Предоставленный самому себе газ, как и всякая замкнутая макроскопическая система, стремится перейти в равновесное со- стояние. Соответственно эволюция неравновесной функции рас- пределения согласно кинетическому уравнению должна сопро- вождаться возрастанием энтропии газа. Покажем, что это дей- ствительно так. Как известно, энтропия идеального газа, находящегося в неравновесном макроскопическом состоянии, описывающемся функцией распределения /, равна S= f fln-dVdT D.1) (см. V, § 40). Дифференцируя это выражение по времени, пишем И = [ d-(fln-)dVdT = - flnf^dVdT. D.2) dt J dtV fJ J dt v } Поскольку установление статистического равновесия в газе осуществляется столкновениями молекул, то возрастание энтро- пии должно быть связано именно со столкновительной частью изменения функции распределения. Изменение же этой функ- ции, связанное со свободным движением молекул, не может изме- нить энтропии газа. Действительно, эта часть изменения функ- ции распределения дается (для газа во внешнем поле U®) пер- выми двумя членами в правой части уравнения Их вклад в производную dS/dt равен +Fi] ('Ч)dvdr- Но интеграл по dV от члена с производной д/дт преобразуется согласно теореме Гаусса в интеграл по поверхности; при интегри- ровании по всему объему газа он обращается в нуль, поскольку за пределами занимаемого газом объема / = 0. Аналогичным образом, член с производной д/др при интегрировании по d3p Я-ТЕОРЕМА 27 преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной поверхности в импульсном пространстве и тоже обращается в нуль. Таким образом, для изменения энтропии остается Ш = -flnf-StfdTdV. D.3) Cut Этот интеграл можно преобразовать с помощью приема, ко- торый мы сформулируем (имея в виду также и дальнейшие при- менения) в общем виде для интеграла j>®st/dr, где (р(Т) — любая функция величин Г. Представив интеграл столкновений в виде C.6), пишем st / dr = J рцг, ri; r, r'j/'/i^r - где для краткости обозначено с/4Г = dTdTi dV dr[. Поскольку интегрирование производится здесь по всем переменным Г, Гх, Г7, Г'1? то можно, не меняя интеграла, произвести любое переобо- значение переменных. Взаимно переобозначив Г, Гх и Г7, Г^ во втором интеграле, получим Переобозначив теперь Г, Г7 <н> Гх, Г'1? взяв полусумму получаю- щихся таким образом интегралов и учтя очевидную симметрию функции w по отношению к двум сталкивающимся частицам, получим формулу преобразования / у>(Г) St / dr = I /(p + w - tp' - rtWf'f^T. D.4) В частности, интеграл J St / dT = 0; представив здесь St / в виде C.7), получим /St/dT = /«/(/'/{ - //i)d4r = 0. D.5) В применении к интегралу D.3) формула D.4) дает ^ = 1 fw'f'f[\n^d4TdV = - [w'fflX\nxd4rdV, dt 2 У J J1 fh 2J JJ где обозначено х = f'f[/ffi- Вычтя из этого выражения полови- ну равного нулю интеграла D.5), перепишем его в виде ^ = 1 fw'fhixlnx-x + tfcftrdV. D.6) 28 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I Функция в скобках в подынтегральном выражении неотрица- тельна при всех х > 0: она равна нулю при х = 1 и возрастает по обе стороны от этой точки. По определению положительны так- же и множители wf, /, Д под знаком интеграла. Таким образом, мы приходим к требуемому результату §>0, D.7) at выражающему собой закон возрастания энтропии (знак равен- ства имеет место в равновесии) г). Обратим внимание на то, что в силу неотрицательности подынтегрального выражения в D.6) (а тем самым и в D.3)) по- ложителен не только весь интеграл D.3) по dT dV, но и интеграл только по dT. Другими словами, столкновения приводят к возра- станию энтропии в каждом элементе объема газа. Это, конечно, не значит, что энтропия вообще возрастает в каждом элементе объема, так как она может переноситься из одного участка в другой за счет свободного движения молекул.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «H-теорема» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
