Квантовая механика содержит в себе классическую механику в качестве предельного случая. Возникает вопрос о том, каким образом осуществляется этот предельный переход. В квантовой механике электрон описывается волновой функ- цией, определяющей различные значения его координаты; об этой функции нам известно пока лишь то, что она является решением некоторого линейного дифференциального уравне- ния в частных производных. В классической же механике элек- трон рассматривается как материальная частица, движущаяся по траектории, вполне определяющейся уравнениями движения. Взаимоотношение, в некотором смысле аналогичное взаимоот- ношению между квантовой и классической механикой, имеет место в электродинамике между волновой и геометрической оп- тикой. В волновой оптике электромагнитные волны описыва- ются векторами электрического и магнитного полей, удовлетво- ряющими определенной системе линейных дифференциальных уравнений (уравнений Максвелла). В геометрической же оптике ) В дальнейшем мы условимся для простоты обозначений писать везде операторы, сводящиеся к умножению на некоторую величину, просто в виде самой этой величины. ) Коэффициенты разложения произвольной функции Ф по этим собствен- ным функциям равны aqo = f ^(q)S(q — qo) dq = Ф(#о)- Вероятность значе- ний координаты в данном интервале dqo равна \aqo\2 dqo = \^/(qo)\2 dqo, как и должно было быть. 38 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ГЛ. I рассматривается распространение света по определенным тра- екториям— лучам. Подобная аналогия приводит к заключению, что предельный переход от квантовой механики к классической происходит аналогично переходу от волновой оптики к геомет- рической. Напомним, каким образом математически осуществляется этот последний переход (см. II, §53). Пусть и — какая-нибудь из компонент поля в электромагнитной волне. Ее можно пред- ставить в виде и = аегср с вещественными амплитудой а и фа- зой (р (последнюю называют в геометрической оптике эйкона- лом). Предельный случай геометрической оптики соответствует малым длинам волн, что математически выражается большой величиной изменения ср на малых расстояниях; это означает, в частности, что фазу можно считать большой по своей абсолют- ной величине. Соответственно этому, исходим из предположения, что пре- дельному случаю классической механики соответствуют в кван- товой механике волновые функции вида Ф = аег(р, где а —мед- ленно меняющаяся функция, а ср принимает большие значения. Как известно, в механике траектория частиц может быть опре- делена из вариационного принципа, согласно которому так на- зываемое действие S механической системы должно быть ми- нимальным (принцип наименьшего действия). В геометрической же оптике ход лучей определяется так называемым принципом Ферма, согласно которому должна быть минимальной «оптиче- ская длина пути» луча, т. е. разность его фаз в конце и в начале пути. Исходя из этой аналогии, мы можем утверждать, что фаза р волновой функции в классическом предельном случае должна быть пропорциональна механическому действию S рассматри- ваемой физической системы, т. е. должно быть S = const -ср. Ко- эффициент пропорциональности называется постоянной План- ка и обозначается буквой И1). Она имеет размерность действия (поскольку р безразмерно) и равна П= 1,055-107эрг-с. Таким образом, волновая функция «почти классической» (или, как говорят, квазиклассической) физической системы име- ет вид .c/fc ф = aelS'n. F.1) х) Она была введена в физику Планком (М. Planck, 1900). Постоянная К, которой мы пользуемся везде в этой книге, есть, собственно говоря, посто- янная Планка h, деленная на 2тг (обозначение Дирака). § 7 ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ 39 Постоянная Планка играет фундаментальную роль во всех квантовых явлениях. Ее относительная величина (по сравнению с другими величинами той же размерности) определяет «сте- пень квантовости» той или иной физической системы. Переход от квантовой к классической механике соответствует большой фазе и может быть формально описан как переход к пределу h —>• 0 (подобно тому как переход от волновой к геометрической оптике соответствует переходу к пределу равной нулю длины волны, Л —>> 0). Мы выяснили предельный вид волновой функции, но еще остается вопрос о том, каким образом она связана с классиче- ским движением по траектории. В общем случае движение, опи- сываемое волновой функцией, отнюдь не переходит в движение по определенной траектории. Ее связь с классическим движени- ем заключается в том, что если в некоторый начальный момент волновая функция, а с нею и распределение вероятностей ко- ординат заданы, то в дальнейшем это распределение будет «пе- ремещаться» так, как это полагается по законам классической механики (подробнее об этом см. конец § 17). Для того чтобы получить движение по определенной траек- тории, надо исходить из волновой функции особого вида, замет- но отличной от нуля лишь в очень малом участке пространства (так называемый волновой пакет)] размеры этого участка мож- но устремить к нулю вместе с Н. Тогда можно утверждать, что в квазиклассическом случае волновой пакет будет перемещаться в пространстве по классической траектории частицы. Наконец, квантовомеханические операторы в пределе долж- ны сводиться просто к умножению на соответствующую физи- ческую величину.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Предельный переход» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
