В общем случае произвольных значений к, когда существен- ную роль играет пространственная дисперсия, вычисление про- ницаемости требует применения кинетического уравнения. Сде- лаем это, предполагая, что в диэлектрической поляризации плаз- мы участвуют только электроны, а движение ионов несуществен- но (в таких случаях говорят об электронной плазме); к условию допустимости такого предположения и к обобщению результатов мы вернемся в § 31. 154 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III Для слабого поля ищем функцию распределения электронов в виде / = /о + #/, где /о — невозмущенная полем стационар- ная изотропная и пространственно-однородная функция распре- деления, a Sf — ее изменение под влиянием поля. Пренебрегая в кинетическом уравнении членами второго порядка малости, по- лучим dt дт V с1 Ч др В изотропной плазме функция распределения зависит только от абсолютной величины импульса. Для такой функции направле- ние вектора dfo/dp совпадает с направлением р = mv и его про- изведение с [vB] обращается в нуль. Таким образом, в линейном приближении магнитное поле не влияет на функцию распреде- ления. Для Sf остается уравнение +veE^. B9.1) dt дт dp y J Вместе с полем Е функция Sf предполагается пропорцио- предполагается пропорциональной ехр [г(kr — out)]. Тогда из B9.1) находим Условие малости поля возникает из требования, чтобы Sf было мало по сравнению с /о. Коэффициент при dfo/dp в B9.2) есть амплитуда импульса, приобретаемого электроном в поле Е. Эта амплитуда должна быть мала по сравнению со средним (опреде- ленным по распределению /о) импульсом mv. В невозмущенной плазме плотность зарядов электронов ком- пенсируется в каждой точке зарядами ионов, а плотность тока равна нулю тождественно ввиду изотропии плазмы. Плотность же зарядов и плотность тока, возникающие в плазме при ее воз- мущении полем, равны p = -efSf d3p, j = -е / vSf d3p. B9.3) Вместе с Sf эти величины пропорциональны ехр [i(kr — о;?)], и согласно B8.1) их связь с диэлектрической поляризацией дается формулами гкР = -р, -iu)P=j. B9.4) Способ взятия интегралов в B9.3) требует, однако, уточнения ввиду наличия у функции Sf полюса при ш = kv. B9.5) Чтобы придать интегралу смысл, будем вместо строго гармони- ческого (сое~гш1) рассматривать поле, которое бесконечно мед- ленно включается от времени t = — оо. Такому описанию поля § 29 ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ 155 соответствует добавление к его частоте бесконечно малой поло- жительной мнимой части, т. е. замена оо —>• ио + iS, где S —>• +0. Действительно, при этом будет Eooe~lujtet5 —>> 0 при t —>> —оо; вы- зываемое же множителем et6 неограниченное возрастание поля при t —>> оо несущественно, так как в силу принципа причинно- сти не может оказать влияния на явления, рассматриваемые при конечных временах t (между тем как с S < 0 поле оказалось бы большим в прошлом, что нарушило бы применимость линейного по полю приближения). Таким образом, правило обхода полюсов B9.5) определяется заменой оо^оо + М; B9.6) оно было впервые установлено Л.Д. Ландау A946). К обоснованию правила B9.6) можно подойти также с другой точки зрения, путем введения в кинетическое уравнение беско- нечно малого интеграла столкновений, представленного в виде St/ = —vSf. Добавление такого члена в правую часть уравне- ния B9.1) эквивалентно замене оо —>> оо + iv в члене dSf/dt = = — icoSf] устремляя затем v—t 0, получим снова правило B9.6) 1). При интегрированиях с правилом обхода B9.6) мы имеем де- ло с интегралами вида оо f(z)dz I д>0. z — id — оо В таком интеграле путь интегрирования в плоскости комплекс- ной переменной z проходит под точкой z = iS] при # —)> 0 это эк- вивалентно интегрированию вдоль вещественной оси с обходом полюса z = 0 по бесконечно малой полуокружности снизу. Вклад в интеграл от этого обхода определяется полувычетом подынте- грального выражения, и в результате получим оо оо i^L dz= } №-dz + гтг/(О), B9.7) — гО J z — оо —оо где перечеркнутый знак интеграла означает, что интеграл берет- ся в смысле главного значения. Эту формулу можно записать и в символическом виде ^_ = р1+^7Гф), B9.8) Г J В изложенных рассуждениях содержатся по существу два перехода к пределу: к малым полям (линеаризация уравнений) и к v -л 0. Обратим вни- мание на то, что первый производится до второго. Необходимость именно в таком порядке предельных переходов связана с необходимостью соблюдения условия Sf <C /о при линеаризации; при v = 0 добавка Sf обращалась бы в бесконечность при kv = uj. 156 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III где символ Р означает взятие (при дальнейших интегрировани- ях) главного значения. Вычислим продольную часть диэлектрической проницаемо- сти плазмы. Воспользуемся для этого первым из соотношений B9.4), подставив в него 5р из B9.3) и B9.2): = -е2Е [ J dp z(kv — uj — гО) Пусть поле Е (а с ним и Р) направлено вдоль к; тогда 4тгР = = (si — 1)Е. Мы приходим, таким образом, к следующей формуле для продольной проницаемости плазмы с произвольной стацио- нарной функцией распределения f(p) (индекс 0 у которой ниже опускаем): ?1 = 1-*™L [ъ?1 tE . B9.9) к2 J dp kv — uj — гО Выберем направление к в качестве оси х. В подынтегральном выражении в B9.9) от ру, pz зависит лишь /. Поэтому формулу B9.9) можно переписать в другом виде, введя функцию распре- деления только по рх = mvx: fiPx) = / f(p)dpydpz. Тогда ?l = i _ ±Е?! [ ®Ы dJE± . B9.10) к J dpx kvx — cj — гО — оо В изотропной плазме f(px) — четная функция рх. Сразу ж:е отметим важный результат: диэлектрическая про- ницаемость бесстолкновительной плазмы оказывается комплекс- ной величиной; мнимая часть интеграла B9.10) определяется формулой B9.7). К обсуждению этого важного результата мы возвратимся в следующем параграфе, а здесь рассмотрим ана- литические свойства функции частоты о;, определяемой инте- гралом B9.10). Уже из общих свойств диэлектрической прони- цаемости известно, что эта функция может иметь особые точ- ки только в нижней полуплоскости комплексной переменной ио (см. VIII, § 62); это является следствием уже самого определения B8.5). Полезно, однако, проследить за тем, как это видно непо- средственно из формулы B9.10), и выяснить связь между этими особыми точками и свойствами функции распределения f(px). Изменив обозначение переменной интегрирования, напишем интеграл в B9.10) в виде [W dz . B9.11) J dz z-uj/k С § 30 ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ 157 Интегрирование производится в плоскости комплексной пере- менной z вдоль вещественной оси, с обходом точки z = ио/к снизу (рис. 7 а). Тем самым интеграл B9.11) определяет ана- литическую функцию и во всей верхней полуплоскости ио: для всех таких значений ио полюс z = ио /к об- ходится, как и следовало, снизу. При ана- Q) литическом же продолжении этой функ- ции в нижнюю полуплоскость ио необ- с > ^ > ходимость обхода полюса снизу требует imz=0 каждый раз соответствующего смещения а пути интегрирования (рис. 7 6). Но функ- ^ ^ ция df(z)/dz, регулярная при веществен- ^\ / imz=o ных z, имеет, вообще говоря, особые точ- б \у ки при комплексных значениях z (назовем • z0 их ^о), в том числе в нижней полуплоско- сти z. Увод пути интегрирования С от по- Рис. 7 люса z = ио/к оказывается невозможным, когда этот полюс сближается с какой-либо из особых точек zq и контур С оказывается зажатым между этими двумя точками. Таким образом, функция B9.11) имеет особые точки в нижней полуплоскости ио при значениях ио/к, совпадающих с особыми точками функции df(z)/dz.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной плазмы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
В изложенных рассуждениях содержатся по существу два перехода к 