Кинетическое уравнение для слабо неоднородного газа
Для того чтобы включить в рассмотрение диссипативные процессы (теплопроводность и вязкость) в слабо неоднород- ном газе, надо обратиться к следующему (после рассмотренно- го в предыдущем параграфе) приближению. Вместо того что- бы считать функцию распределения в каждом участке газа про- сто локально-равновесной функцией /о, учтем теперь также и небольшое отличие / от /о, т. е. напишем / в виде f = fo + Sf, Sf = -ffx® = i/oX, F.1) где Sf — малая поправка (Sf <С /о). Последнюю целесообразно представлять в написанном здесь виде, вынеся из нее множитель —dfo/ds] для распределения Больцмана эта производная отли- чается лишь множителем 1/Т от самой функции /q. Поправка Sf должна в принципе определяться путем решения линеаризо- ванного по отношению к ней кинетического уравнения1). Помимо самого кинетического уравнения, функция х должна удовлетворять еще и определенным дополнительным условиям. Дело в том, что /о есть равновесная функция распределения, от- вечающая заданным (в рассматриваемом элементе объема) плот- ностям числа частиц, энергии и импульса газа, т. е. заданным значениям интегралов ffodT, /е/о/Г, fpfodF. F.2) Неравновесная функция распределения F.1) должна приводить к тем же значениям этих величин, т. е. интегралы с / и /о долж- ны быть одинаковыми. Это значит, другими словами, что функ- ция х должна удовлетворять условиям O, JfoXedT = O, JfoXPdT = O. F.3) Подчеркнем, что само понятие температуры в неравновесном газе становится определенным лишь в результате приписыва- ния интегралам F.2) определенных значений. Это понятие имеет г) Такой метод решения кинетического уравнения принадлежит Энскогу (D. Enskog, 1917). § 6 УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СЛАБО НЕОДНОРОДНОГО ГАЗА 33 безусловный характер лишь в полностью равновесном состоянии газа в целом; для определения же температуры в неравновес- ном газе требуется дополнительное условие, каковым и служит задание указанных значений. Преобразуем, прежде всего, интеграл столкновений в кинети- ческом уравнении C.8). При подстановке в него функций в виде F.1) члены, не содержащие малой поправки %, взаимно сокраща- ются, поскольку равновесная функция распределения обращает интеграл столкновений в нуль. Члены первого порядка дают St/ = |/(X), F.4) где 1(х) обозначает линейный интегральный оператор Jw'Mx' + X[-X-Xi) <*Ti dr'dT',. F.5) Здесь использовано равенство /o/oi = /o/oi5 множитель /о мо- жет быть вынесен из-под знака интеграла, поскольку по dT не производится интегрирования. Обратим внимание на то, что интеграл F.5) тождественно обращается в нуль для функций X = const, х = const • ?, х = Р 3V F.6) (где SY — постоянный вектор); обращение в нуль для второй и третьей из этих функций связано с сохранением энергии и им- пульса в каждом столкновении. Будучи независимыми от време- ни и координат, функции F.6) удовлетворяют, следовательно, и всему кинетическому уравнению. Эти решения имеют простое происхождение. Кинетическому уравнению тождественно удовлетворяет равновесная функция распределения с любыми (постоянными) плотностью частиц и температурой. Поэтому ему автоматически удовлетворяет и ма- лая поправка 8f SN f возникающая при изменении плотности на 6N; отсюда возникает первое из решений F.6). Аналогичным образом удовлетворяет уравнению и добавка возникающая в результате изменения Т на малую постоянную ве- личину ST. Производная же dfo/dT складывается из члена вида const • /о (происходящего от дифференцирования нормировочно- го множителя в /о) и из члена, пропорционального б/о; отсюда и возникает второе из решений F.6). Третье же из этих решений 2 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X 34 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I возникает как выражение галилеевского принципа относитель- ности: равновесная функция распределения должна удовлетво- рять кинетическому уравнению также и после перехода к любой другой инерциальной системе отсчета. При переходе к системе, движущейся относительно первоначальной с малой постоянной скоростью EV, скорости молекул v заменяются на v + $V, так что функция распределения получает приращение чему и отвечает третье из решений F.6). «Паразитные» решения F.6) исключаются наложением трех условий F.3). Преобразование левой части кинетического уравнения про- изведем сразу в общем виде, охватывающем как задачу о тепло- проводности, так и задачу о вязкости. Другими словами, допус- каем существование градиентов всех макроскопических характе- ристик газа, в том числе его макроскопической скорости V. Равновесная функция распределения в неподвижном (V = 0) газе есть распределение Больцмана, которое напишем в виде /0 = ехр (^М) , F.7) где \i — химический потенциал газа. Распределение же в движу- щемся газе отличается от F.7) (как уже было отмечено в § 5) лишь галилеевским преобразованием скорости. Для того чтобы написать эту функцию в явном виде, выделим из полной энер- гии молекулы 6(Г) кинетическую энергию ее поступательного движения: 2 е(Т) = —+ ?вн; F.8) внутренняя энергия ?вн включает в себя энергию вращения мо- лекулы и колебательную энергию. Заменив v на v — V, получим распределение Больцмана в движущемся газе: г f Р> — ?вн\ / m(v — VJ\ (а пч /о = ехр \—^) ехр (- У 2Т J ) • F-9) В слабо неоднородном газе /о зависит от координат и вре- мени, причем эта зависимость возникает через посредство ме- няющихся вдоль газа (и со временем) его макроскопических ха- рактеристик — скорости V, температуры Т и давления Р (а с ними и /i). Поскольку градиенты этих величин предполагаются малыми, в левой части кинетического уравнения достаточно (в рассматриваемом приближении) подставить /о вместо /. Вычисления можно несколько упростить, учтя очевидную независимость интересующих нас в конечном счете кинетиче- ских коэффициентов от скорости V. Поэтому достаточно рас- § 6 УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СЛАБО НЕОДНОРОДНОГО ГАЗА 35 смотреть какую-либо одну точку в газе и выбрать в качестве та- ковой ту, в которой скорость V (но, конечно, не ее производные) равна нулю. Продифференцировав выражение F.9) по времени и положив затем V = 0, получим 1 дт (dfi\ дР_ + mv^v \ dt \dPJT dt dt ' /о dt WdTJ p T Согласно известным термодинамическим формулам имеем (ЕЕ) =-8, (ЕЕ) = 1, ^ = W-Ts, где w, s и 1/N — тепловая функция, энтропия и объем, отнесен- ные к одной частице газа. Поэтому Та/о s(T)-wdT , 1 дР , dV ,Л1пЧ — = -^^ + + mv—. F.10) /о dt Т dt N dt dt V } Аналогичным образом найдем ivVP + mvaVpVcp, F.11) где для краткости введено обозначение \{^ + ^), ^ee dvV; F.12) в последнем члене в F.11) произведена тождественная замена Левая часть кинетического уравнения получается сложением выражений F.10), F.11). При этом все производные по време- ни от макроскопических величин могут быть выражены через их пространственные градиенты согласно гидродинамическим уравнениям идеальной (т. е. невязкой и нетеплопроводящей) сре- ды; учет диссипативных членов здесь привел бы к величинам высшего порядка малости. В точке, в которой V = 0, уравнение Эйлера дает — = --VP = -—VP. F.13) dt p Nm v ; В той же точке из уравнения непрерывности имеем dN/dt = = — TVdiv V, или 1 dN I dP 1 ОТ i. лг (а 1/(ч = — = —divV F.14) N dt P dt T dt v ; 36 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I (использовано уравнение состояния идеального газа N = Р/Т). Наконец, уравнение сохранения энтропии, ds/dt + Ws = 0, дает ds/dt = 0, или cJLdT_LdP= (б15) Т dt P dt K J где использованы термодинамические формулы (El) - 2l (El) - _i \дт)р ~ т' \дР/т ~ Р (ср — теплоемкость, тоже отнесенная к одной молекуле); вторая из этих формул относится к идеальному газу. Из равенств F.14), F.15) находим \_dT_ = _ldivV ±дР_ = _^ Т dt cv ' Р dt cv (учтено, что для идеального газа ср — cv = 1). Простое вычисление приводит теперь к результату /о (еСГ) — w |^vVT + mvavpVap + ^ — div V|. F.17) Подчеркнем, что до сих пор не делалось никаких специфических предположений о характере температурной зависимости термо- динамических величин; использовалось лишь общее уравнение состояния идеального газа. Для газа же с классическим враще- нием молекул и невозбужденными колебаниями теплоемкость не зависит от температуры и тепловая функция1) w = срТ. F.18) Тогда последний член в F.17) упрощается; приравняв F.17) и F.4), напишем окончательно кинетическое уравнение в виде ; \mvavp - 5ареЩ Va$ = I(X). F.19) В следующих двух параграфах это уравнение будет рассмотрено более подробно в применении к задачам о теплопроводности и вязкости. Напомним, что уже из закона возрастания энтропии следует, что градиент давления (в отсутствие градиентов температуры и скорости) не приводит к возникновению диссипативных про- цессов (ср. VI, § 49). В кинетическом уравнении это требование удовлетворяется автоматически и проявляется в выпадении гра- диента давления из левой части F.19).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кинетическое уравнение для слабо неоднородного газа» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
