Введем вместо параметра Е и пере- менной г новые величины: п=-==, р=—. C6.3) При отрицательных энергиях п есть вещественное положитель- ное число. Уравнение C6.2) после подстановки новых вели- чин C6.3) приобретет вид R» + 2R> + Г_ 1 + п _ /([+1I R = 0 р I 4 р р ] (штрихи означают дифференцирование по р). При малых р решение, удовлетворяющее необходимым усло- виям конечности, пропорционально р1 (см. C2.15)). Для выяс- нения асимптотического поведения R при больших р опускаем в C6.4) члены с 1/р и 1/р2 и получаем уравнение R" = Л/4, откуда R = е р'2. Интересующее нас исчезающее на бесконечно- сти решение, следовательно, при больших р ведет себя, как е~р<2. Ввиду этого естественно сделать подстановку R = ple-p/2uj(p), C6.5) после чего уравнение C6.4) принимает вид риз" + B/ + 2 - p)J + (п - I - 1)ш = 0. C6.6) Решение этого уравнения должно расходиться на бесконечно- сти не быстрее конечной степени р, а при р = 0 должно быть единицами. Атомная единица длины Н2/те2 = 0,529 • 10"8 см (так называемый боровский радиус). Атомная единица энергии равна те4/Н2 = 4,36 • КГ11 эрг = 27,21 эВ (половину этой величины называют ридбергом, Ry). Атомная единица за- ряда есть е = 4,80 • 10~10 эл.-стат. единиц. Переход в формулах к атомным единицам производится, формально, положив е=1,га = 1,Я=1. При а = Ze2 кулоновы единицы отличаются от атомных. 156 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ ГЛ. V конечным. Удовлетворяющее последнему условию решение есть вырожденная гипергеометрическая функция со = F(-n + I + 1, 2/ + 2, р) C6.7) (см. § d математических дополненийI). Решение, удовлетворя- ющее условию на бесконечности, получится лишь при целых от- рицательных (или равном нулю) значениях (—п + I + 1), когда функция C6.7) сводится к полиному степени (п — I — 1). В против- ном случае она расходится на бесконечности, как ер (см. (d.14)). Таким образом, мы приходим к выводу, что число п должно быть целым положительным, причем при данном / должно быть п^1 + 1. C6.8) Вспоминая определение C6.3) параметра п, находим Я = -Л, га = 1,2,... C6.9) ATI Этим решается задача об определении уровней энергии дис- кретного спектра в кулоновом поле. Мы видим, что имеется бес- конечное множество уровней между нормальным уровнем Е\ = = —1/2 и нулем. Интервалы между каждыми двумя последо- вательными уровнями уменьшаются с увеличением щ уровни сгущаются по мере приближения к значению ?7 = 0, при кото- ром дискретный спектр смыкается с непрерывным. В обычных единицах формула C6.9) имеет следующий вид2): Е=-5?- <36-10> Целое число п называется главным квантовым числом. Ра- диальное же квантовое число, определенное в §32, равно пг = п — I — 1. При заданном значении главного квантового числа число / может принимать значения / = 0,1,...,п-1, C6.11) всего п различных значений. В выражение C6.9) для энергии входит только число п. Поэтому все состояния с различными /, 1) Второе решение уравнения C6.6) расходится при р —> 0, как р 2l г. 2) Формула C6.10) была получена впервые Н. Бором в 1913 г. до создания квантовой механики. В квантовой механике она была выведена В. Паули в 1926 г. матричным методом, а через несколько месяцев— Шредингером с помощью волнового уравнения. § 36 КУЛОНОВО ПОЛЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ) 157 но одинаковыми п обладают одинаковой энергией. Таким об- разом, каждое собственное значение оказывается вырожденным не только по магнитному квантовому числу т (как при всяком движении в центрально-симметричном поле), но и по числу I. Это последнее вырождение (о нем говорят, как о случайном или кулоновом) специфично именно для кулонова поля. Каждому данному значению / соответствует 2/ + 1 различных значений т, поэтому кратность вырождения n-го уровня энергии равна п-1 ^B/ + 1)=п2. C6.12) /=о Волновые функции стационарных состояний определяются формулами C6.5), C6.7). Вырожденная гипергеометрическая функция с целыми значениями обоих параметров совпадает, с точностью до множителя, с так называемыми обобщенными полиномами Лагерра (см. §d математических дополнений). По- этому Rnl = const-Je Радиальные функции должны быть нормированы условием оо / R2nlr2dr = 1. о Их окончательный вид следующийх): (n-Z-1)! r/n/2r\l 21+1 BЛ [(n+Z)!]3 \nJ n+l \n) 1+2 B/+1)! r^-Br)le-r/nF(-n+l+l, 21+2, -) C6.13) —/ —1)! V п / ) Приведем в явном виде несколько первых функций Rni: _2 Af з 27 Д31 = ^w r-e r r(l— -), R32 = сг \ R32 = 27^6 V 6/ 81^30 158 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ ГЛ. V (вычисление нормировочного интеграла см. §f, интеграл (f.6)г). Вблизи начала координат Rni имеет вид 4WV(S,- C614> На больших расстояниях Rnl « (-IO1'1-1 ^ , 2" rn-1e~r/n. C6.15) nl v ; nn+1/(n + l)\(nll)\ v ; Волновая функция Riq нормального состояния затухает экспо- ненциально на расстояниях порядка г ~ 1, т.е. в обычных еди- ницах, г ~ Н2/та. Средние значения различных степеней г вычисляются по формуле оо О Общая формула для гк может быть получена с помощью фор- мулы (f.7). Приведем здесь несколько первых величин гк (с по- ложительными и отрицательными к): г = -[Зп2 - /(/ + 1)], ^ = ^[5п2 + 1 - 3/(/ + 1)], 2 1 2 1 C6.16)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Дискретный спектр» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
