Электромагнитные волны в магнитоактивной холодной плазме
Выведем общее уравнение, определяющее зависимость часто- ты от волнового вектора (или, как говорят, закон дисперсии) для свободных монохроматических волн, распространяющихся в сре- де с произвольным диэлектрическим тензором ?а^(о;,к). Для электромагнитного поля, зависящего от времени и ко- ординат по закону exp {—iuot + ikr), уравнения Максвелла B8.2) принимают вид1) [кЕ] = -В, [kBl = --D, E6.1) С С кВ = 0, kD = 0. E6.2) Подставив первую из формул E6.1) во вторую, получим —D = -[к[кЕ]1 = Ек2 - к(кЕ), С2 или, в компонентах, 2 и2 и2 -Еак — какрЕр = —Da = —?арЕр. E6.3) Условие совместности этой системы линейных однородных уравнений выражается равенством нулю определителя: 2 к25аC - 5а = 0. E6.4) Это и есть искомое дисперсионное уравнение2). При заданном (вещественном) к оно определяет частоты о;(к) (вообще говоря, комплексные), или, как говорят, спектр собственных колебаний среды. В общем случае наличия частотной и пространственной дисперсий уравнение E6.4) определяет бесконечное множество ветвей функции о;(к). Рассмотрим электромагнитные волны в холодной магнитоак- тивной плазме с тензором диэлектрической проницаемости, да- ваемым формулами E2.7) и E2.11) 3). Ввиду эрмитовости этого тензора заранее ясно, что определяемые уравнением E6.4) зна- чения к2с2/ио2 вещественны. 1) Не смешивать переменное магнитное поле волны В с постоянным полем Во! 2) В кристаллооптике его называют уравнением Френеля. ) Электромагнитные волны в холодной магнитоактивной плазме оы- ли впервые исследованы, в пренебрежении ролью ионов, Эпплтоном (E.V. АррЫощ 1928) и Лассеном (Я. Lassen, 1927). § 56 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЕ 283 Поскольку в отсутствие пространственной дисперсии еар за- висят только от о;, то по отношению к к дисперсионное уравнение E6.4) — алгебраическое. Раскрыв определитель, получим после простого вычисления 1) А (ЩА + В (-Y + С = О, E6.5) где А = — ?а/зкак/з = ?_l sin2 в + ?ц cos2 в = ?i, E6.6) к В = -е±е\\A + cos2 в) - {е\ - g2) sin2 в, E6.7) C = ?||(?i-g2) E6.8) (в — угол между к и Во). При заданных значениях шив урав- нение E6.5) дает два значения А;2, т. е. в плазме могут распро- страняться, вообще говоря, два типа волн2). Рассмотрим сначала случаи распространения волн строго вдоль (в = 0) и строго поперек (в = тг/2) магнитного поля, пред- ставляющие специфические особенности. При в = 0 корни дисперсионного уравнения дают . E6.9) Из уравнений E6.3) легко видеть, что эти волны поперечны (Ez = 0) и поляризованы по кругу (Еу/Ех = =рг). Обращение выражений E6.9) в бесконечность при ио = иове или при ио = = uobi отвечает резонансу — совпадению частоты и направления вращения вектора Е с частотой и направлением ларморовского вращения электронов или ионов. На рис. 17 показан, для иллю- страции, примерный ход величины n2 = (ck/ooJ как функции ио. При ио —)> 0 значения п2 стремятся к предельному значению (пренебрежено иовг по сравнению с о;^е; и а определено ниже фор- мулой E6.18)). Распространению незатухающих волн отвечают, конечно, лишь те части кривых (показанные на рисунке сплош- ными линиями), на которых п2 > 0. 1) При вычислении целесообразно выбрать одну из координатных плоско- стей (скажем, плоскость xz) проходящей через Во и к. ) Соответствующие им волны принято различать названиями обыкновен- ной и необыкновенной. Эти термины, однако, не имеют здесь того смысла, как в оптике одноосных кристаллов, — ни одна из этих волн не ведет себя как волна в изотропной среде. 284 ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. V При 0 = 0 уравнение E6.5) удовлетворяется также и при ?ц = = 0, что соответствует обычным продольным плазменным вол- нам с независящей от к частотой ио « Ое. ^2 При 0 = тг/2 два корня дис- персионного уравнения: ск\2_ (<&\2 - _ il E6.10) Первому отвечает волна с неза- висящим от Bq законом диспер- сии ^ 1 1 1 _| СОвг О)Ве ) у у ' / » / / f 1 ( ш2 с2к2 + п2е Эта волна поперечна (E_Lk) и линейно поляризована, причем E||Bq. Второму корню E6.10) отвечает волна с полем E_LBq, имеющим составляющие как продольную, так и поперечную по отношению к к. Если частота настолько велика, что вкла- дом ионов в еар можно пренебречь (ио ^> (ooBe^BiI^2 — условие E2.15)), то в этой волне1) E6.11) В общем случае произвольных углов в (отличных от 0 или тг/2) замечаем прежде всего, что для каждого значения суще- ствуют частоты, при которых коэффициент А в уравнении E6.5) обращается в нуль: Е\ = ?^ Sin2 0 + ?ц COS2 0 = = 1- -^-—- COS 0 — sin2 0 = 0. E6.12) Если для определяемых этим уравнением частот (так называе- мые частоты плазменных резонансов) выполняется также усло- вие «медленности» ио <^ кс, то согласно § 32 им отвечают про- дольные собственные колебания плазмы. В то же время обраще- ние в нуль коэффициента при А;4 в квадратном (относительно к2) уравнении E6.5) означает обращение одного из его корней в бесконечность; при А —>• 0 эти корни равны —С/В и —В/А. ) Колебания плазмы, в которых ионы не играют роли, принято вообще называть высокочастотными] колебания же, в которых влияние ионов су- щественно, называют низкочастотными. 56 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЕ 285 Уравнение E6.12) — кубическое относительно о;2 и имеет три вещественных корня. Их легко определить, использовав малость отношений fti/fte и иовг/^Ве- Два корня получаются при прене- брежении в E6.12) вкладом ионов и равны ± \[ +ш2ВеJ - E6.13) Учет ионов, однако, необходим в области ио « uobi-, в которой ле- жит третий корень; для этого корня легко получить выражение м E6.14) (здесь предположено Ое ^> uobi)- Формулы E6.13) и E6.14) для ио2{0) и о;з(в) неприменимы при углах #, настолько близких к тг/2, что cos в <С т/М. В этой области ,2 _ E6.15) Ролью ионов нельзя пренебречь не только для ^з, но и для Ш2- На рис. 18 изображен схематически характер зависимости ча- стот cji, с^2, ^з от угла в1). Кривые ш\(в) и Ш2{в) никогда не пе- ресекаются друг с другом. Первая из них начинается (при в = 0) от большей, а вторая — от меньшей из частот Ое и шве- При 0 = тг/2 они достигают max(ae,wBe) соответственно значений min(fie,a)Be) Рис. 18 E6.16) "^ и иJт- Частоты ш\т и Ш2Т назы- вают соответственно верхней 0=зт/2 и нижней гибридными часто- тами. При Og ^> о;^е (а пото- му и заведомо О? ^> о;^) вторая из них: Положение частот a;i, с^2, ^з в значительной степени задает расположение различных ветвей спектра, определяемого диспер- сионным уравнением E6.5). Как квадратное по (ск/шJ уравне- ние оно имеет при заданных шив два корня. Проследив (при заданном в) за изменением и обращением в бесконечность этих корней как функций о;, легко прийти к рис. 19, на котором схема- тически показан ход этих функций. Точки пересечения кривых ) Сразу же отметим, что колебания с частотой из фактически существу- ют лишь именно в узком интервале углов вблизи тг/2. В остальной же обла- сти углов эти колебания сильно затухают из-за циклотронного поглощения на простом ионном резонансе. 286 ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. V Рис. 19 ний; предельные (при ио ветвях равны ua\ cos#| \kJi где uA = c— = с осью абсцисс определяются уравнением С = 0, т. е. ?ц = 0 или е\ = g1. Положение этих точек не зависит от угла в] одна из них (ко- рень уравнения ?ц =0) есть все- гда ио « Ое. Спектр собственных колеба- ний холодной магнитоактивной плазмы содержит, таким образом, всего пять ветвей. Две из них (вет- ви I и II на рис. 19) достигают области низкочастотных колеба- 0) значения фазовой скорости в этих Й)п=A+ЦГ/с'I/*' E6Л7) E6.18) эту величину называют альвеновской скоростью. Выражения E6.17) легко найти из уравнения E6.5), воспользовавшись пре- дельными выражениями -^, g UJ2 он. При и а ^ с фазовые скорости E6.17) равны соответственно ua\ cos6| и и а- Эти предельные значения соответствуют волнам, которые существуют в холодной плазме согласно обычным урав- нениям магнитной гидродинамики (см. VIII, § 52). Действитель- но, спектр магнитогидродинамических волн содержит три ветви. Во всех трех ветвях функция cj(k) линейна, но, вообще говоря, зависит от направления к: (uo/kJA = = -{и 21 E6.19) 2J J _ (us — скорость звука, формально вычисленная по адиабатиче- ской сжимаемости среды). Фазовая скорость первой из этих вет- вей (их называют альвеновскими волнами) прямо совпадает с предельным значением скорости первой из ветвей E6.17). Для того чтобы перейти к холодной плазме во второй формуле, сле- дует положить в ней us = 0 (поскольку в газе us ~ (T/MI/2). 56 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЕ 287 При этом (ш/к)б (соответствующие волны называют быстрыми магнитозвуковыми) совпадает с предельным значением (со/к)ц. Что касается третьей ветви, (ио/К)ш (она называется медленной магнитозвуковой волной), то ее скорость обращается в нуль при us —>> 0 и потому она в холодной плазме отсутствует. Отметим, что предположение о холодности плазмы позволяет пренебрегать тепловым разбросом скоростей ионов и описывать их гидродина- мически даже в отсутствие столкновений. Условие и а <С с оправ- дывает пренебрежение токами смещения в уравнениях магнит- ной гидродинамики. В обратном случае больших частот фазовые скорости двух ветвей (IV и V) стремятся к значениям со/к = с, отвечающим поперечным высокочастотным волнам в изотропной плазме, — как и должно было быть, поскольку при ио ^> иове магнитное поле не играет роли. Наконец, остановимся на интересном случае волн, которые могут иметь место при Ое ^> иове] ПРИ этом резонансная частота U02 ~ o;#ecos#. Рассмотрим в этом случае область частот, про- межуточных (на ветви II) между ио2 и ио% ~ совг^ определяемую неравенствами i < 00 < UOBe COS 0, СО < -^. E6.20) LOBe Условие ио ^> иовг позволяет пренебречь в g вкладом ионов, а в силу условия ио 4с иове будет ^ E6.21) При условиях E6.20) будет также ?ц > g > e±. Искомое решение дисперсионного уравнения получается бо- лее прямым образом, если записать последнее в виде а/3 = 0, E6.22) перейдя в E6.4) от тензора еар к его обратному (т. е. выразив в уравнениях E7.3) Е через D). Компоненты обратного тензора: ехх еуу е-} = -L ху ух и наибольшей из них будет ?х}. Пренебрегая остальными ком- понентами (и выбрав плоскость xz проходящей через Bq и к), получим дисперсионное уравнение ik2 = 0, 288 ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. V откуда о, = cos в\ = сБо|со8У. E6.23) Эти волны называют геликоидальными 1); они имеют чисто элек- тронное происхождение. Название этих волн связано с характером их поляризации. Из равенства kD = 0 E6.2) при сделанном выборе координатных осей имеем Dx sin в + Dz cos в = 0. E6.24) Из уравнений же E6.3), написанных в виде [k2e~l - kakye-*]Dp = ^Da, E6.25) находим Dx = —г\ cos 0\Dy. В том же приближении (т. е. при со- хранении из всех ?~о лишь ?Ху) электрическое поле волны лежит целиком в плоскости жу, перпендикулярной Bq: Ez = e~}Dp = 0. Компоненты ж:е Ex — ?Ху Dy> Еу = еух Dx = — еХу Dx, и из E6.24) следует Еу = г\со$в\Ех. E6.26) Таким образом, волна эллиптически поляризована в плоскости, перпендикулярной Bq; при в = тг/2 поляризация становится ли- нейной. В системе же координат ?у?, с осью ( вдоль к, имеем l^y, Ес = Е^в. E6.27) Вектор Е вращается вокруг направления к, описывая круговой конус. Отметим, что выражение E6.21) для еху имеет простой фи- зический смысл. При оове ^ ^ (вместе с подразумевающимся везде условием E2.17) к±Уте/^Ве = к±гВе ^ 1) мож:но считать, что поперечное (по отношению к Во ) движение электронов про- исходит в постоянном и однородном поле Е. Но при движении заряда в постоянных и однородных скрещенных полях Е и Bq его средняя поперечная скорость (скорость электрического дрейфа) есть v± = с&! E6.28) (см. II, § 22). Именно этой скорости и отвечает выражение E6.21). Таким образом, геликоидальные волны связаны с элек- трическим дрейфом электронов в плазме.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Электромагнитные волны в магнитоактивной холодной плазме» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
