Обратимся теперь к случаю, когда невозмущенный опера- тор Hq имеет вырожденные собственные значения. Будем обо- значать посредством фп \ф^, ,... собственные функции, от- носящиеся к одному и тому же собственному значению энер- гии Еп . Выбор этих функций, как мы знаем, неоднозначен — вместо них можно выбрать любые s (s — кратность вырожде- ния уровня Еп ) независимых линейных комбинаций этих же функций. Он перестает, однако, быть произвольным, если мы подчиним волновые функции требованию, чтобы их изменение под влиянием приложенного малого возмущения было малым. 178 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VI Пока что будем подразумевать под фп \Фпг '••• некоторые произвольно выбранные невозмущенные собственные функции. Правильные функции нулевого приближения — линейные комби- нации вида Коэффициенты в этих комбинациях определяются, вместе с по- правками первого приближения к собственным значениям, сле- дующим образом. Выпишем уравнения C8.4) с к = п,?т/,..., подставив в них в первом приближении Е = Еп + Е^\ причем для величин с& @) достаточно ограничиться нулевыми значениями сп = сп , сп< = = сп, ,...; ст = 0 при га ф п, п7, ... Тогда получим ,с@) или " "' Мп) = ®, C9.1) где п, п7 пробегают все значения, нумерующие состояния, от- носящиеся к данному невозмущенному собственному значе- нию Еп '. Эта система однородных линейных уравнений для @) g. величин сп имеет отличные от нуля репгения при условии об- ращения в нуль определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных. Таким образом, получаем уравнение \Vnn,-EW6™'\ = 0. C9.2) Это уравнение — s-степени по .Ел1) и имеет, вообще говоря, s раз- личных вещественных корней. Эти корни и представляют собой искомые поправки первого приближения к собственным значе- ниям. Уравнение C9.2) называют секулярным1). Отметим, что сумма его корней равна сумме диагональных матричных элемен- тов Vnn, Vn'nr,... —это есть коэффициент при i^1M в уравне- нии. Подставляя поочередно корни уравнения C9.2) в систему C9.1) и решая последнюю, найдем коэффициенты сп и таким образом определим собственные функции нулевого приближе- ния. 1) Или вековым (французское слово siecle — век); название заимствовано из небесной механики. §39 СЕКУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ 179 В результате возмущения первоначально вырожденный уро- вень энергии перестает, вообще говоря, быть вырожденным (корни уравнения C9.2), вообще говоря, различны); как гово- рят, возмущение «снимает» вырождение. Снятие вырождения может быть как полным, так и частичным (в последнем слу- чае после наложения возмущения остается вырождение меньшей кратности, чем первоначальная). Может оказаться, что по тем или иным причинам все мат- ричные элементы для переходов внутри одной группы взаимно вырожденных состояний п,?т/,... особенно малы (или даже во- обще равны нулю). Тогда может иметь смысл вместе с учетом в первом порядке матричных элементов Vnni учесть в более вы- соких порядках матричные элементы Vnm (га ф п, п', ...) для переходов в состояния с другими энергиями. Сделаем это с уче- том матричных элементов Vmn во втором порядке. В уравнении C8.4) с к = п в левой части равенства полагаем Е = Еп ']+Е^ (сохраняем обозначение Е^ для поправки к энер- гии в рассматриваемом приближении), а вместо сп пишем Сп . Имея в виду, что с\п = 0 для всех т ф п, п7, ..., имеем к?A)с@) _ Vl/ cW + Vl/ /c@) 'п' т п' Уравнения же C8.4) с к = га ф п,п',... дают, с точностью до членов первого порядка, f бЧ°) _ т^(о) \ _A) _ \^т/ J°) К-^п -^т )ст — / j vmn'cn' •> п' откуда „A) _ v^ у™' с(°) „@) ?L/n п' Подставив это в C9.3), находим @) (у , V- VnmVmn' Сп> \Vnn> + 2 Эта система уравнений заменяет теперь систему C9.1); усло- вие их совместности снова приводит к секулярному уравнению, отличающемуся от C9.2) заменой Vnn, -»> Vnn, + ? ^f^y. C9.4)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Секулярное уравнение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
