ДИПЛОМНІ КУРСОВІ РЕФЕРАТИ


ИЦ OSVITA-PLAZA

Реферати статті публікації

Пошук по сайту

 

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Теоретична фізика у 10 томах

Солитоны в слабо диспергирующей среде
Существование (в среде без диссипации) нелинейных волн со
стационарным профилем тесно связано с наличием дисперсии. В
недиспергирующей среде учет нелинейности неизбежно наруша-
ет стационарность волны; скорость распространения различных
точек профиля оказывается зависящей от значения амплитуды в
этих точках, что и приводит к искажению профиля. Так, в гидро-
динамике идеальной сжимаемой жидкости нелинейные эффекты
приводят к постепенному увеличению крутизны переднего фрон-
та волны (см. VI, § 94). Дисперсия же, со своей стороны, приво-
дит к постепенному расплыванию профиля, и оба влияния могут
взаимно компенсироваться, приводя к стационарности профиля
волны.
В этом параграфе мы изучим эти явления в общем виде для
довольно широкой категории случаев распространения волн в
бездиссипативной слабо диспергирующей среде с учетом слабой
же нелинейности.
Пусть щ — скорость распространения волны в линейном при-
ближении, при пренебрежении дисперсией. В этом приближении
в одномерной волне, распространяющейся в одну сторону вдоль
оси ж, все величины зависят от х и t только в комбинации ? =
= х — щг. В дифференциальном виде это свойство выражается
уравнением
дЬ , дЬ п
at ox
где Ъ обозначает какую-либо из колеблющихся в волне величин.
Постоянной скорости ЗД отвечает закон дисперсии волн ио =
= щк. В диспергирующей среде этот закон представляет собой
лишь первый член разложения функции со (к) по степеням мало-
192 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III
го к. С учетом следующего члена имеем 1)
ои = щк-Cк3, C9.1)
где /3 — постоянная, которая может в принципе быть как поло-
жительной, так и отрицательной.
Дифференциальное уравнение, описывающее в линейном
приближении распространение (в одну сторону) волны в среде
с такой дисперсией, имеет вид
дЬ , дЬ , пдЧ п
dt дх дх3
действительно, для волны, в которой бсоехр (—iwt + ikx), отсюда
получается C9.1).
Наконец, учет нелинейности приводит к появлению в урав-
нении членов более высокого порядка по Ь. Эти члены во всяком
случае должны удовлетворять условию обращения в нуль при по-
стоянном (не зависящем от х) 6, что отвечает просто однородной
среде. Ограничившись членом с производной наиболее низкого
порядка (малые &!), напишем уравнение распространения слабо
нелинейной волны в виде
тт + ЗД— + Р— + аЪ— = 0, C9.2)
at дх а х3 дх
где а — постоянный параметр (который тоже может в принципе
иметь оба знака) 2).
Для упрощения записи этого уравнения введем вместо х но-
вую переменную ? и вместо b — новую неизвестную функцию а,
определив их согласно
? = х- uot, a = аЬ. C9.3)
х) Тот факт, что функция ш{к) разлагается по нечетным степеням к, сле-
дует уже из соображений вещественности. Исходная система физических
уравнений движения среды содержит лишь вещественные величины и па-
раметры. Мнимая единица г появляется лишь в результате подстановки в
эти уравнения решения, пропорционального ехр(—iuut + ikx). Поэтому воз-
никающий в результате этой подстановки закон дисперсии определяет iuu в
виде функции от ik с вещественными коэффициентами; разложение такой
функции может содержать лишь нечетные степени от ik. В общем случае
диссипирующей среды функция ш(к) комплексна (и = и/ +ги/'), и тогда сде-
ланное утверждение относится к разложению вещественной части частоты,
и'(к). Разложение же функции и"(к) по тем же причинам будет содержать
лишь четные степени к.
2) Подчеркнем, однако, во избежание недоразумений, что такой вид сла-
бой нелинейности отнюдь не является универсальным. Так, слабая нелиней-
ность для распространения волн в плазме, возникающая от последнего чле-
на в электронном распределении C6.11) (использованном в задаче к § 38),
соответствовала бы члену ~ \fbdbjdx в уравнении типа C9.2).
§ 39 СОЛИТОНЫ В СЛАБО ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ 193
Тогда получим
В таком виде это уравнение называют уравнением Кортевега-де
Вриза (КдВ) 1). Будем считать сначала для определенности, что
постоянная /3 > 0.
Нас будут интересовать решения, описывающие волны со ста-
ционарным профилем. В таких решениях функция а(?, ?) зависит
только от разности ? — vot с некоторым постоянным vq:
C9.5)
при этом скорость распространения волны есть
U = Uq -\- Vq. C9.6)
Подставив C9.5) в C9.4) и обозначив дифференцирование по ?
штрихом, получим уравнение
/За'" + аа' - voaf = 0. C9.7)
Отметим, что оно инвариантно относительно замены
а^> a + V, v0 -+ v0 + V C9.8)
с произвольной постоянной V.
Первый интеграл уравнения C9.7):
Pa + avoa.
Умножив это равенство на 2af и интегрируя еще раз, получим
/За'2 = -— + v0a2 + cia + c2. C9.9)
о
Вместо трех постоянных г>о, ci, C2 целесообразно ввести другие
постоянные — три корня кубического трехчлена, стоящего в пра-
вой части C9.9). Обозначив эти корни через ai, a2, аз, напишем
/За'2 = --(а - ai)(a - а2)(а - а3). C9.10)
о
Постоянная vq связана с новыми постоянными равенством
^о = -(ai + a2 + аз). C9.11)
о
х) Оно было получено Кортевегом и де Бризом (D.J. Korteweg, G. de
Vries, 1895) для волн на поверхности мелкой воды.
7 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X
194 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III
Нас будут интересовать лишь такие решения уравнения
C9.10), в которых величина |а(?)| ограничена; неограниченный
рост \а\ противоречил бы предположению о слабой нелинейно-
сти. Легко видеть, что это условие не выполняется, если среди
корней ai, a2, аз имеются комплексные; пусть это будут а\ и п2
(причем п2 = а*). Действительно, в таком случае правая часть
C9.10) принимает вид \а — ai|2(a3 — a)/3 и ничто не мешает a
стремиться к — оо.
Таким образом, постоянные ai, a2, аз должны быть веще-
ственными; расположим их в порядке а\ > п2 > аз- Поскольку
выражение в правой части уравнения C9.10) должно быть поло-
жительным, то функция а(?) может меняться лишь в интервале
а\ ^ а ^ п2- Без ограничения общности можно положить аз = 0;
этого всегда можно достичь преобразованием вида C9.8). Усло-
вившись о таком выборе, перепишем уравнение C9.10) в виде
(За!2 = -{а\ — а) (а — а,2)а. C9.12)
о
Решение этого уравнения имеет различный характер при
а2 = 0 и при а2 ф 0. В первом случае [а,2 = 0, а\ > 0) инте-
грирование уравнения дает
/ . /—\
C9.13)
начало отсчета ? выбрано в точке максимума функции (здесь и
ниже мы пишем, для упрощения обозначений, профиль волны
как функцию от ? = х в некоторый заданный момент времени
t = 0). Это решение описывает уединенную волну (солитон): при
? —>> =Ьоо функция а(?) вместе со своими производными обраща-
ется в нуль. Постоянная а\ дает амплитуду солитона, а его ши-
рина убывает с ростом амплитуды как аг ' . Согласно C9.11)
имеем г>о = ai/З, так что скорость солитона
и = i/0 + ai/3. C9.14)
Эта скорость и > щ и растет с увеличением амплитуды.
Снова напомним, что нелинейность процессов, описываемых
уравнением КдВ, предполагается слабой. Условие этой малости
имеет естественный смысл; так, если роль величины а играет из-
менение плотности среды, то это изменение должно быть малым
по сравнению с невозмущенной плотностью. В то же время «сте-
пень нелинейности» этих процессов характеризуется еще и дру-
гим безразмерным параметром: L(ai/f3I^21 где L — характерная
длина, а а\ — амплитуда возмущения. Этот параметр определяет
§ 39 СОЛИТОНЫ В СЛАБО ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ 195
относительную роль эффектов нелинейности и дисперсии и мо-
жет быть как малым (преобладание эффекта дисперсии), так и
большим (преобладание эффекта нелинейности). Для солитона,
ширина которого L ~ (/З/aiI/2, этот параметр порядка 1.
Перейдем к случаю a 2 ^ 0; в этом случае решение уравне-
ния C9.12) описывает периодическую в пространстве, бесконеч-
но протяженную волну. Интегрирование уравнения дает
=
J
[a(ai - а)(а - a2)
a
где F(s,cp) — эллиптический интеграл первого рода:
C9Л5)
=
а^ 2
— s2 sin
причем )
sm(p=A , s = Jl — —; C9.17)
начало отсчета ? выбрано в одном из максимумов функции а(?).
Обращая формулу C9.15) путем введения эллиптической
функции Якоби, получим
/ / \
C9.18)
Эта функция периодична, причем ее период (длина волны) по
координате х равен
C9.19)
где K(s) — полный эллиптический интеграл первого рода. Сред-
нее по периоду значение функции C9.18):
1 Xr E(s)
а = — J a(cj a§ = а\—^-, (oy.zUj
Л 0 K(s)
где E(s) — полный эллиптический интеграл второго рода. Есте-
ственно рассматривать периодическую волну, в которой сред-
1) Параметр эллиптического интеграла обозначен буквой s (вместо обычно
принятой А;) во избежание путаницы с волновым вектором.
196 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III
нее значение колеблющейся величины равно нулю. Этого все-
гда можно добиться преобразованием C9.8), вычитая величи-
ну C9.20) из функции C9.18). Скорость распространения волны
равна тогда
Н?$] C9-21)
Малым амплитудам колебаний а\ — п2 соответствуют значе-
ния параметра s <С 1. Воспользовавшись приближенным выра-
жением
s2 s2
dn (z, s) « 1 — — + — cos 2z, s<l,
4 4
найдем, что решение C9.18) переходит в этом случае, как и сле-
довало, в гармоническую волну
CL\ -\~ CL2 , Cil — CL2 7 7 / &1
а = + cos кх, к = х —.
2 2 ' у 3/3
При этом скорость C9.21) становится равной и = щ — ai/З =
= ЗД — /ЗА;2 в соответствии с C9.1).
Обратному предельному случаю больших амплитуд (в рас-
сматриваемой модели волн) отвечают значения а,2 —>> 0, причем
параметр s —)> 1. Имея в виду предельную формулу
W 2 1-s2'
найдем, что в этом пределе длина волны возрастает по логариф-
мическому закону
[Ш^ C9.22)
U2
Другими словами, последовательные пучности волны раздвига-
ются на большие расстояния друг от друга. Профиль волны
вблизи каждой из них получается из C9.18) с помощью пре-
дельного выражения функции dn^ при 5 = 1, справедливой при
конечных значениях z: dnz = 1/ chz. В результате мы возвраща-
емся к формуле C9.13). Таким образом, в пределе s —>> 1 перио-
дическая волна разбивается на совокупность следующих друг за
другом удаленных солитонов.
До сих пор мы предполагали, что /3 > 0. Случай, когда по-
стоянная /3 < 0 не требует особого рассмотрения: изменение зна-
ка /3 в уравнении C9.4) эквивалентно замене ? —>• —?, а —>• —а.
Поскольку при такой замене аргумент ? — v$t в C9.5) превраща-
ется в — ? — vot, то скорость распространения волны будет теперь
и = щ — vq. Так, для солитона полученные выше результаты
изменятся лишь в том отношении, что функция а(?) станет от-
рицательной, а его скорость и < щ.
§ 39 СОЛИТОНЫ В СЛАБО ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ 197
Уравнение КдВ обладает некоторыми специфическими свой-
ствами, позволяющими установить для него ряд общих тео-
рем. Они основаны на формальной связи, существующей меж-
ду уравнением КдВ и задачей о собственных значениях урав-
нения типа уравнения Шредингера (C.S. Gardner, J.M. Greene,
M.D. Kruskal, R.M. Miura, 1967).
Рассмотрим уравнение
^] = 0 C9.23)
и будем снова для определенности считать, что /3 > 0. Уравнение
C9.23) имеет вид уравнения Шредингера, в котором функция
—а(?, ?) играет роль потенциальной энергии, зависящей от t как
от параметра. Пусть функция а(?,?) в некоторой области ? по-
ложительна и стремится к нулю при ? —>• ±оо. Тогда уравнение
C9.23) будет обладать собственными значениями ?, отвечающи-
ми «финитному движению в потенциальной яме — а(?, ?)»; в силу
зависимости функции а от ?, эти собственные значения, вообще
говоря, тоже зависят от t.
Покажем, что собственные значения е не будут зависеть от ?,
если функция а(?, ?) удовлетворяет уравнению КдВ C9.4).
Выразив из C9.23) а в виде
ф
и подставив в C9.4), после прямого вычисления получим
где
Ь2— = и/А-фА')', C9.24)
dt
-яд-?- ^Ф'Ф" + Ф'" - 1Ф') ; C9.25)
р at ф 6 J
существенно, что правая часть C9.24) оказывается выраженной
в виде производной по ? от выражения, обращающегося в нуль
при ? —>• zboo (напомним, что собственные функции дискретного
спектра уравнения C9.23) исчезают на бесконечности). Поэтому
интегрирование равенства C9.24) по всем ? от —оо до оо дает
ds r о
и, ввиду конечности стоящего здесь нормировочного интеграла
функции ф, отсюда следует, что de/dt = 0.
198 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III
Покажем теперь, что уравнение C9.23) имеет всего одно дис-
кретное собственное значение в случае стационарного «потенциа-
ла» а(?) вида C9.13), отвечающего одиночному солитону. С этим
«потенциалом» уравнение C9.23) имеет вид
(^ ) = О, C9.26)
\ ch at, )
причем
/ \1/2
С/о = —, а = — . C9.27)
6/3' \l2pj у >
Дискретные собственные значения уравнения C9.26) даются
формулой
еп = -a2(s - п)\ s = U-l + yl+^j , гс = 0,1, 2,... ,
причем должно быть п < s (см. III, § 23, задача 4). Со значе-
ниями параметров из C9.27) 5 = 1, так что имеется всего одно
собственное значение
е = —^-. C9.28)
12/3 V J
Если же «потенциал» а(?, ?) представляет собой совокуп-
ность солитонов, находящихся на больших расстояниях друг от
друга (так что «взаимодействие» между ними отсутствует), то
спектр собственных значений уравнения C9.23) будет склады-
ваться из «уровней» C9.28) в каждой из потенциальных ям, при-
чем каждый из них определяется амплитудой а\ соответствую-
щего солитона.
Поскольку скорость распространения солитона растет с уве-
личением его амплитуды, то солитон большей амплитуды в конце
концов всегда догонит солитон меньшей амплитуды. Произволь-
ная начальная совокупность удаленных друг от друга солитонов
после процессов взаимных «столкновений» в конце концов пре-
вратится в совокупность солитонов, расположенных в порядке
возрастания их амплитуд (напомним, что все возмущения, опи-
сываемые уравнением КдВ, распространяются в одну сторону!).
Полученные выше результаты позволяют сразу же сделать ин-
тересное заключение: начальная и конечная совокупности соли-
тонов одинаковы по общему числу и по амплитудам солитонов,
отличаясь лишь порядком их расположения. Это следует непо-
средственно из того, что каждый из изолированных солитонов
соответствует одному из собственных значений ?, а эти значения
от времени не зависят.
Вообще, всякое положительное (а > 0) начальное возмуще-
ние, занимающее конечную область пространства, в ходе своей
§ 39 СОЛИТОНЫ В СЛАБО ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ 199
эволюции, согласно уравнению КдВ, в конце концов распадается
в совокупность изолированных солитонов, амплитуды которых
уже не зависят от времени. Эти амплитуды и число солитонов
можно в принципе найти путем определения спектра дискрет-
ных собственных значений уравнения C9.23) с начальным рас-
пределением а@,?) в качестве «потенциала». Если же начальное
возмущение содержит в себе также и участки с а < 0, то в ходе
его эволюции возникает еще и волновой пакет, постепенно рас-
плывающийся, не распадаясь на солитоны.
Во избежание недоразумений надо, однако, уточнить, что
именно подразумевается под начальным возмущением в уравне-
нии КдВ. Реальное возмущение, возникающее в среде в некото-
рый момент времени, в ходе своей эволюции (описываемой пол-
ным волновым уравнением второго порядка по времени) распа-
дается, вообще говоря, на два возмущения, распространяющиеся
в обе стороны оси х. Под «начальным» возмущением для урав-
нения КдВ надо понимать одно из этих двух возмущений сразу
после распада.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Солитоны в слабо диспергирующей среде» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»

Заказать диплом курсовую реферат
Реферати та публікації на інші теми: Операції по залученню вкладів і депозитів. Міжбанківський кредит
Аудит формування фінансових результатів
ВАЛЮТНИЙ КУРС
Подвоєння та подовження приголосних
Аудит нерозподіленого прибутку


Категорія: Теоретична фізика у 10 томах | Додав: koljan (30.11.2013)
Переглядів: 570 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]

Онлайн замовлення

Заказать диплом курсовую реферат

Інші проекти




Діяльність здійснюється на основі свідоцтва про держреєстрацію ФОП