Перепишем уравнения B7.10) в виде, более обычном для ма- кроскопической электродинамики, введя в них наряду с напря- женностью Е также и электрическую индукцию D. При этом мы определим вектор электрической поляризации Р соотношениями ^=j, divP = -p; B8.1) непротиворечивость этих двух формул обеспечивается уравне- нием непрерывности divj = —dp/dt (мы вернемся еще к этому определению ниже в этом параграфе). Тогда уравнения B7.10) примут вид rotE = -± —, divB = 0, 1 да* B8-2) rotB = - —, divD = 0. с dt ' В слабых полях связь индукции D с напряженностью Е ли- нейна1). Но уже в обычных средах эта связь не имеет мгновен- ного характера по времени: значение D(t, r) в некоторый момент времени t зависит, вообще говоря, от значений Е(?, г) не только в тот же, но и во все предшествующие моменты времени (см. VIII, § 58). В плазме к этому добавляется еще и нелокальность свя- зи: значение D(t, г) в некоторой точке пространства г зависит от значений Е(?, г) не только в той же точке, но, вообще гово- ря, и во всем объеме плазмы. Это свойство связано с тем, что «свободное» (т. е. без столкновений) движение частиц в плазме определяется значениями поля на всей их траектории. Наиболее общая линейная связь между функциями D(t, г) и Е(?, г) может быть записана в виде Da(t, г) = Ea(t, г) + / / Kap(t - t', r, r')Ep(t', r') dV dt'. — ОО Для пространственно-однородной плазмы ядро интегрального оператора Кар зависит только от разности пространственных ар- гументов г—г'. Введя обозначения r—r'=p,t—t' = T, перепишем Условие слабости поля будет сформулировано в § 29. §28 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ В ПЛАЗМЕ 151 эту связь в виде А*(?,г) = ЗД,г) + f f Kap(r,p)Ep(t - т,г - p) d3pdr. B8.3) о Как обычно, путем разложения в ряд или интеграл Фурье можно представить поле в виде совокупности плоских волн, в которых Е и D пропорциональны el(kr-ujt)t для таких волн связь D с Е принимает вид Da = eap(u>,k)Ep, B8.4) где тензор диэлектрической проницаемости еар{ш,к) = 6ар + ЦКар{т,р)№т-*>)&рйт. B8.5) о Из этого определения непосредственно следует, что еар(-и,-к)=е*а0(ш,к). B8.6) Таким образом, нелокальность связи между Е и D приводит к тому, что диэлектрическая проницаемость плазмы оказывает- ся функцией не только от частоты, но и от волнового вектора; об этой последней зависимости говорят как о пространственной дисперсии, подобно тому, как зависимость от частоты называют временной (или частотной) дисперсией. Вернувшись к уравнениям B8.1), B8.2), напомним, что при формулировке уравнений Максвелла для переменных полей в обычных средах наряду с диэлектрической поляризацией Р вво- дится также и намагниченность М, причем средний микроскопи- ческий ток разлагается на две части dP/dt и crotM; в плоской волне эти выражения сводятся к — icuP и гс[кМ]. Но при нали- чии пространственной дисперсии, когда все величины все равно зависят от к, такое разделение нецелесообразно. Отметим также, что, если ток j и плотность зарядов р цели- ком включены в определение поляризации Р (как это сделано в B8.1)), последняя зависит, вообще говоря, как от электриче- ского поля Е, так и от магнитного поля В. Но поле В можно выразить через Е согласно первой паре уравнений Максвелла B8.2), содержащей только эти две величины, т. е. (для плоской волны) согласно [kE] = cjB/c, кВ = 0. Тогда и поляризация Р окажется выраженной только через Е, что и подразумевается в определении еар согласно B8.3)-B8.5). Зависимость от волнового вектора вносит в функции ?а/з(ш, к) выделенное направление — направление ее аргумента к. Поэтому при наличии пространственной дисперсии диэлектриче- ская проницаемость является тензором даже в изотропной среде. 152 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III Общий вид такого тензора можно представить в форме еаР(ш,-к) = et(u,k) (баР - b^)+?l(u,k)*&-. B8.7) При умножении на Ер первый член в B8.7) дает в индукцию D вклад, перпендикулярный волновому вектору, а второй член — вклад, параллельный к. Для полей Е, перпендикулярных к или направленных по к, связь между D и Е сводится соответственно к D = SfE или D = siEi. Скалярные функции et и е\ называ- ют соответственно поперечной и продольной проницаемостями. Они зависят от двух независимых переменных — частоты ио и абсолютной величины волнового вектора к. При к —>> 0 выделен- ное направление исчезает, и тогда тензор еар должен сводиться к виду е(иоMар, где е{ио) — обычная скалярная проницаемость, учитывающая лишь частотную дисперсию. Соответственно пре- дельные значения функций et и е\ одинаковы и равны et(oJ,0)=el(oj,0)=e(oJ). B8.8) Согласно B8.6) скалярные функции е\ и et обладают свойством е,(-ш,*0 = ?,>,*), st(-co,k)=e*(co,k). B8.9) Пространственная дисперсия не влияет на свойства е\ и et как функций комплексной переменной со. Для этих функций оста- ются в силе все известные результаты (см. VIII, § 62), относящи- еся к проницаемости е(оо) обычных сред без пространственной дисперсии. В этой главе мы будем рассматривать только изотропную плазму. Подчеркнем, что это предполагает не только отсутствие внешнего магнитного поля, но и изотропию функции распреде- ления частиц по импульсам (в невозмущенной полем плазме). В противном случае появляются новые выделенные направления и тензорная структура еар усложняется. Уже было указано, что происхождение пространственной дисперсии в плазме связано с зависимостью «свободного» дви- жения частиц от значений поля вдоль их траектории. Факти- чески, конечно, существенное влияние на движение частицы в каждой точке ее траектории оказывают значения поля не на всей траектории, а лишь на некоторых ее отрезках не слишком боль- шой длины. Порядок величины этих длин может определяться двумя механизмами: столкновениями, нарушающими свободное движение по траектории, или усреднением осциллирующего по- ля за время пролета частицы по траектории. Для первого ме- ханизма характерным расстоянием является длина свободного пробега частицы I ~ v/v, а для второго — расстояние v/uj, на ко- торое частица, двигаясь со средней скоростью v, перемещается за время одного периода поля. § 29 ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ 153 В выражении B8.3) дальности корреляции между значе- ниями D и Е в различных точках пространства соответству- ют расстояния гкор, на которых существенно убывает функция Кар(т,р). Можно утверждать, следовательно, что порядок вели- чины этих расстояний дается меньшей из двух величин, / или v/uj (причем надо брать ее для тех частиц — электронов или ио- нов, для которых она имеет большее значение). Если v <С о;, то меньшей является величина v/uo и тогда гкор~й/о;. B8.10) Пространственная дисперсия значительна при krKOp > 1 и исче- зает при кгК0р <С 1; в последнем случае в B8.5) можно заменить е-гкр ^ ^ и интеграл перестает зависеть от к. С гК0р из B8.10) мы находим, следовательно, что пространственная дисперсия су- щественна для волн, фазовая скорость которых (и)/к) сравнима или меньше средней скорости частиц в плазме. В обратном пре- дельном случае при ш > kv B8.11) пространственная дисперсия несущественна. Важно, что значения гкор в плазме могут быть велики по сравнению со средними расстояниями между частицами (~ TV/3). Именно это условие делает возможным макроско- пическое описание пространственной дисперсии в терминах ди- электрической проницаемости даже тогда, когда дисперсия зна- чительна. Напомним (см. VIII, § 83), что в обычных средах роль длины корреляции играют атомные размеры и потому уже усло- вие применимости макроскопической теории требует соблюде- ния неравенства кгК0р <С 1 (длина волны должна быть велика по сравнению с атомными размерами); именно поэтому в таких средах пространственная дисперсия (проявляющаяся, например, в так называемой естественной оптической активности) всегда оказывается лишь малой поправкой.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Пространственная дисперсия в плазме» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
