Заданием значений / и т волновая функция частицы не опре- деляется полностью. Это видно уже из того, что выражения для операторов этих величин в сферических координатах содер- жат только углы в и (/?, так что их собственные функции могут содержать произвольный, зависящий от г множитель. Мы бу- дем рассматривать здесь только характерную для собственных функций момента угловую часть волной функции. Обозначим ее как Y/m@, (р) и нормируем условием: J\Ylm\2do=l (do = sin в d6 dip — элемент телесного угла). Как показывают дальнейшие вычисления, задача об опреде- лении общих собственных функций операторов 1 и lz допускает разделение переменных в и <р, и эти функции можно искать в виде Ylm = Фт(<р)в1т(е), B8.1) где Фш (</?) — собственные функции оператора lz, определяемые формулой B7.3). Поскольку функции Фт уже нормированы условием B7.4), то О/ш должны быть нормированы согласно условию \@lm\2 sin6d6 = 1. B8.2) о Функции У\ш с различными / или т автоматически оказыва- ются взаимно ортогональными: 2тг тг УутЪт sin eded<p = Su,Smm,, B8.3) о о 2тг тг j j 122 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. IV как собственные функции операторов момента, соответствую- щие различным собственным значениям. В отдельности орто- гональны также и функции Фт((р) (см. B7.4)) как собствен- ные функции оператора lz, соответствующие различным его соб- ственным значениям т. Функции лее ®im(9) сами по себе не яв- ляются собственными функциями какого-либо из операторов мо- мента; они взаимно ортогональны при различных /, но не при различных т. Наиболее прямой способ вычисления искомых функций есть непосредственное решение задачи об отыскании собственных функций оператора 1 , написанного в сферических координатах (формула B6.16)). Уравнение гф = 12ф гласит: sinOdO Подставив в это уравнение ф в виде B8.1), получим для функ- ции О/ш уравнение ) ^ + 1A + l)@lm = 0. B8.4) sin в dO \ dO J sin 0 Это уравнение хорошо известно из теории шаровых функций. Оно имеет решения, удовлетворяющие условиям конечности и однозначности, при целых положительных значениях / ^ |т|, в согласии с полученными выше матричным методом собствен- ными значениями момента. Соответствующие решения представ- ляют собой так называемые присоединенные полиномы Лежанд- ра P/m(cos^) (см. §с математических дополнений). Нормируя ре- шение условием B8.2), получим1) ). B8.5) Здесь предполагается, что m ^ 0. Для отрицательных m опре- делим @im соотношением ®l,-\m\ = (-1Г&1\т\, B8.6) т.е. @im с m < 0 дается формулой B8.5), в которой надо напи- \\ () сать \т вместо т и опустить множитель (—1) х) Выбор фазового множителя, разумеется, не определяется условием нор- мировки. Определение, которым мы будем пользоваться в этой книге, наи- более естественно с точки зрения общей теории сложения моментов: оно отличается от обычно применяемого множителем il. Преимущества такого выбора будут очевидны из примеч. на с. 278, 527, 533. § 28 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ МОМЕНТА 123 Таким образом, собственные функции момента оказывают- ся, с математической точки зрения, определенным образом нор- мированными сферическими функциями. Выпишем, для удоб- ства дальнейших ссылок, полное их выражение, учитывающее все указанные определения: Ylm[0,<p) = (-1)<™+Н)/2< B8.7) В частности, \p±± B8.8) Очевидно, что функции, отличающиеся знаком т, связаны друг с другом соотношениями (-l)l-mYlt.m = Yl*m. B8.9) При 1 = 0 (так что и т = 0) шаровая функция сводится к постоянной. Другими словами, волновые функции состояний частицы с равным нулю моментом зависят только от г, т. е. об- ладают полной шаровой симметрией— в соответствии со сде- ланным в § 27 общим утверждением. При заданном т значения /, начинающиеся с |т|, нумеру- ют последовательные собственные значения величины I2 в по- рядке их возрастания. Поэтому на основании общей теоремы о нулях собственных функций (§21) мы приходим к выводу, что функция О/ш обращается в нуль при I — \т\ различных значени- ях угла 9] другими словами, она имеет в качестве узловых ли- ний / — \т\ «кругов широт» шара. Что касается полных угловых функций, то, если выбрать их с вещественными множителями cosmcp или smmcp вместо e±l\mW^ ? Они будут иметь в качестве узловых линий еще \т\ «меридианных кругов»; общее число уз- ловых линий будет, таким образом, равно /. Наконец, покажем, каким образом можно вычислить функ- ции в/ш матричным методом. Это делается аналогично тому, как были вычислены в § 23 волновые функции осциллятора. Ис- ходим из равенства B7.8) Z+У// = 0. Воспользовавшись выраже- нием B6.15) для оператора Z+ и подставляя У„ = J Z7T ^Каждая такая функция соответствует состоянию, в котором lz не име- ет определенного значения, а может иметь, с равной вероятностью, значе- ния ±га. 124 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. IV получаем для г)// уравнение откуда @ц = const • sin в. Определив постоянную из условия нор- мировки, получим B8.10) Далее, используя B7.12), пишем -т)A + т+ 1)У/Ш. Повторное применение этой формулы дает /(I -m)\ v _ 1 Ъ-ту yW^v 1т~7Ш. и' Вычисление правой части равенства легко производится с помо- щью выражения B6.15) для оператора /_, согласно которому Т rff#Wm^l J(m-l)(^n; l-ffl/i d ( ? „• m q\ I \J 1G Ic I — о olll U \J bill "y* dcos 0 Повторное применение этой формулы дает ?-"V'?>eH = eim* sin" в ***"" (sin* б • ви). (c/cos^j Наконец, используя эти соотношения и выражение B8.10) для в//, получим формулу 21 совпадающую с B8.5). § 29. Матричные элементы векторов Рассмотрим снова замкнутую систему частиц1), и пусть / есть любая характеризующая ее скалярная физическая вели- чина, а /—соответствующий этой величине оператор. Всякий 1) Все результаты этого параграфа справедливы и для частицы в централь- но-симметричном поле (вообще всегда, когда имеет место сохранение пол- ного момента системы). § 29 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРОВ 125 скаляр инвариантен по отношению к повороту системы коорди- нат. Поэтому скалярный оператор / не меняется под влияни- ем операции поворота, т. е. коммутирует с оператором поворота. Но мы знаем, что оператор бесконечно малого поворота с точ- ностью до постоянного множителя совпадает с оператором мо- мента, так что ^ ^ {/,L} = 0. B9.1) Из коммутативности / с оператором момента следует, что мат- рица величины / по отношению к переходам между состояния- ми с определенными значениями L и М диагональна по этим индексам. Более того, поскольку задание числа М определя- ет лишь ориентацию системы по отношению к координатным осям, а значение скалярной величины от этой ориентации во- обще не зависит, то можно утверждать, что матричные элемен- ты (п'LM\f\nLM) не зависят от значения М (буквой п условно обозначена совокупность всех остальных, помимо L и М, кван- товых чисел, определяющих состояние системы). Формальное доказательство этого утверждения можно получить, воспользо- вавшись коммутативностью операторов / и L+: fL+ - L+f = 0. B9.2) Напишем матричный элемент этого равенства для перехода n,L,M —>> n',L,M + 1. Учитывая, что матрица величины L+ имеет только элементы с n,L,M —>• n,L,M + 1, находим (n', L, М + l|/|n, L,M + l)(n, L,M + l|L+|n, L, M) = = (ri, L,M + l|L+|n', L, M)(nf, L, M\f\n, L, M), и поскольку матричные элементы L+ не зависят от индекса п, то (п7, L,M + l|/|n, L, М + 1) = (п7, L, M\f\n, L, М), B9.3) откуда следует, что вообще все (?т/, L, M|/|n, L, М) с различны- ми М (и одинаковыми остальными индексами) равны между собой. Если применить этот результат к самому гамильтониану, то мы получим известную уже нам независимость энергии ста- ционарных состояний от М, т.е. BL + 1)-кратное вырождение энергетических уровней. Пусть, далее, А —некоторая векторная физическая величи- на, характеризующая замкнутую систему. При повороте систе- мы координат (в частности, бесконечно малом повороте, т. е. 126 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. IV при воздействии оператора момента) компоненты вектора пре- образуются друг через друга. Поэтому и в результате коммути- рования операторов Li с операторами А{ должны получиться вновь компоненты того же вектора А{. Какие именно — мож- но найти, замечая, что в частном случае, когда А есть ради- ус-вектор частицы, должны получиться формулы B6.4). Таким образом, находим правила коммутации: {Li,Ak} = ieiklAl. B9.4) Эти соотношения позволяют получить ряд результатов относительно формы матриц компонент вектора А (М. Борн, В. Гейзенберг, П. Иордан, 1926). Прежде всего оказывается воз- можным найти правила отбора, определяющие, для каких пере- ходов матричные элементы могут быть отличны от нуля. Мы, однако, не станем приводить здесь соответствующих, довольно громоздких, вычислений, поскольку в дальнейшем выяснится (§ 107), что эти правила являются в действительности непосред- ственным следствием общих трансформационных свойств век- торных величин и могут быть получены из них по существу без всяких вычислений. Здесь же мы приведем эти правила без вывода. Матричные элементы всех компонент вектора могут быть от- личны от нуля только для таких переходов, в которых момент L меняется не более чем на единицу: L->L,L±1. B9.5) Кроме того, имеет место дополнительное правило отбора, запре- щающее переходы между всякими двумя состояниями с L = 0; это правило является очевидным следствием полной сфериче- ской симметрии состояний с равным нулю моментом. Правила отбора по проекции момента М различны для раз- ных компонент вектора. Именно, могут быть отличны от нуля матричные элементы для переходов со следующими изменения- ми значения М: М —>> М + 1 для А+ = Ах + гАу, М -» М - 1 для Л_ = Az - гАу, B9.6) М -» М для Az. Далее, оказывается возможным определить в общем виде зависимость матричных элементов вектора от числа М. Эти важные, часто используемые формулы мы приведем здесь то- же без вывода, поскольку и они являются в действительности частным случаем более общих (относящихся к любым тензор- ным величинам) соотношений, которые будут получены в § 107. § 29 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРОВ 127 Отличные от нуля матричные элементы величины Az опре- деляются следующими формулами: n'LM\Az\nLM) = уЛД-Ь i- J-Д^-Ь -I- L) ,L-1), B9.7) Здесь символ (n'L'\\A\\\nL) обозначает так называемые приведенные матричные элемен- ты— величины, не зависящие от квантового числа М1). Они связаны друг с другом соотношениями (riL'\\A\\nL) = (nL\\A\\riL')*, B9.8) непосредственно следующими из эрмитовости оператора Az. Через те же приведенные элементы выражаются матрич- ные элементы величин А- и А+. Отличные от нуля матричные элементы Л_ равны (n',L,M-l\A.\nLM) = {ri,L,M-l\A-\n,L-l,M) = T 1\/T\ i,L-l), B9.9) Матричные элементы А+ не требуют особых формул, поскольку в силу вещественности Ах и Ау имеем (riL'M'\A+\nLM) = (nLM\A_\ri L1 И1)*. B9.10) г) Появление в формулах B9.7), B9.9) зависящих от L знаменателей соот- ветствует общим обозначениям, введенным в § 107. Целесообразность этих знаменателей проявляется, в частности, в простом виде, который принимает формула B9.12) для матричных элементов скалярного произведения двух векторов. Символ приведенного матричного элемента надо понимать как единое це- лое (в отличие от того, что было сказано в связи с символом матричного элемента A1.17)). 128 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. IV Отметим формулу, выражающую матричные элементы ска- ляра АВ через приведенные матричные элементы двух вектор- ных величин А и В. Вычисление удобно производить, представив оператор АВ в виде АВ = -{А+В- + А-В+) + AZBZ. B9.11) Матрица величины АВ (как и всякого скаляра) диагональна по L и М. Вычисление с помощью B9.7)-B9.9) приводит к ре- зультату: (n'LM\AB\nLM) = ^ Y, (n'L\\A\\n"L")(n"L"\\B\\nL), n",L" B9.12) где L" пробегает значения L, L ± 1. Выпишем, для справок, приведенные матричные элементы для самого вектора L. Из сравнения формул B9.9) и B7.12) на- ходим (L\\L\\L) = / (L-1\\L\\L) = {L\\L\\L-1) = O. B9.13) Часто встречающейся в применениях величиной является единичный вектор п в направлении радиуса-вектора частицы; найдем его приведенные матричные элементы. Для этого доста- точно вычислить, например, матричные элементы от nz = cos 9 при равной нулю проекции момента: т = 0. Имеем 7Г (/- l,0|nz|/0) = / 6*_ljO cos в- в/о sin 9d6 о с функциями в/о из B8.11). Вычисление интеграла приводит к результатуг) (Z-l,O|nJZO) = й v/BZ-l)BZ + l) Матричные же элементы для переходов / —>> / равны нулю (как и для всякого полярного вектора, относящегося к отдельной ча- стице—см. ниже C0.8)). Сравнение с B9.7) дает теперь (/ - 1||п||/) = -(/||п||/ - 1) = iVl, (l\\n\\l) = 0. B9.14)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Собственные функции момента» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
