Матричные элементы одной и той же физической величи- ны могут определяться по отношению к различным совокупно- стям волновых функций. Это могут быть, например, волновые функции стационарных состоянии, описывающихся различны- ми наборами физических величин, или волновые функции ста- ционарных состояний одной и той же системы, находящейся в различных внешних полях. В связи с этим возникает вопрос о преобразовании матриц от одного представления к другому. Пусть ipn(q) и ipfn(q) (п = 1,2,...) —две полные системы орто- нормированных функций. Они связаны друг с другом некоторым линейным преобразованием m^m, A2-1) представляющим собой просто разложение функций iprn по пол- ной системе функций фп. Это преобразование можно записать в операторном виде Ф'п = S^n. A2.2) Оператор S должен удовлетворять определенному условию, для того чтобы обеспечить ортонормированность функций ф'п, если таковыми являются функции фп. Действительно, подста- вив A2.2) в условие fipf^fndq = 5mn и учитывая определение транспонированного оператора C.14), получим = J n dq = S 58 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ГЛ. II Для того чтобы это равенство имело место при всех т,п, должно быть S*S =1, или С* = С+ — С (~\9 Ъ\ т. е. обратный оператор совпадает с сопряженным. Операторы, обладающие таким свойством, называют унитарными. В силу этого свойства преобразование фп = S~1ipfn, обратное преобразо- ванию A2.1), дается формулой 'птФт- A2-4) Написав равенства S^S = 1 или SS+ = 1 в матричном виде, получим условия унитарности в виде Ее* с, _ я (л 9 К\ °lm°ln — итп yi^.oj I ИЛИ V^ с* с 7 _ х ^19^^ 2_^От1°п1 — Vmn- l^lZ.o; I Рассмотрим теперь какую-либо физическую величину / и на- пишем ее матричные элементы в «новом» представлении, т. е. по отношению к функциям ф'п. Они даются интегралами < dq = j{S*rm)USiPn) dq = dq = I rJ-lfS^n dq. Отсюда видно, что матрица оператора / в новом представлении совпадает с матрицей оператора f = 5/5 A2.7) в старом представленииг). х) Если {/,g} = —гfie есть правило коммутации двух операторов / и g, то после преобразования A2.7) получим {/',g'} = —гЯс7, т.е. правило остается прежним. В примеч. на с. 46 было отмечено, что <2 есть квантовый аналог классической скобки Пуассона [/,g]. Но в классической механике скобки Пуассона инвариантны по отношению к каноническим преобразованиям пе- ременных (обобщенных координат и импульсов) — см. I, § 45. В этом смысле можно сказать, что унитарные преобразования в квантовой механике игра- ют роль, аналогичную роли канонических преобразований в классической механике. § 12 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦ 59 Сумму диагональных элементов матрицы называют ее сле- дом и обозначают как Sp/1): nn. A2-8) Отметим прежде всего, что след произведения двух матриц не зависит от порядка множителей Sp(/g) = Sp(g/). A2.9) Действительно, по правилу умножения матриц имеем Sp(/g) = YY1 fnkgkn = Yl Yl Sknfnk = Sp(g/). п к к п Аналогичным образом легко убедиться в том, что для произ- ведения нескольких матриц след не меняется при циклической перестановке множителей; так, Sp(/g/i) = Sp(/i/g) = Sp(ghf). A2.10) Важнейшим свойством следа является его независимость от выбора системы функций, по отношению к которым определя- ются матричные элементы. Действительно, Sp /' = Sp(S-VS) = Sp(SS-V) = Sp /. A2.11) Отметим также, что унитарное преобразование оставляет ин- вариантной сумму квадратов модулей преобразуемых функций. Действительно, учитывая A2.6), имеем i k,l,i к,I к Всякий унитарный оператор можно представить в виде S = eiR, A2.13) где R— эрмитов оператор; действительно, из i?+ = R следует, что S+ = e~iR+ = e~iR = S-\ Отметим разложение f = S~lfS = f + {/, iR} + \{{l iR}, iR} + ..., A2.14) 1) От немецкого слова Spur — след. Используется также обозначение Тг от английского trace. Разумеется, рассмотрение следа матрицы предполагает сходимость суммы по п. 60 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ГЛ. II в котором легко убедиться прямой проверкой путем разложения множителей exp(±ii?) по степеням оператора R. Это разложение может оказаться полезным, когда R пропорционален малому па- раметру, так что A2.14) становится разложением по степеням этого параметра.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Преобразование матриц» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
