Переходы под влиянием возмущения, действующего в течение конечного времени
Предположим, что возмущение V(t) действует всего лишь в течение некоторого конечного промежутка времени (или же, что V(t) достаточно быстро затухает при t —>> ±оо. Пусть перед началом действия возмущения (или в пределе при t —>• — ос) си- стема находилась в п-м стационарном состоянии (дискретного спектра). В произвольный последующий момент времени состо- яние системы будет определяться функцией к где в первом приближении t "°° t D1.1) = l-1- J Vnndt; § 41 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВОЗМУЩЕНИЯ 187 пределы интегрирования в D0.5) выбраны таким образом, чтобы при t —>> — ос все ajj.n обращались в нуль. По истечении времени действия возмущения (или в пределе t —>• ос) коэффициенты а^п принимают постоянные значения a/cn(oc), и система будет нахо- диться в состоянии с волновой функцией к снова удовлетворяющей невозмущенному волновому уравнению, но отличной от первоначальной функции Ф^'. Согласно общим правилам квадрат модуля коэффициента а/.п(ос) определяет ве- роятность системе иметь энергию Е^ , т.е. оказаться в к-м ста- ционарном состоянии. Таким образом, под влиянием возмущения система может перейти из первоначального стационарного состояния в любое другое. Вероятность перехода из первоначального (г-го) в ко- нечное (/-е) стационарное состояние равна1) + ОО 1 ^2 / ^ dt D1.2) Рассмотрим теперь возмущение, которое, раз возникнув, продолжает затем действовать неограниченно долго (оставаясь, разумеется, все время малым). Другими словами, стремится к нулю при t —>> — ос и к конечному, отличному от нуля, пределу при t —>• ос. Формула D1.2) здесь непосредственно неприменима, так как стоящий в ней интеграл расходится. Эта расходимость, однако, с физической точки зрения несущественна и может быть легко устранена. Для этого напишем, интегрируя по частям: dt = - dt. dt hujfi Значение первого члена на нижнем пределе исчезает, а на верх- нем пределе формально совпадает с коэффициентами разложе- ния в формуле C8.8) (наличие лишнего периодического множи- теля связано просто с тем, что afi — коэффициенты разложения ) Для единообразия, условимся обозначать в дальнейшем (когда речь идет о вероятностях переходов) начальное и конечное состояния соответ- ственно индексами г и /. Кроме того, условимся писать индексы у вероят- ностей перехода именно в порядке /г, в соответствии с порядком, принятым для индексов матричных элементов. 188 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VI полной волновой функции Ф, & Cfi в § 38 — коэффициенты раз- ложения не зависящей от времени функции ф). Поэтому ясно, что его предел при t —>• ос определяет просто изменение пер- воначальной волновой функции Щ ' под влиянием «постоянной части» У(+оо) возмущения и не имеет, следовательно, отноше- ния к переходам в другие состояния. Вероятность же перехода определяется квадратом второго члена и равна wfi = + ОО / at dt D1.3) Полученные формулы справедливы и в том случае, когда пе- реход совершается из состояния дискретного в состояние непре- рывного спектра. Разница состоит лишь в том, что речь идет при этом о вероятности перехода из заданного (г-го) состояния в состояния, находящиеся в интервале значений величин Vj (см. конец § 38) от Vf до Vf + dvf, так что, например, формулу D1.2) надо написать в виде оо dwif = & fvn dt D1.4) Если возмущение V[t) мало меняется за промежутки времени ~ l/u)fi, то значение интеграла в D1.2) или в D1.3) будет очень малым. В пределе при сколь угодно медленном изменении при- ложенного возмущения вероятность всякого перехода с измене- нием энергии (т.е. с отличной от нуля частотой ujfi) стремит- ся к нулю. Итак, при достаточно медленном (адиабатическом) изменении приложенного возмущения система, находившаяся в некотором невырожденном стационарном состоянии, будет про- должать оставаться в том же состоянии (см. также §53). В обратном предельном случае очень быстрого, внезапно- го, включения возмущения производные dVfi/dt обращаются в бесконечность в «момент включения». В интеграле от —f—eluJfit можно тогда вынести из-под знака интеграла сравнительно мед- ленно меняющийся множитель eluJfil:, взяв его значение в этот момент. После этого интеграл сразу берется, и мы получаем «.* = D1.5) Вероятности перехода при внезапных возмущениях могут быть найдены и в тех случаях, когда возмущение не является малым. § 41 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВОЗМУЩЕНИЯ 189 Пусть система находится в состоянии, описывающемся одной из собственных функций щ первоначального гамильтониана Н$. Если изменение гамильтониана происходит внезапно (т. е. за время, малое по сравнению с периодами l/u)fi переходов из дан- ного состояния i в другие), то волновая функция системы не успевает измениться и остается той же, что и до возмущения. Она, однако, уже не будет являться собственной функцией ново- f> / @) г го гамильтониана системы Н, т. е. состояние щ не будет ста- ционарным. Вероятности же Wfi перехода системы в какое-либо из новых стационарных состояний определяются, согласно об- щим правилам квантовой механики, коэффициентами разложе- ния функции щ ' по собственным функциям ipf гамильтониа- на Н: i\))dq 2 D1.6) Покажем, каким образом эта общая формула переходит в формулу D1.5), если изменение гамильтониана V = Н — Hq явля- ется малым. Умножим уравнения ЩфР = Е?Ц°\ НЩ = Efrf соответственно на ф*г и щ , проинтегрируем по dq и вычтем почленно одно из другого. Использовав также свойство самосо- пряженности оператора i7, получим (Ef - Е^ Если возмущение V мало, то в первом приближении мож- но заменить Ef, близким к нему невозмущенным уровнем Е*\ а волновую функцию ipf (в правой части равенства) — соответ- ствующей функцией фг . Тогда получим и формула D1.6) переходит в D1.5).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Переходы под влиянием возмущения, действующего в течение конечного времени» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
