Релятивистские уравнения движения вязкой и теплопроводной среды
Установление релятивистских гидродинамических уравнений при наличии диссипативных процессов (вязкости и теплопровод- ности) сводится к вопросу об определении вида соответствующих дополнительных членов в тензоре энергии-импульса и в векторе плотности потока вещества. Обозначая эти члены соответствен- но как ты и щ, напишем: Tik = Pgik + ЫЩЩ + Tik, A36.1) щ = пщ + щ. A36.2) Уравнения движения по-прежнему содержатся в дхк дх1 Прежде всего, однако, возникает вопрос о более точном опре- делении самого понятия скорости и1. В релятивистской механике всякий поток энергии неизбежно связан также и с потоком мас- сы. Поэтому при наличии, например, теплового потока опреде- ление скорости по потоку массы (как в нерелятивистской гидро- динамике) теряет непосредственный смысл. Мы определим здесь скорость условием, чтобы в собственной системе отсчета каждо- го данного элемента жидкости его импульс был равен нулю, а его энергия выражалась через другие термодинамические вели- чины теми же формулами, как и при отсутствии диссипативных процессов. Это значит, что в указанной системе отсчета должны обращаться в нуль компоненты тоо и тоа тензора т^; поскольку в этой системе и иа = 0, то имеем в ней (а потому и в любой другой системе) тензорное соотношение Tikuk = 0. A36.3) Аналогичное соотношение щи1 = 0 A36.4) 702 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА ГЛ. XV должно выполняться и для вектора щ, поскольку в собственной системе отсчета компонента п° 4-вектора потока частиц nt долж- на, по определению, совпадать с плотностью числа частиц п. Искомый вид тензора т^ и вектора щ можно установить, ис- ходя из требований, налагаемых законом возрастания энтропии. Этот закон должен содержаться в уравнениях движения (подоб- но тому как в § 134 из этих уравнений получалось для идеальной жидкости условие постоянства энтропии). Путем простых пре- образований с использованием уравнения непрерывности легко получить следующее уравнение: дхк дхЛ } ^дхг дхк где /i — релятивистский химический потенциал вещества: пц = = w — Та, и использовано термодинамическое соотношение для его дифференциала: ф = -dp--dT. A36.5) п п Наконец, используя A36.3), перепишем это уравнение в виде A (aui - ЕиЛ = -uiJ-E + ZJL *fl. A36.6) дхЛ T J дх1 Т Т дхк v } Стоящее слева выражение должно представлять собой 4-ди- вергенцию потока энтропии, а выражение справа — возрастание энтропии вследствие диссипативных процессов. Таким образом, 4-вектор плотности потока энтропии есть а* = аи1 - ±v\ A36.7) a Tik и v% должны выражаться линейно через градиенты скоро- сти и термодинамических величин так, чтобы обеспечить суще- ственную положительность правой части уравнения A36.6). Это условие вместе с условиями A36.3), A36.4) однозначно опреде- ляет вид симметричного 4-тензора т^ и 4-вектора щ: г.. - -сп(дщ + дик -иш1дщ -ии1дик) - \дхк дхг дх1 дх1 ) , A36.8) ^ щи A36.9) Здесь г/, С — два коэффициента вязкости, ах — коэффициент теп- лопроводности, выбранные в соответствии с их нерелятивист- ским определением. В нерелятивистском пределе компоненты тар сводятся к компонентам трехмерного тензора вязких напряже- ний а'о A5.3). § 136 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ 703 Чистой теплопроводности соответствует поток энергии при отсутствии потока вещества. Условие последнего есть пиа + va = = 0. При этом пространственные компоненты 4-скорости иа = = —иа/п — величины первого порядка по градиентам; поскольку выражения A36.8), A36.9) написаны лишь с точностью до ве- личин этого порядка, компоненту и® 4-скорости надо положить равной единице: и$ = 1+иаиа = l + uaua/n2^il. С этой же точно- стью надо опустить второй член в квадратных скобках в A36.9). Тогда для плотности потока энергии сТОа = —сТ® находим —clz = —cwuau = —иа = д а п w2 дхаТ Используя термодинамическое соотношение A36.5), переписан- ное в виде получим поток энергии: -к(\7Т--\7р]. A36.10) Мы видим, что в релятивистском случае теплопроводностный поток тепла пропорционален не просто градиенту температуры, а определенной комбинации градиентов температуры и давления (в нерелятивистском пределе w « nmc2 и член с \7р должен быть опущен).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Релятивистские уравнения движения вязкой и теплопроводной среды» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
