Если скорости частиц (электронов) в плазме не малы по сравнению со скоростью света, кинетическое уравнение должно быть записано с учетом релятивистских эффектов (С. Т. Беляев, Г.И. Будкер, 1956). Покажем предварительно, что функция распределения в фа- зовом пространстве, /(?, г, р), является релятивистски инвари- антной величиной. Для этого заметим, что пространственная плотность частиц и плотность их потока, т. е. интегралы должны составлять 4-вектор ik = (cN,i) (ср. II, § 28) г). Имея в виду, что в релятивистской механике скорость частицы с им- пульсом р и энергией е есть v = рс /б, можно записать этот В этом параграфе латинскими буквами к, I обозначаются четырехмер- ные векторные индексы. Скалярное произведение двух 4-векторов а и Ъ обо- значается как (ab) = akbk. 252 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ 4-вектор в виде * ? У>^ E0-1) где рк = (б/с, р) — 4-импульс. Но выражение d3p/e является 4-скаляром (см. II, § 10). Ясно поэтому, что из 4-векторности интеграла E0.1) следует, что функция / — 4-скаляр1). Переходя к выводу кинетического уравнения, замечаем, что произведенные в § 41 вычисления остаются в силе и в реляти- вистском случае вплоть до выражения D1.3), D1.4) для плот- ности потока в импульсном пространстве. Необходимо лишь вы- числить заново величины Ва/3 = - / ЯаЯ/зЪотн da. E0.2) Величина v0TH здесь — по-прежнему относительная скорость двух частиц. Напомним, однако, что в релятивистской механике она определяется как скорость одной частицы в системе покоя другой и, вообще говоря, не сводится к разности v — v7 (см. II, § 12). Выясним, прежде всего, трансформационный характер этих величин. Произведение ^отн da - ff d3p d3p' d3x dt есть число актов рассеяния, происходящих в объеме d3х в тече- ние времени dt между двумя частицами с импульсами в задан- ных интервалах d3p и d3p'] по своему определению это число есть инвариант. Переписав его в виде eefv0THda • / • /' • ^ • ^ • d3xdt S S и заметив, что последние пять множителей (отделенных точ- ками) инвариантны, заключаем, что и первый множитель, ??fv0TU da¦, есть инвариант. Отсюда в свою очередь следует, что интегралы Wkl = -ее1 / qkqlv0TU da E0.3) образуют симметричный 4-тензор. Величины же E0.2) связаны с пространственными компонентами этого 4-тензора согласно ВаE = ^. E0.4) ) Функция же распределения по одним лишь импульсам, т. е. интеграл f(t, p) = J f(t, r, p) dsx, уже не является 4-скаляром (именно такая функция рассматривается в II, § 10). § 50 УРАВНЕНИЕ ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМЫ 253 Вычислим сначала 4-тензор E0.3) в системе отсчета, в кото- рой одна из частиц (скажем, частица е) покоится. Релятивист- ское сечение резерфордовского рассеяния частиц е' на покоящих- ся (до столкновения) частицах е при малых углах рассеяния х имеет вид 1) ^f E0.5) Такое же вычисление, как при выводе D1.8), приводит к сле- дующему выражению для пространственных компонент тензора E0.3): WaP = 2тг(ее/JЦуа8ар - v'av'^)mc2^. E0.6) Остальные же компоненты надо считать равными нулю: Wm = WOa = 0. E0.7) Действительно, изменение энергии частиц при столкновении (q°) в рассматриваемой системе отсчета есть величина второго поряд- ка по малому углу рассеяния; поэтому W®a и W^ оказались бы величинами третьего или четвертого порядка малости, между тем как весь вывод интеграла столкновений производится лишь с точностью до величин второго порядка. Из E0.6), E0.7) имеем L Этот 4-скаляр можно записать в инвариантном виде, заметив, что в системе покоя частицы е имеем где ик = рк/(тс), и/к = р/к/(т'с) — 4-скорости обеих частиц. Поэтому [{и^1]1/2 E0.8) Из E0.6), E0.7) находим также, что Wklut = Wklu\ = 0, E0.9) а ввиду релятивистски инвариантного вида этих равенств они справедливы и в любой системе отсчета. ) Это выражение относится к рассеянию электронов как на электронах, так и на ионах. В первом случае оно получается из IV, (81.7), а во втором — из сечения рассеяния на неподвижном кулоновском центре IV, (80.7). 254 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ Выражение 4-тензора Wkl, справедливое в произвольной си- стеме отсчета, должно, очевидно, быть симметричным по отно- шению к обеим частицам. Общий вид такого 4-тензора, завися- щего только от 4-векторов ик и ufk, есть где а, /3, S — скаляры. Определив последние из условий E0.8), E0.9), получим тттП s-\ / f \/ T lit lit С I fjbfjb I WKl = 2тг(ее YL ^—'— x V J c[(uu'Y - I]3/2 x {-[{uu'f - l]gkl - (ukul + u'kua) + (uu')(ukutl + u'ku1)}. E0.10) Наконец, взяв пространственную часть этого 4-тензора в про- извольной системе отсчета, получим окончательно следующее выражение для величин Вар, входящих в интеграл столкнове- ний: где 7 ^ D) у 4т тс2 \ с2 / т'с2 — лоренцевы множ:ители для обеих частиц. Отметим, что, несмо- тря на свой более сложный (чем в нерелятивистском случае) вид, трехмерный тензор E0.11) по-прежнему удовлетворяет соотно- шениям ' E0.12) Для оценки кулоновского логарифма заметим, что в релятивистском случае имеет место борновская ситуация; ze2/(Hv) ~ ze2/(Не) <^ 1. Поэтому для ее- и ег-столкновений L^ln^ «ln^. E0.13) h he Для ii-столкновений надо заменить Те на Т{ (если ионы тож:е релятивистские) или же пользоваться обычными нерелятивист- скими выражениями. § 50 УРАВНЕНИЕ ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМЫ 255 Кинетическое уравнение с кулоновским интегралом столкно- вений имеет смысл до тех пор, пока резерфордовское рассеяние является главной причиной изменения импульса и энергии элек- трона. Конкурирующим процессом здесь является тормозное из- лучение (а при наличии в плазме заметного числа фотонов — также и эффект Комптона). Сечение (транспортное) резерфор- довского рассеяния имеет порядок величины /2\2/ 2\2 /2\2/ 2\2 арез~,2(^) (^) L~z4^) №-) L. E0.14) \тс2 J \ е / \тс2 J \ Te / Сечение же тормозного испускания фотонов с энергией Нш ~ Те: ; 1п-^- E0.15) 137 \тпс2/ тс2 (ср. IV, (93.17)). Эти сечения сравниваются при Те ^ ( 137L у/2 тс2 ~ \1п137ЬУ
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кинетическое уравнение для релятивистской плазмы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
В этом параграфе латинскими буквами к, I обозначаются четырехмер- 