Применим E2.1) к одномер- ной задаче о надбарьерном отражении — отражению частицы с энергией, превосходящей высоту барьера. В этом случае под qo надо понимать комплексную координату хо «точки останов- ки» , в которой частица меняет направление своего движения на обратное, т. е. комплексный корень уравнения U(х) = Е. Покажем, каким образом в этом случае можно вычислить ко- эффициент отражения также и с большей точностью — вместе с предэкспоненциальным коэффициентом. Мы снова (как и в § 50) должны установить соответствие между волновыми функциями далеко справа (прошедшая волна) и далеко слева от барьера (падающая + отраженная волны). Это легко сделать способом, аналогичным примененному уже в § 47, 50, рассматривая ф как функцию комплексной переменной х. Напишем прошедшую волну в виде / х \ Ф+ = — ехр ^ / Pdx (X - / п J XI (где х\ — какая-либо точка на вещественной оси) и проследим за ее изменением при обходе в верхней полуплоскости по пу- ти С, огибающему (на достаточном удалении) точку поворо- та хо (рис.19); последняя часть этого пути должна проходить целиком в настолько удаленной вле- во области, чтобы вдоль нее по- грешность приближенной (квази- классической) волновой функции падающей волны была меньше ис- _ комой малой величины ф_. 06- Xl ход точки хо приводит к измене- Рис- 19 нию знака корня у/Е — U(x) и по возвращении на вещественную ось функция ф+ перейдет, следовательно, в волну ^_, распростра- няющуюся влево, т.е. в отраженную волну1) .Поскольку ампли- туды падающей и прошедшей волн можно считать совпадаю- щими, искомый коэффициент отражения R определится просто ) Обход же по пути, проходящему под точкой хо (например, просто вдоль самой вещественной оси), переведет функцию ф+ в падающую волну. } 52 ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 241 как отношение квадратов модулей ф_ и R = = exp(--Im fpdxj. E2.2) С После того, как эта формула получена, молено любым обра- зом деформировать путь интегрирования в экспоненте; если превратить его в указанный на рис. 19 путь С", то интеграл сведется к удвоенному интегралу по пути от х\ до xq и мы получим R = хо а(хъх0) = Im Г р(х) dx; E2.3) поскольку на всей вещественной оси функция р(х) вещественна, то выбор х\ несуществен1). Обратим внимание на то, что пред- экспоненциальный множитель в E2.3) оказывается равным еди- нице [В. Л. Покровский, С. К. Саввиных, Ф. Р. Улинич, 1958J). Как уже указывалось, из всех возможных значений xq долж- но быть выбрано то, для которого показатель в E2.3) имеет наименьшее по абсолютной величине значение, причем это зна- чение должно еще быть достаточно большим по сравнению с еди- ницей. (Разумеется, должны рассматриваться лишь точки жо, для которых а > 0, т. е. точки, лежащие в верхней полуплос- кости.) Подразумевается также, что если сама потенциальная энергия U(х) имеет особые точки в верхней полуплоскости, то для них интеграл сг(жх, xq) имеет большие значения3). В против- ном случае именно такая точка определит значение показателя, но предэкспоненциальный коэффициент будет уже не тем, что в E2.3). Последнее условие заведомо нарушается при увеличе- нии энергии Е, если U(x) обращается в бесконечность где-либо ) В некоторых случаях интересны не только амплитудные, но и фазовые соотношения между падающей и отраженной волнами. Эти соотношения характеризуются амплитудой отражения, выражающейся через введенные в § 25 коэффициенты аи/3. С помощью проведенных выше рассуждений легко показать, в частности, что амплитуда отражения падающей слева волны есть )Г / х° \ 1 = —гехр —I Ipdx+pixi) , х\ -л — оо. \-пК /J (Множитель (—г) связан с изменением фазы предэкспоненциального мно- жителя при обходе точки ветвления, ср. §47.) 2) Изложенный вывод этого результата принадлежит Л. Д. Ландау A961). 3) Отметим, что контур С на рис. 19 должен проходить ниже особых точек функции U(x). 242 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ГЛ. VII в верхней полуплоскости: наступает момент, когда точка жо, в которой U = Е, настолько сближается с точкой Жоо, в которой U = ос, что обе дают сравнимый вклад в коэффициент отраже- ния (интеграл а(х00,хо) ^ 1) и формула E2.3) становится непри- менимой. В предельном случае, когда Е настолько велико, что указанный интеграл мал по сравнению с единицей, становится применимой теория возмущений (см. задачу 2)г).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Надбарьерное отражение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
