Значительную категорию кинетических явлений составляют процессы, в которых средние изменения величин (от которых зависит функция распределения) в каждом элементарном ак- те малы по сравнению с их характерными значениями. Време- на релаксации таких процессов велики по сравнению с време- нами элементарных актов, составляющих их микроскопический механизм; в этом смысле такие процессы можно назвать мед- ленными. Типичный пример такого рода дает задача о релаксации по импульсам небольшой примеси тяжелого газа в легком (который сам по себе предполагается находящимся в равновесии). Ввиду малой концентрации тяжелых частиц, их столкновениями друг с другом можно пренебречь и рассматривать их столкновения лишь с частицами основного (легкого) газа. Но при столкнове- нии тяжелой частицы с легкими ее импульс испытывает лишь относительно малое изменение. Будем для определенности говорить именно об этом приме- ре и выведем кинетическое уравнение, которому удовлетворяет в таком случае функция распределения частиц примеси по им- пульсам, /(?, р). Обозначим через ги(р, q) d3q отнесенную к единице времени вероятность изменения импульса р —>> р — q тяжелой частицы при элементарном акте — ее столкновении с легкой частицей. Тогда кинетическое уравнение для функции /(?, р) запишется в виде + q, q)/(t, P + q) - Цр, q)/(t, p)} А, B1.1) где справа стоит разность между числом частиц, поступающих (в 1 с) в заданный элемент импульсного пространства d3p и по- кидающих его за то же время. Согласно сделанным предположе- ниям, функция ги(р, q) быстро убывает с увеличением q, так что основную роль в интеграле играют значения q, малые по срав- нению со средним импульсом частиц. Это обстоятельство позво- § 21 УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА-ПЛАНКА 117 ляет произвести в подынтегральном выражении разложение ™(р + q, q)/(*, p + q) « ™(р, q)/(*, p) + + q^-w(p, q)/(*, p) + 1яаЯ/з^-^- w(p, q)/(t, p). В результате кинетическое уравнение примет вид ^ { B1-2) dt дра у дрр ) где Аа = / 9aW(P, q) ^3<7, ^а/3 = " / ЗМ/Мр, q) ^V B1-3) Таким образом, кинетическое уравнение из интегро-дифферен- циального становится дифференциальным. Величины Аа и Вар можно записать в символическом виде, более ясно выражающем их смысл: где знак ^ означает суммирование по (большому) числу столк- новений, происходящих за время St. Выражение в правой части B1.2) имеет вид дивергенции в импульсном пространстве, —dsa/dpai от вектора sa = ~Aaf - ^-(BaPf) = -Aaf - Bap^L, Aa = Aa + ^L. ap др др pC р(з р(з B1.5) Другими словами, B1.2) имеет, как и следовало, вид уравнения непрерывности в импульсном пространстве; тем самым автома- тически соблюдается сохранение числа частиц при процессе. Век- тор же s является плотностью потока частиц в импульсном про- странстве. Согласно формулам B1.4) коэффициенты в кинетическом уравнении выражаются через средние характеристики столкно- вений, и в этом смысле их вычисление представляет собой ме- ханическую задачу. Фактически, однако, нет необходимости в раздельном вычислении коэффициентов Аа и Вар] они могут быть выражены друг через друга из условия обращения потока в нуль в статистическом равновесии. В данном случае равновес- ная функция распределения есть f = const • exp ( — —— ), где М — масса частиц тяжелого газа, а Т — температура основ- ного (легкого) газа. Подстановка этого выражения в уравнение 118 ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЛ. II s = 0 дает МТАа = Варрр. B1.6) Таким образом, кинетическое уравнение принимает вид = А. \Ваа (*Lf + И.)] . B1.7) дР [ аР \MTJ др)\ V ; \Ва (f + dt дРа [ аР \MTJ дрр Отметим, что коэффициенты в двух первых членах разложе- ния интеграла столкновений оказываются одинакового порядка величины; это связано с тем, что усреднение первых степеней знакопеременных величин qa в B1.4) связано с большим пога- шением, чем при усреднении квадратичных выражений. Даль- нейшие же члены разложения будут уже все малы по сравнению с двумя первыми. Единственный вектор, от которого могут зависеть коэффи- циенты Ва{з, — импульс тяжелых частиц р. Но если скорости этих частиц, р/М, в среднем малы по сравнению со скоростями легких частиц, то при столкновениях их можно считать непо- движными; в этом приближении величины Вар не будут зави- сеть от р. Другими словами, тензор Вар сведется к постоянному скаляру В: ВаE=В5аE, B=1-Jq2w@,(l)d3q, B1.8) а уравнение B1.7) примет вид El = B°-(j?-f+V)m B1.9) dt dp \MTJ dpj V } Обратим внимание на формальное сходство уравнения B1.7) с уравнением диффузии во внешнем поле, в особенности нагляд- ное в записи B1.9). Напомним, что уравнение диффузии имеет вид — = div(DVc-bcF), где с — концентрация примеси, F — сила, действующая на части- цу примеси со стороны внешнего поля, D — коэффициент диф- фузии, b — подвижность. Описываемые уравнением B1.9) про- цессы можно назвать диффузией в импульсном пространстве, причем В играет роль коэффициента диффузии; связь между коэффициентами при обоих членах в правой части B1.9) анало- гична известному соотношению Эйнштейна между коэффициен- том диффузии и подвижностью: D = ЪТ (см. VI, § 59). Кинетическое уравнение вида B1.2), в котором коэффициен- ты определены через усредненные характеристики элементарных актов, согласно B1.4), называют уравнением Фоккера-Планка (A.D. Fokker, 1914; М. Planck, 1917). Специфические свойства § 21 УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА-ПЛАНКА 119 переменных ра как импульсов частиц в изложенном выводе не играли роли. Ясно поэтому, что уравнение такого же типа будет справед- ливо и для функций распределения / по другим переменным, если только выполнены условия, лежащие в основе вывода: от- носительная малость изменения величин в элементарных актах и линейность по / интегрального оператора, выражающего из- менение функции благодаря этим актам. Упомянем, для примера, еще случай, когда легкий газ соста- вляет небольшую примесь к тяжелому газу. При столкновениях с тяжелыми частицами импульс легкой частицы сильно меняется по направлению, но лишь незначительно по абсолютной вели- чине. Хотя для функции распределения частиц примесного газа по вектору импульса р уравнение B1.7) в этих условиях будет уже неприменимо, аналогичное уравнение можно установить для рас- пределения по одной лишь абсолютной величине р. Если функ- ция распределения по-прежнему отнесена к элементу импульс- ного пространства d?p (так что число частиц с величиной р в ин- тервале dp есть f(t,p) • 4тф2ф), то уравнение Фоккера-Планка будет иметь место для функции 4тф2/, отнесенной к элементу dp: или dt p1 op где Б = 1^М!. B1.11) 2 St У J Выражение в фигурных скобках представляет собой радиальный поток s в импульсном пространстве. Он должен обращаться в нуль равновесным распределением / r>2 \ f = const • exp — —— J PV 2mTJ (где m — масса легкой частицы, а Т — температура основно- го, тяжелого газа). Это условие связывает величины А и Б, и в результате кинетическое уравнение B1.10) принимает вид dt p2 dp J ~ \mTJ ' dp ' ' V ' )
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Фоккера—Планка» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
