Выведем правила коммутации между операторами импуль- са и координат. Поскольку результат последовательного диффе- ренцирования по одной из переменных ж, у, z и умножения на другую из них не зависит от порядка этих операций, то РхУ-УРх = 0, pxz-zpx = 0 A6.1) и аналогично для ру, pz. Для вывода правила коммутации рх с х пишем (рхх - хрх)ф = -гй—{хф) + ihx— = -Цуф. дх дх Мы видим, что результат воздействия оператора рхх — хрх сво- дится к умножению функции на — iH; то же самое относится, конечно, к коммутации ру с у и pz с z. Таким образом, имеем1) рхх — хрх = —гЯ, руу — уру = —гЯ, pzz — zpz = — iH. A6.2) Все соотношения A6.1) и A6.2) можно записать вместе в виде PiXk - xkpi =-iH5ik, i,k = x,y,z. A6.3) Прежде чем перейти к выяснению физического смысла этих соотношений и следствий из них, напишем две полезные для дальнейшего формулы. Пусть /(г) — некоторая функция коор- динат, тогда р/(г) - /®p = -iKVf. A6.4) Действительно, (р/ - 1р)Ф = -ih\y(frp) - /vv] = -iwvf. Аналогичное соотношение имеет место для коммутатора г с функцией оператора импульса: /(р)г-г/(р) = -гй|?. A6.5) Его можно вывести так же как A6.4), если производить вычис- ления в импульсном представлении, воспользовавшись для опе- раторов координат выражением A5.12). Соотношения A6.1) и A6.2) показывают, что координата ча- стицы вдоль одной из осей может иметь определенное значение одновременно с компонентами импульса по двум другим осям; координата же и компонента импульса вдоль одной и той же оси х) Эти соотношения, открытые в матричной форме Гейзенбергом в 1925 г., послужили отправной точкой в создании квантовой механики. § 16 СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 71 не существуют одновременно. В частности, частица не может находиться в определенной точке пространства и в то лее время иметь определенный импульс р. Предположим, что частица находится в некоторой конечной области пространства, размеры которой вдоль трех осей порядка величины Аж, Ay, Az. Пусть, далее, среднее значение импуль- са частицы есть ро- Математически это означает, что волновая функция имеет вид ф = п(г)егр°г/ , где и(г)— функция, заметно отличная от нуля только в указанной области пространства. Разложим функцию ф по собственным функциям операто- ра импульса (т.е. в интеграл Фурье). Коэффициенты а(р) этого разложения определяются интегралами A5.10) от функций вида и(г)ег(ро~р)г' . Для того чтобы такой интеграл был заметно от- личен от нуля, периоды осциллирующего множителя ег(ро~р)г/^ должны быть не малыми по сравнению с размерами Аж, Ay, Az области, в которой отлична от нуля функция и(г). Это значит, что а(р) будет заметно отличным от нуля лишь для значений р таких, что (рож — рх)Ах/Н < 1,... Поскольку |а(р)|2 определяет вероятность различных значений импульса, то интервалы значе- ний рх, ру, pz, в которых а(р) отлично от нуля, — не что иное, как те интервалы значений, в которых могут оказаться компоненты импульса частицы в рассматриваемом состоянии. Обозначая эти интервалы через Арх, Ару, Apz, имеем, таким образом, АрхАх ~ h, АруАу ~ h, ApzAz ~ П. A6.6) Эти соотношения неопределенности были установлены Гейзен- бергом в 1927 г. Мы видим, что чем с большей точностью известна коорди- ната частицы (т.е. чем меньше Аж), тем больше неопределен- ность Арх в значении компоненты импульса вдоль той же оси, и наоборот. В частности если частица находится в некоторой строго определенной точке пространства (Аж = Ay = Az = 0), то Арх = Ару = Apz = ос. Это значит, что все значения им- пульса при этом равновероятны. Наоборот, если частица имеет строго определенный импульс р, то равновероятны все ее поло- жения в пространстве (это видно и непосредственно из волновой функции A5.8), квадрат модуля которой не зависит вовсе от ко- ординат) . Если характеризовать неопределенности координат и им- пульсов средними квадратичными флуктуациями 8х = \J{x - жJ, 5рх = у(рх - РхJ, 72 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ГЛ. II то можно дать точную оценку наименьшего возможного значе- ния их произведения (Н. Weyl). Рассмотрим одномерный случай — пакет с волновой функци- ей ф(х), зависящей только от одной координаты; предположим для простоты, что средние значения х и рх в этом состоянии равны нулю. Исходим из очевидного неравенства оо ахф -\—- dx dx ^ О, где а — произвольная вещественная постоянная. При вычисле- нии этого интеграла замечаем, что Г х2\ф\2(!х = EхJ, х-^—ф + хф —- ) dx = / x-[-LL- dx = - / \ф\ dx = —1, dx dx J J dx J и получаем Для того чтобы этот квадратичный (по а) трехчлен был поло- жительным при любых значениях а, его дискриминант должен быть отрицательным. Отсюда получаем неравенство SxSpx ^ H/2. A6.7) Наименьшее возможное значение произведения равно Н/2. Это значение достигается в волновых пакетах, описываемых функциями вида Bт) где ро и $х — постоянные. Вероятности различных значений ко- ординаты в таком состоянии |яЛ|2 — ехр(-- т. е. распределены вокруг начала координат (среднее значение х = 0) по закону Гаусса со средней квадратичной флуктуаци- ей 8х. Волновая функция в импульсном представлении ^j<j § 16 СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 73 Вычисление интеграла приводит к выражению вида а(рх) = const • ехр ( - -—-^-^—^- 1. Распределение вероятностей значений импульса, |а(рж)|2, то- же является гауссовым вокруг среднего рх = ро и со средней квадратичной флуктуацией 5рх = Н/25х, так что произведение 6рх6х имеет как раз значение И/2. Наконец, выведем еще одно полезное соотношение. Пусть / и g — две физические величины, операторы которых удовлетво- ряют правилу коммутации где д— оператор некоторой физической величины с. В правой части равенства введен множитель Н в соответствии с тем, что в классическом пределе (т. е. при Н —>> 0) все вообще операторы физических величин сводятся к умножению на эти величины и коммутативны друг с другом. Таким образом, в «квазиклассиче- ском» случае можно в первом приближении правую часть равен- ства A6.9) считать равной нулю. В следующем же приближении можно заменить оператор с* оператором простого умножения на величину с. Тогда получится ?g-g?= ~inc- Это равенство в точности аналогично соотношению рхх — хрх = = — ih с той лишь разницей, что вместо постоянной Н в нем сто- ит величина Не1). В связи с этим по аналогии с соотношени- ем АхАрх ~ И мы приходим к выводу, что в квазиклассическом случае для величин /, g имеет место соотношение неопределен- ности AfAg~Hc. A6.10) В частности, если одной из величин является энергия (/ = Д"), а оператор другой (g) не зависит явно от времени, то, соглас- но (9.2), с = g и соотношение неопределенности в квазикласси- ческом случае AEAg - hg. A6.11)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Соотношения неопределенности» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
