Другого рода результаты получаются для вероятности пе- рехода в состояния непрерывного спектра, происходящего под влиянием периодического возмущения. Предположим, что в не- который начальный момент времени t = 0 система находится в г-м стационарном состоянии дискретного спектра. Частоту ш периодического возмущения будем предполагать такой, что Ли > Emin - E^\ D2.1) где ЕШт — значение энергии, с которого начинается непрерыв- ный спектр. Из результатов §40 заранее очевидно, что основную роль будут играть состояния непрерывного спектра со значениями энергии Ef в непосредственной близости к «резонансной» энер- гии Ej + fiuj, т. е. такие, для которых разность ujfi — uj мала. По этой лее причине в матричных элементах возмущения D0.8) до- статочно рассматривать только первый член (с близкой к нулю частотой ujfi — со). Подставляя этот член в D0.5) и интегрируя, получим t dfi = — / Vfi(t)dt = —Ffi . D2.2) H J fiyujfi — и) 194 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VI Нижний предел интегрирования выбран таким образом, чтобы при t = 0 было ctfi = 0 в соответствии с поставленным начальным условием. Для квадрата модуля а^ отсюда находим 4 sin — 1 '«'¦I2 = W«w-V <42-3> Легко видеть, что при больших t стоящая здесь функция может быть представлена как пропорциональная t. Для этого замечаем, что имеет место следующая формула: lim ^-^- = S(a). D2.4) Действительно, при а ф 0 написанный предел равен нулю, а при а = 0 имеем ^— = ?, так что предел равен бесконечности. ta Интегрируя же по da в пределах от —ос до +ос (делаем подста- новку at = ?), получим + ОО +ОО 1 f sin2 at 1 1 Г sin2 ? тг J ta2 тг J e — оо Таким образом, функция, стоящая в левой части равенства D2.4), действительно удовлетворяет всем требованиям, опре- деляющим E-функцию. Соответственно этой формуле мы можем написать при боль- ших t или, подставив Hujfi = Ef — Е^ и воспользовавшись тем, что S{ax) = 5(х)/а: Выраж:ение \afi\2duf есть вероятность перехода из первона- чального состояния в состояния, находящиеся в заданном ин- тервале dvf. Мы видим, что при больших t она оказывается пропорциональной истекшему с момента t = 0 промежутку § 42 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ 195 времени. Вероятность лее dwfi перехода в течение единицы вре- мени равна1) dwfi = ^-\Ffi\26(Ef - 4°) - fiu)dvf. D2.5) В соответствии с тем, что и ожидалось, она отлична от нуля лишь для переходов в состояния с энергией Ef = Е^ + Ни. Ес- ли энергетические уровни непрерывного спектра не вырождены, так что под Vj можно понимать значения одной только энергии, то весь «интервал» состояний dvj сводится к одному состоянию с энергией Е = щ +Нш, и вероятность перехода в это состояние есть fl^l2- D2-6) Методически поучителен также и другой способ вывода формулы D2.5), в котором периодическое возмущение пред- полагается включающимся не в дискретный момент t = 0, а медленно нарастает от t = —ос по экспоненциальному зако- ну е^ с положительной постоянной Л, которую затем устрем- ляют к нулю (адиабатическое включение). Соответственно и начальное условие dfi = 0 ставится при этом в момент t = — ос. Матричный элемент возмущения имеет теперь вид Vfi = г^е{^ и вместо D2.2) пишем /[ vfi(t)dt-f °р1Ь-ц)«^ D2J) —oo Отсюда P |2 fi\ (^шJ Вероятность же перехода в единицу времени определяется про- изводной Теперь замечаем, что имеет место формула lim / 2Л л2ч =6(а), D2.8) г) Легко проверить, что при учете опущенного второго члена в D0.8) по- лучились бы дополнительные выражения, которые, будучи поделены на ?, стремятся при t->+oo к нулю. 196 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VI справедливая в том же смысле, что и D2.4). С ее помощью на- ходим, переходя к пределу Л —>• 0: и мы вновь возвращаемся к формуле D2.5).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Переходы под влиянием периодического возмущения» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
