В классической механике скорость частицы v связана с ее импульсом соотношением р = mv. В квантовой механике, как и следовало ожидать, такая же связь имеет место между соот- ветствующими операторами. В этом легко убедиться, вычислив оператор v = г по общему правилу дифференцирования опера- торов по времени (9.2): v= %-(Hy-yH). Воспользовавшись выражением A7.5) для Н и формулой A6.5), г) Предполагается, что потенциальная энергия U не зависит явно от вре- мени — система либо замкнута, либо находится в постоянном (не магнитном) поле. 82 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ. III получим v = p/m. A9.1) Такие же соотношения будут, очевидно, иметь место и между собственными значениями скорости и импульса и между их сред- ними значениями в любом состоянии. Скорость, как и импульс частицы, не может иметь опреде- ленного значения одновременно с ее координатами. Но скорость, умноженная на бесконечно малый элемент времени dt, опреде- ляет смещение частицы за время dt. Поэтому факт несущество- вания скорости одновременно с координатами означает, что если частица находится в определенной точке пространства в некото- рый момент времени, то она не будет иметь определенного поло- жения уже в следующий бесконечно близкий момент времени. Отметим полезную формулу для оператора / производной по времени от некоторой величины /(г), являющейся функцией ра- диуса-вектора частицы. Имея в виду, что / коммутативно с /7 (г), находим а с помощью A6.4) имеем и находим искомое выражение 7=^(pV/ + V/-p). A9.2) Далее, найдем оператор ускорения. Имеем ? = Цт - v#) = —ЛНр- рй) = -i-(uf> - ри). п тп та Воспользовавшись формулой A6.4), находим mv = - W. A9.3) Это операторное уравнение по форме в точности совпадает с уравнением движения (уравнением Ньютона) классической ме- ханики. Интеграл J|\I/|2G?y, взятый по некоторому конечному объе- му V, представляет собой вероятность нахождения частицы в этом объеме. Вычислим производную от этой величины по вре- мени. Имеем dt J ' dt dt § 19 ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА 83 Подставив сюда и использовав тождество [ Щ2вУ = - f divjdV, Ег* + Ф*рФ). A9.4) получим d_ dt где j обозначает векторх) iH 1 2га 2га Интеграл от divj может быть преобразован, согласно теоре- ме Гаусса, в интеграл по замкнутой поверхности, окружающей объем V: 1 Г Г A9.5) Отсюда видно, что вектор j может быть назван вектором плот- ности потока вероятности или просто плотностью потока. Интеграл от этого вектора по поверхности есть вероятность то- го, что в течение единицы времени частица пересечет эту по- верхность. Вектор j и плотность вероятности |Ф|2 удовлетворяют уравнению A9.6) at аналогичному классическому уравнению непрерывности. Волновая функция свободного движения— плоская волна A7.9) — может быть пронормирована так, чтобы она описыва- ла поток частиц с равной единице плотностью (поток, в котором через единичную площадку его поперечного сечения проходит в среднем по одной частице в единицу времени). Такая функция A9.7) где г> —скорость частицы. Действительно, подставив ее в A9.4), получим j = р/тш;, т.е. единичный вектор в направлении дви- жения. г) Если представить ф в виде |^|его:, то j= -|Vf grade*. A9.4a) га 84 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ. III Полезно показать, каким образом непосредственно из урав- нения Шредингера следует взаимная ортогональность волновых функций состояний с различной энергией. Пусть фт и фп — две такие функции; они удовлетворяют уравнениям ft1 -—Афт 2га Умножим первое из них на ^*, а второе—на фт и вычтем почленно друг из друга; это дает Если теперь проинтегрировать обе части уравнения по всему пространству, то правая часть, будучи преобразована по теореме Гаусса, обратится в нуль, и мы получим (Ет — Еп) откуда, ввиду предполагаемого Еш ф Еп, следует искомое соот- ношение ортогональности
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Плотность потока» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
