменение R^ при пролете кружка в постоянном и од- нородном магнитном поле В и постоянном электрическом поле Е = ezH/R3 (поле иона) определяется уравнением дрейфа (см. F0.6)). В первом приближении можно положить в правой части этого уравнения R^ « р, Щ = v\\t. Полное изменение R^ при столкновении получается интегрированием F0.32) по t от — —оо до оо и равно ^М F0.33) в р ,2 Подставив это выражение в F0.31) и произведя интегрирова- ние (с логарифмической точностью, отвечающей границам обла- сти II), найдем i} ^#^, Ln = ln^. F0.34) \V\\\ ГВе § 60 ДРЕЙФОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 319 Вклады F0.29) и F0.34) имеют, вообще говоря, одинаковый порядок величины где vei — средняя частота электрон-ионных столкновений. Осо- бенность вклада F0.34) состоит, однако, в том, что он обращает- ся в бесконечность при v\\ —>> 0 вне зависимости от значения v±. Физический смысл этой расходимости состоит в том, что при малой скорости v\\ кружок долго находится в поле иона и за это время дрейф уносит его на большое расстояние. В действительности, конечно, формула F0.34) становится неприменимой при малых г>ц по ряду причин: 1) если гв% ^> а, то при |г>|| | <С VTi за время столкновения ион может уйти от элек- трона; этот механизм «обрезает» расходимость при |г>ц| ~ vti] 2) при выводе формулы во всяком случае подразумевается, что |AR,j_| <С р] 3) кружок может уйти от данного иона за счет дрей- фа в поле других частиц (тройное столкновение). Написанные формулы решают вопрос о составлении кинети- ческого уравнения в дрейфовом приближении, которое позволя- ет, в частности, находить кинетические коэффициенты плазмы в первом неисчезающем по 1/В приближении (см. задачу 1). Наконец, осталось объяснить, каким образом интегрирова- ние по d2p формально восстанавливает симметрию по отноше- нию к обращению времени, что уже было использовано при за- писи F0.13). Нарушение этой симметрии проявляется в измене- нии знака отклонения AR^ в F0.33) при изменении направле- ния В на обратное. Прежний знак можно восстановить, однако, производя замену переменной интегрирования р —>• —р, так что изменение знака В в этом приближении нигде сказаться не мо- жет (в области же I магнитное поле вообще не влияет на процесс рассеяния).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Дрейфовое приближение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Не смешивать обозначение V в этом параграфе с макроскопической 