Ввиду сложности закона взаимодействия молекул (в особен- ности многоатомных), определяющего функцию w в интегра- ле столкновений, уравнение Больцмана по существу не может быть даже записано для конкретных газов в точном виде. Но и при простых предположениях о характере молекулярного взаи- модействия сложность математической структуры кинетическо- го уравнения делает, вообще говоря, невозможным нахождение его решения в точном аналитическом виде; это относится даже к линеаризованному уравнению. В связи с этим в кинетической теории газов приобретают особое значение достаточно эффек- тивные методы приближенного решения уравнения Больцмана. Изложим здесь идею такого метода в применении к одноатомно- му газу (S. Chapman, 1916). Рассмотрим сначала задачу о теплопроводности. Для одно- атомного газа теплоемкость ср = 5/2 и линеаризованное уравне- ние G.3) принимает вид (где /3 = га/BТ)); линейный интегральный оператор /(g) опре- деляется формулой J(g) = /J4>TH/oi(g' + gi - g - gi) d3Pl da A0.2) (соответствующей интегралу столкновений C.9)), а равновесная функция распределения 1) Эффективный метод приближенного решения уравнения A0.1) основан на разложении искомых функций по полной си- стеме взаимно ортогональных функций, в качестве которых осо- бым удобством обладают так называемые полиномы Сонина 1) Функция распределения везде предполагается определенной по отно- шению к импульсному пространству. Это не мешает, однако, тому, что она может быть выражена, по соображениям удобства, через скорость v = р/т. 48 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I (D. Burnett, 1935). Эти функции определяются формулой1) Ssr(x) = - exx~r—s e~xxr+s, A0.4) S. (XX причем г — произвольное, a s — целое положительное число или нуль. В частности, 5° = 1, S}(x)=r + l-x. A0.5) Свойство ортогональности этих полиномов при заданном индек- се г и различных индексах s: ]e-xxrSsr(x)Ssr'(x)dx = r(r + g + 1)(W. A0.6) о s- Ищем решение уравнения A0.1) в виде разложения оо A«53/2(/9«2). A0.7) S = l Опустив в разложении член с s = 0, мы тем самым автоматиче- ски удовлетворяем условию G.4) (интеграл обращается в нуль в силу ортогональности полиномов с 5 = 0 и s ^ 0). Выражение в скобках в левой части A0.1) есть полином ^^(/Зг?2), так что уравнение принимает вид оо ^s/(vS3s/2). A0.8) s=l Умножив его с обеих сторон на \-fQ(v)Sy2(^v2) и проинтегриро- вав по d?p, получим систему алгебраических уравнений Y, ^ = 1,2,... , A0.9) причем аи = -?fhvSl3/2I(-vS'/2)<Pp= ^{v^/2,v5|/2}, A0.10) где введены обозначения {F,G} = //o(«)/o(«i)|v - Vl\A(F)A(G)d3pd3Pld(j, 1) Они отличаются лишь нормировкой и индексированием от обобщенных полиномов Лагерра: § 10 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ 49 Уравнение с / = 0 A0.9) отсутствует, поскольку uqs = 0 в си- лу сохранения импульса: A(vS®,2) = A(v) = 0. Коэффициент теплопроводности вычисляется подстановкой A0.7) в интеграл G.7). Ввиду условия G.4) этот интеграл (с е = mv2/2) можно представить в виде и в результате находим х=-А1. A0.12) 4 В простоте правой части уравнений A0.9) и выражения A0.12) проявляется преимущество разложения по полиномам Сонина. Ход вычислений для задачи о вязкости вполне аналогичен. Ищем решение уравнения (8.6) в виде BsSs5/2(f3v2). A0.13) Подстановка в (8.6) с последующим умножением этого уравнения на { и интегрированием по (ftp приводит к системе уравнений / = 0,1,2,..., A0.14) s=0 где vp - vj 6ар) Sl5/2, (yavp - vj 8ap) Ss5/2] . A0.15) Для коэффициента вязкости из (8.9) получается 77= -тВ0. A0.16) Приближенное решение бесконечной системы уравнений A0.9) или A0.14) достигается сохранением в разложениях A0.7) или A0.13) лишь нескольких первых членов, т. е. искусственным обрывом системы. Сходимость процесса приближения при уве- личении числа членов оказывается чрезвычайно быстрой: уже сохранение всего одного члена приводит, вообще говоря, к точ- ности 1-2 % в значении ж или г\г). *) Сходимость оказывается, однако, несколько хуже в задачах о диффузии и в особенности о термодиффузии. 50 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I Покажем, что приближенное решение линеаризованного ки- нетического уравнения для одноатомных газов, осуществляемое описанным способом, приводит к значениям кинетических ко- эффициентов, заведомо меньшим, чем дало бы точное решение этого уравнения. Запишем кинетическое уравнение в символическом виде I(g) = L A0.17) (где функции g и L — векторы в задаче о теплопроводности и тензоры второго ранга в задаче о вязкости). По функции g соответствующий кинетический коэффициент определяется как величина, пропорциональная интегралу -Jf0gI(g)d3p A0.18) (см. § 9). Приближенная же функция g удовлетворяет не самому уравнению A0.17), а лишь интегральному соотношению ffogI(g)d?P = ffoLg<Pp A0.19) (как это очевидно из способа определения коэффициентов в раз- ложениях g). Высказанное выше утверждение непосредственно следует из «вариационного принципа», согласно которому решение уравне- ния A0.17) осуществляет максимум функционала A0.18) в клас- се функций, удовлетворяющих условию A0.19). В справедливо- сти этого принципа легко убедиться, рассмотрев интеграл -ffo(g-<p)I(g -V)d3p, где g — решение уравнения A0.17), а ср — любая пробная функ- ция, удовлетворяющая лишь условию A0.19). По общему свой- ству (9.13) оператора / этот интеграл положителен. Раскрыв в нем скобки, пишем -ffo{gl(g) + Ч>1{4>) ~ <pl(g) ~ gH<P)} d3P- Поскольку для одноатомного газа принцип детального равнове- сия справедлив в форме B.8), то оператор / обладает свойством самосопряженности (9.11) г). Поэтому интегралы от двух послед- них членов в фигурной скобке равны друг другу. Подставив за- тем I(g) = L, имеем -Ifo{gl(g) = ~Jfo{gI(g) + <pl(<p) ~ 2L<f} d3p > 0. ) Подчеркнем, что вариационный принцип в сформулированном виде свя- зан с этим обстоятельством и не имеет места при соблюдении принципа де- тального равновесия лишь в его наиболее общем виде B.3). § 10 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ 51 Наконец, преобразовав интеграл от последнего члена с помощью условия A0.19), находим - / fogl(g) d3p > - / fo<pl(<p) d3p, что и требовалось доказать. Упомянем о случае, представляющем интерес с формальной точки зрения, хотя он и не имеет прямого физического смысла. Это — газ из частиц, взаимодействующих по закону U = а/г4 1). Этот случай характерен тем, что сечение столкновений таких частиц (определенное по классической механике) обратно про- порционально их относительной скорости v0TUl а потому фигу- рирующее в интеграле столкновений произведение v0TU da ока- зывается зависящим только от угла рассеяния #, но не от v0TU. В этом свойстве легко убедиться уже из соображений размерно- сти. Действительно, сечение зависит всего от трех параметров: постоянной а, массы частиц т и скорости г>0Тн- Из этих величин нельзя составить безразмерной комбинации и всего одну комби- нацию с размерностью площади: v~JH(a/mI<'2] ей и должно быть пропорционально сечение. Это свойство сечения приводит к су- щественному упрощению структуры интеграла столкновений, в результате чего оказывается возможным найти точные решения линеаризованных кинетических уравнений задач о теплопровод- ности и вязкости. Оказывается, что они даются просто первыми членами разложений A0.7) и A0.13) 2).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Приближенное решение кинетического уравнения» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
