Существование (в среде без диссипации) нелинейных волн со стационарным профилем тесно связано с наличием дисперсии. В недиспергирующей среде учет нелинейности неизбежно наруша- ет стационарность волны; скорость распространения различных точек профиля оказывается зависящей от значения амплитуды в этих точках, что и приводит к искажению профиля. Так, в гидро- динамике идеальной сжимаемой жидкости нелинейные эффекты приводят к постепенному увеличению крутизны переднего фрон- та волны (см. VI, § 94). Дисперсия же, со своей стороны, приво- дит к постепенному расплыванию профиля, и оба влияния могут взаимно компенсироваться, приводя к стационарности профиля волны. В этом параграфе мы изучим эти явления в общем виде для довольно широкой категории случаев распространения волн в бездиссипативной слабо диспергирующей среде с учетом слабой же нелинейности. Пусть щ — скорость распространения волны в линейном при- ближении, при пренебрежении дисперсией. В этом приближении в одномерной волне, распространяющейся в одну сторону вдоль оси ж, все величины зависят от х и t только в комбинации ? = = х — щг. В дифференциальном виде это свойство выражается уравнением дЬ , дЬ п at ox где Ъ обозначает какую-либо из колеблющихся в волне величин. Постоянной скорости ЗД отвечает закон дисперсии волн ио = = щк. В диспергирующей среде этот закон представляет собой лишь первый член разложения функции со (к) по степеням мало- 192 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III го к. С учетом следующего члена имеем 1) ои = щк-Cк3, C9.1) где /3 — постоянная, которая может в принципе быть как поло- жительной, так и отрицательной. Дифференциальное уравнение, описывающее в линейном приближении распространение (в одну сторону) волны в среде с такой дисперсией, имеет вид дЬ , дЬ , пдЧ п dt дх дх3 действительно, для волны, в которой бсоехр (—iwt + ikx), отсюда получается C9.1). Наконец, учет нелинейности приводит к появлению в урав- нении членов более высокого порядка по Ь. Эти члены во всяком случае должны удовлетворять условию обращения в нуль при по- стоянном (не зависящем от х) 6, что отвечает просто однородной среде. Ограничившись членом с производной наиболее низкого порядка (малые &!), напишем уравнение распространения слабо нелинейной волны в виде тт + ЗД— + Р— + аЪ— = 0, C9.2) at дх а х3 дх где а — постоянный параметр (который тоже может в принципе иметь оба знака) 2). Для упрощения записи этого уравнения введем вместо х но- вую переменную ? и вместо b — новую неизвестную функцию а, определив их согласно ? = х- uot, a = аЬ. C9.3) х) Тот факт, что функция ш{к) разлагается по нечетным степеням к, сле- дует уже из соображений вещественности. Исходная система физических уравнений движения среды содержит лишь вещественные величины и па- раметры. Мнимая единица г появляется лишь в результате подстановки в эти уравнения решения, пропорционального ехр(—iuut + ikx). Поэтому воз- никающий в результате этой подстановки закон дисперсии определяет iuu в виде функции от ik с вещественными коэффициентами; разложение такой функции может содержать лишь нечетные степени от ik. В общем случае диссипирующей среды функция ш(к) комплексна (и = и/ +ги/'), и тогда сде- ланное утверждение относится к разложению вещественной части частоты, и'(к). Разложение же функции и"(к) по тем же причинам будет содержать лишь четные степени к. 2) Подчеркнем, однако, во избежание недоразумений, что такой вид сла- бой нелинейности отнюдь не является универсальным. Так, слабая нелиней- ность для распространения волн в плазме, возникающая от последнего чле- на в электронном распределении C6.11) (использованном в задаче к § 38), соответствовала бы члену ~ \fbdbjdx в уравнении типа C9.2). § 39 СОЛИТОНЫ В СЛАБО ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ 193 Тогда получим В таком виде это уравнение называют уравнением Кортевега-де Вриза (КдВ) 1). Будем считать сначала для определенности, что постоянная /3 > 0. Нас будут интересовать решения, описывающие волны со ста- ционарным профилем. В таких решениях функция а(?, ?) зависит только от разности ? — vot с некоторым постоянным vq: C9.5) при этом скорость распространения волны есть U = Uq -\- Vq. C9.6) Подставив C9.5) в C9.4) и обозначив дифференцирование по ? штрихом, получим уравнение /За'" + аа' - voaf = 0. C9.7) Отметим, что оно инвариантно относительно замены а^> a + V, v0 -+ v0 + V C9.8) с произвольной постоянной V. Первый интеграл уравнения C9.7): Pa + avoa. Умножив это равенство на 2af и интегрируя еще раз, получим /За'2 = -— + v0a2 + cia + c2. C9.9) о Вместо трех постоянных г>о, ci, C2 целесообразно ввести другие постоянные — три корня кубического трехчлена, стоящего в пра- вой части C9.9). Обозначив эти корни через ai, a2, аз, напишем /За'2 = --(а - ai)(a - а2)(а - а3). C9.10) о Постоянная vq связана с новыми постоянными равенством ^о = -(ai + a2 + аз). C9.11) о х) Оно было получено Кортевегом и де Бризом (D.J. Korteweg, G. de Vries, 1895) для волн на поверхности мелкой воды. 7 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X 194 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III Нас будут интересовать лишь такие решения уравнения C9.10), в которых величина |а(?)| ограничена; неограниченный рост \а\ противоречил бы предположению о слабой нелинейно- сти. Легко видеть, что это условие не выполняется, если среди корней ai, a2, аз имеются комплексные; пусть это будут а\ и п2 (причем п2 = а*). Действительно, в таком случае правая часть C9.10) принимает вид \а — ai|2(a3 — a)/3 и ничто не мешает a стремиться к — оо. Таким образом, постоянные ai, a2, аз должны быть веще- ственными; расположим их в порядке а\ > п2 > аз- Поскольку выражение в правой части уравнения C9.10) должно быть поло- жительным, то функция а(?) может меняться лишь в интервале а\ ^ а ^ п2- Без ограничения общности можно положить аз = 0; этого всегда можно достичь преобразованием вида C9.8). Усло- вившись о таком выборе, перепишем уравнение C9.10) в виде (За!2 = -{а\ — а) (а — а,2)а. C9.12) о Решение этого уравнения имеет различный характер при а2 = 0 и при а2 ф 0. В первом случае [а,2 = 0, а\ > 0) инте- грирование уравнения дает / . /—\ C9.13) начало отсчета ? выбрано в точке максимума функции (здесь и ниже мы пишем, для упрощения обозначений, профиль волны как функцию от ? = х в некоторый заданный момент времени t = 0). Это решение описывает уединенную волну (солитон): при ? —>> =Ьоо функция а(?) вместе со своими производными обраща- ется в нуль. Постоянная а\ дает амплитуду солитона, а его ши- рина убывает с ростом амплитуды как аг ' . Согласно C9.11) имеем г>о = ai/З, так что скорость солитона и = i/0 + ai/3. C9.14) Эта скорость и > щ и растет с увеличением амплитуды. Снова напомним, что нелинейность процессов, описываемых уравнением КдВ, предполагается слабой. Условие этой малости имеет естественный смысл; так, если роль величины а играет из- менение плотности среды, то это изменение должно быть малым по сравнению с невозмущенной плотностью. В то же время «сте- пень нелинейности» этих процессов характеризуется еще и дру- гим безразмерным параметром: L(ai/f3I^21 где L — характерная длина, а а\ — амплитуда возмущения. Этот параметр определяет § 39 СОЛИТОНЫ В СЛАБО ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ 195 относительную роль эффектов нелинейности и дисперсии и мо- жет быть как малым (преобладание эффекта дисперсии), так и большим (преобладание эффекта нелинейности). Для солитона, ширина которого L ~ (/З/aiI/2, этот параметр порядка 1. Перейдем к случаю a 2 ^ 0; в этом случае решение уравне- ния C9.12) описывает периодическую в пространстве, бесконеч- но протяженную волну. Интегрирование уравнения дает = J [a(ai - а)(а - a2) a где F(s,cp) — эллиптический интеграл первого рода: C9Л5) = а^ 2 — s2 sin причем ) sm(p=A , s = Jl — —; C9.17) начало отсчета ? выбрано в одном из максимумов функции а(?). Обращая формулу C9.15) путем введения эллиптической функции Якоби, получим / / \ C9.18) Эта функция периодична, причем ее период (длина волны) по координате х равен C9.19) где K(s) — полный эллиптический интеграл первого рода. Сред- нее по периоду значение функции C9.18): 1 Xr E(s) а = — J a(cj a§ = а\—^-, (oy.zUj Л 0 K(s) где E(s) — полный эллиптический интеграл второго рода. Есте- ственно рассматривать периодическую волну, в которой сред- 1) Параметр эллиптического интеграла обозначен буквой s (вместо обычно принятой А;) во избежание путаницы с волновым вектором. 196 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III нее значение колеблющейся величины равно нулю. Этого все- гда можно добиться преобразованием C9.8), вычитая величи- ну C9.20) из функции C9.18). Скорость распространения волны равна тогда Н?$] C9-21) Малым амплитудам колебаний а\ — п2 соответствуют значе- ния параметра s <С 1. Воспользовавшись приближенным выра- жением s2 s2 dn (z, s) « 1 — — + — cos 2z, s<l, 4 4 найдем, что решение C9.18) переходит в этом случае, как и сле- довало, в гармоническую волну CL\ -\~ CL2 , Cil — CL2 7 7 / &1 а = + cos кх, к = х —. 2 2 ' у 3/3 При этом скорость C9.21) становится равной и = щ — ai/З = = ЗД — /ЗА;2 в соответствии с C9.1). Обратному предельному случаю больших амплитуд (в рас- сматриваемой модели волн) отвечают значения а,2 —>> 0, причем параметр s —)> 1. Имея в виду предельную формулу W 2 1-s2' найдем, что в этом пределе длина волны возрастает по логариф- мическому закону [Ш^ C9.22) U2 Другими словами, последовательные пучности волны раздвига- ются на большие расстояния друг от друга. Профиль волны вблизи каждой из них получается из C9.18) с помощью пре- дельного выражения функции dn^ при 5 = 1, справедливой при конечных значениях z: dnz = 1/ chz. В результате мы возвраща- емся к формуле C9.13). Таким образом, в пределе s —>> 1 перио- дическая волна разбивается на совокупность следующих друг за другом удаленных солитонов. До сих пор мы предполагали, что /3 > 0. Случай, когда по- стоянная /3 < 0 не требует особого рассмотрения: изменение зна- ка /3 в уравнении C9.4) эквивалентно замене ? —>• —?, а —>• —а. Поскольку при такой замене аргумент ? — v$t в C9.5) превраща- ется в — ? — vot, то скорость распространения волны будет теперь и = щ — vq. Так, для солитона полученные выше результаты изменятся лишь в том отношении, что функция а(?) станет от- рицательной, а его скорость и < щ. § 39 СОЛИТОНЫ В СЛАБО ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ 197 Уравнение КдВ обладает некоторыми специфическими свой- ствами, позволяющими установить для него ряд общих тео- рем. Они основаны на формальной связи, существующей меж- ду уравнением КдВ и задачей о собственных значениях урав- нения типа уравнения Шредингера (C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, R.M. Miura, 1967). Рассмотрим уравнение ^] = 0 C9.23) и будем снова для определенности считать, что /3 > 0. Уравнение C9.23) имеет вид уравнения Шредингера, в котором функция —а(?, ?) играет роль потенциальной энергии, зависящей от t как от параметра. Пусть функция а(?,?) в некоторой области ? по- ложительна и стремится к нулю при ? —>• ±оо. Тогда уравнение C9.23) будет обладать собственными значениями ?, отвечающи- ми «финитному движению в потенциальной яме — а(?, ?)»; в силу зависимости функции а от ?, эти собственные значения, вообще говоря, тоже зависят от t. Покажем, что собственные значения е не будут зависеть от ?, если функция а(?, ?) удовлетворяет уравнению КдВ C9.4). Выразив из C9.23) а в виде ф и подставив в C9.4), после прямого вычисления получим где Ь2— = и/А-фА')', C9.24) dt -яд-?- ^Ф'Ф" + Ф'" - 1Ф') ; C9.25) р at ф 6 J существенно, что правая часть C9.24) оказывается выраженной в виде производной по ? от выражения, обращающегося в нуль при ? —>• zboo (напомним, что собственные функции дискретного спектра уравнения C9.23) исчезают на бесконечности). Поэтому интегрирование равенства C9.24) по всем ? от —оо до оо дает ds r о и, ввиду конечности стоящего здесь нормировочного интеграла функции ф, отсюда следует, что de/dt = 0. 198 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III Покажем теперь, что уравнение C9.23) имеет всего одно дис- кретное собственное значение в случае стационарного «потенциа- ла» а(?) вида C9.13), отвечающего одиночному солитону. С этим «потенциалом» уравнение C9.23) имеет вид (^ ) = О, C9.26) \ ch at, ) причем / \1/2 С/о = —, а = — . C9.27) 6/3' \l2pj у > Дискретные собственные значения уравнения C9.26) даются формулой еп = -a2(s - п)\ s = U-l + yl+^j , гс = 0,1, 2,... , причем должно быть п < s (см. III, § 23, задача 4). Со значе- ниями параметров из C9.27) 5 = 1, так что имеется всего одно собственное значение е = —^-. C9.28) 12/3 V J Если же «потенциал» а(?, ?) представляет собой совокуп- ность солитонов, находящихся на больших расстояниях друг от друга (так что «взаимодействие» между ними отсутствует), то спектр собственных значений уравнения C9.23) будет склады- ваться из «уровней» C9.28) в каждой из потенциальных ям, при- чем каждый из них определяется амплитудой а\ соответствую- щего солитона. Поскольку скорость распространения солитона растет с уве- личением его амплитуды, то солитон большей амплитуды в конце концов всегда догонит солитон меньшей амплитуды. Произволь- ная начальная совокупность удаленных друг от друга солитонов после процессов взаимных «столкновений» в конце концов пре- вратится в совокупность солитонов, расположенных в порядке возрастания их амплитуд (напомним, что все возмущения, опи- сываемые уравнением КдВ, распространяются в одну сторону!). Полученные выше результаты позволяют сразу же сделать ин- тересное заключение: начальная и конечная совокупности соли- тонов одинаковы по общему числу и по амплитудам солитонов, отличаясь лишь порядком их расположения. Это следует непо- средственно из того, что каждый из изолированных солитонов соответствует одному из собственных значений ?, а эти значения от времени не зависят. Вообще, всякое положительное (а > 0) начальное возмуще- ние, занимающее конечную область пространства, в ходе своей § 39 СОЛИТОНЫ В СЛАБО ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ 199 эволюции, согласно уравнению КдВ, в конце концов распадается в совокупность изолированных солитонов, амплитуды которых уже не зависят от времени. Эти амплитуды и число солитонов можно в принципе найти путем определения спектра дискрет- ных собственных значений уравнения C9.23) с начальным рас- пределением а@,?) в качестве «потенциала». Если же начальное возмущение содержит в себе также и участки с а < 0, то в ходе его эволюции возникает еще и волновой пакет, постепенно рас- плывающийся, не распадаясь на солитоны. Во избежание недоразумений надо, однако, уточнить, что именно подразумевается под начальным возмущением в уравне- нии КдВ. Реальное возмущение, возникающее в среде в некото- рый момент времени, в ходе своей эволюции (описываемой пол- ным волновым уравнением второго порядка по времени) распа- дается, вообще говоря, на два возмущения, распространяющиеся в обе стороны оси х. Под «начальным» возмущением для урав- нения КдВ надо понимать одно из этих двух возмущений сразу после распада.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Солитоны в слабо диспергирующей среде» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
