Флуктуации функции распределения в равновесном газе
Определяемая кинетическим уравнением функция распреде- ления (которую мы будем обозначать в этом и следующем пара- графах как /) дает средние числа молекул, находящихся в эле- ментах фазового объема d?xdT\ для статистически равновесно- го газа функция /(Г) есть независящая от времени и (если нет внешнего поля) от координат г больцмановская функция распре- деления /о F.7). Естественно возникает вопрос о флуктуациях, испытываемых точной, микроскопической функцией распреде- ления /(?, г, Г) в ходе ее изменения со временем при движении частиц газа по их точным уравнениям движения2). Введем корреляционную функцию флуктуации (или, как го- ворят короче, коррелятор) <*/(«!, Г1,Г1)г/(«2,г2,Г2)), A9.1) где Sf = f — /. В равновесном газе эта функция зависит толь- ко от разности времен t = t\ — t2\ усреднение производится по одному из моментов ti, t2 ПРИ заданном значении их разности. Ввиду однородности газа, в виде разности г = гх — Г2 входят в коррелятор также и координаты точек гх и Г2. Поэтому можно, условно положив ?2 и г2 равными нулю, представить коррелятор в виде <<*/(*, г, 14M/@,0, Г2)>. A9.2) Ввиду изотропии газа, зависимость этой функции от г фактиче- ски сводится к зависимости от абсолютной величины г. Если функция A9.2) известна, то ее интегрированием можно найти также и коррелятор плотности числа частиц: FN{t, tNN{0, 0)) = fFf{t, г, ГхM/@,0, Г2)> dT± dT2. A9.3) х) См. Kawasaki К., Oppenheim I. — Phys. Rev. 1965. V. 139А. P. 1763. 2) Этот вопрос впервые рассматривался Б.Б. Кадомцевым A957). 106 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I Для расстояний г, больших по сравнению с длиной пробега /, коррелятор плотности можно вычислить с помощью гидроди- намической теории флуктуации (см. IX, § 88). На расстояниях же < / требуется кинетическое рассмотрение. Непосредственно из определения A9.1) очевидно, что (8f(t, r, ri)<*/@,0, Г2)> = (Sf(-t, -г, Г2)<5/@,0, Гх)). A9.4) Корреляционная функция обладает также и более глубокой сим- метрией, выражающей симметрию равновесного состояния си- стемы по отношению к обращению времени. Обращение времени заменяет более поздний момент времени t на более ранний — ?, а также меняет значения величин Г на обращенные Гт. Указанная симметрия выражается поэтому равенством {Sf(t, r, ri)<*/@,0, Г2)> = Ef(-t, r, TjMf@,0, if )>. A9.5) При t = 0 функция A9.2) связывает флуктуации в различных точках фазового пространства в один и тот же момент времени. Но корреляции между одновременными флуктуациями распро- страняются лишь на расстоянии порядка величины радиуса дей- ствия молекулярных сил. Между тем в рассматриваемой теории такие расстояния рассматриваются как равные нулю и, таким образом, одновременный коррелятор обращается в нуль. Под- черкнем, что это обстоятельство связано именно с равновесно- стью состояния, относительно которого рассматриваются флук- туации. В неравновесном случае, как мы увидим в следующем параграфе, одновременные флуктуации тоже коррелированы. В отсутствие корреляции на отличных от нуля расстояни- ях одновременный коррелятор сводится к E-функциям, причем коэффициент при этих функциях определяет средний квадрат флуктуации в одной точке фазового пространства (ср. IX, § 88). В идеальном равновесном газе средний квадрат флуктуации функции распределения совпадает со средним значением самой этой функции (см. V, § 113) и, таким образом, (Sf(O, r, ri)<*/@,0, Г2)> = 7(Г1)<У(г)<У(Г! - Г2). A9.6) Неодновременная же корреляция между флуктуациями в различных точках существует уже и в теории, пренебрегающей молекулярными размерами. Необходимость возникновения этой корреляции очевидна уже из того, что частицы, участвующие в определенный момент во флуктуации в некотором месте фазо- вого пространства, в следующие моменты будут уже находиться в других местах. Задача о вычислении коррелятора при t ф 0 не может быть решена в общем виде, но может быть сведена к решению опре- § 19 ФЛУКТУАЦИИ В РАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ 107 деленных уравнений. Для этого надо вспомнить следующее по- ложение общей теории квазистационарных флуктуации (см. V, § П8, 119). Пусть xa(t) — флуктуирующие величины (с равными нулю средними значениями). Предполагается, что если система нахо- дится в неравновесном состоянии со значениями ха, выходящими за пределы их средних флуктуации (но все же малыми), то про- цесс релаксации системы к равновесию описывается линейными «уравнениями движения» вида ха = -^2,\аьхь A9.7) ь с постоянными коэффициентами Аа^. Тогда можно утверждать, что корреляторы величин ха удовлетворяют таким же уравне- ниям ±(xa(t)xc@)) = - ?) \ab(xb(t)xc@)), t > 0 A9.8) b (индекс с в этой системе уравнений свободный). Решив эти урав- нения при t > 0, найдем затем значения функций при t < 0 согласно свойству симметрии (xa(t)xb@)) = (xb(-t)xa@)), A9.9) являющемуся следствием определения корреляторов. В данном случае роль уравнений движения A9.7) играет ли- неаризованное уравнение Больцмана для малой добавки Sf к равновесной функции распределения /. Таким образом, корре- лятор функции распределения должен удовлетворять интегро- дифференциальному уравнению = 0 при *>0, A9.10) где 1\ — линейный интегральный оператор, действующий на пе- ременные Fi в следующей за ним функции согласно определе- нию: A9.11) Переменные же Г2 в уравнении A9.10) — свободные. Начальным условием для уравнения служит значение A9.6) коррелятора при t = 0, а коррелятор при t < 0 определяется затем равенством A9.4) (условие же A9.5) удовлетворяется в результате автомати- чески). Формулы A9.10), A9.11), A9.4) и дают ту совокупность уравнений, которые в принципе достаточны для полного опреде- ления коррелятора. 108 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I Обычно представляет интерес не сам коррелятор, а его фурье-образ по координатам и времени, который мы обозначим символом F/18/2H01^ где индексы 1 и 2 обозначают аргументы Г1! и Г2: (Sfi8f2U= f dt f {8/(^,^)8/@,0,Y2))e-^r- — ОО A9.12) (спектральная функция флуктуации, или спектральный корре- лятор). Если флуктуирующую функцию разложить в интеграл Фурье по времени и координатам, то среднее значение произведе- ний ее фурье-компонент связано со спектральным коррелятором формулой <<*Л,к(Г1)<*л,к,(г2)> = (гтг^ + и/Жк + к'хдали A9.13) (ср. V, § 122). Легко написать уравнение, которое позволяет в принципе определить спектральную функцию флуктуации без предвари- тельного вычисления пространственно-временного коррелятора. Разбив область интегрирования по t в A9.12) на две части (от —оо до 0 и от 0 до оо) и используя A9.4), получим $ J> A9.14) где A9.15) Совершим над уравнением A9.10) одностороннее преобразова- ние Фурье A9.15). При этом члены с производными по t и по г интегрируем по частям, учитывая, что коррелятор должен стре- миться к нулю при г —>• оо и при t —>• 00, а при t = 0 должен даваться формулой A9.6). В результате получим искомое урав- нение в виде [i(kvi -и)- Ji](<J/i<J/2)L"k = 7(ri)^ri - Г2)- A9.16) Если интересоваться не флуктуациями самой функции рас- пределения, а лишь флуктуациями плотности газа, целесообраз- но проинтегрировать уравнение A9.16) по ffV i(kv -co)- I](8/(T)SN)^ = /(Г). A9.17) Искомая же спектральная функция (SN2)^ получается из ре- шения этого уравнения однократным (а не двукратным, как в A9.3)) интегрированием. 19 ФЛУКТУАЦИИ В РАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ 109 Другой способ нахождения (SN2)^ основан на связи корре- лятора плотности с обобщенной восприимчивостью по отноше- нию к слабому внешнему полю вида U(t,r) = ишке^кг-^ A9.18) (см. IX, § 86) 1). Если под влиянием этого поля возникает изме- нение плотности SNuk = а(ш,к)ишк, A9.19) то (согласно IX, (86.20)) в классическом пределе спектральный коррелятор плотности (SN2)^ = — Ima(u, k). A9.20) Пусть 5f(t,r) — изменение функции распределения под влияни- ем этого же поля. Оно удовлетворяет кинетическому уравнению dt дг дг dv Фурье-компоненты функции 5f(t, r, Г) запишем в виде выделив в них внешнее поле. Тогда для Хшк имеем уравнение [»(kv -и)- Г\Хшъ(Т) = tkg. A9.21) По решению этого уравнения искомый спектральный коррелятор определяется однократным интегрированием: (<5iV2U = — Im / Хшк(Г) dT. A9.22)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Флуктуации функции распределения в равновесном газе» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
