Развитая в § 123-125 теория сверх- и дозвуковых обтеканий тонких тел неприменима в случае околозвукового движения, когда становится несправедливым линеаризованное уравнение для потенциала. В этом случае картина течения во всем про- странстве определяется нелинейным уравнением A14.10): дх дх2 ду2 (или, при плоском движении, эквивалентным ему уравнением Эйлера-Трикоми). Решение этих уравнений для конкретных слу- чаев, однако, весьма затруднительно. Поэтому существенный ин- терес представляют правила подобия, которые можно установить для таких течений, не прибегая к их конкретному решению. Рассмотрим сначала плоское течение, и пусть У = Sf(x/l) A26.2) есть уравнение, определяющее форму обтекаемого тонкого кон- тура, причем / есть его длина (в направлении обтекания), а 6 характеризует его толщину E <С 1). Изменением двух парамет- ров / и 5 получим семейство подобных контуров. Уравнение движения имеет вид со следующими граничными условиями. На бесконечности ско- рость равна скорости vi невозмущенного потока, т. е. ^ = 0, *?¦ = Мь - 1 = Ml^i A26.4) ду дх а* (см. определение потенциала ср согласно A14.9)). На профиле же скорость должна быть направлена по касательной к нему: vx ду dx I 654 ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ ГЛ. XIII ввиду тонкости профиля можно требовать выполнения этого условия при у = 0. Введем новые безразмерные переменные согласно Х = lW' У= (fla»I/3^ ^ = ~аГ71^' ^ A26.6) (мы ввели угол б = 5/1, характеризующий «угол раствора» тела или угол атаки). Тогда мы получим уравнение 2 дх дх2 ду2 с граничными условиями % = К, ^ = 0наоо, ^ = №) аж ду ду где M1 A26.7) Эти условия содержат лишь один параметр — К. Таким обра- зом, мы получили искомый закон подобия: плоские околозвуко- вые течения с одинаковыми значениями числа К подобны, как это устанавливается формулами A26.6) (СВ. Фалъкович, 1947). Обратим внимание на то, что в выражение A26.7) входит также и единственный параметр а*, характеризующий свойства самого газа. Поэтому полученное правило определяет также и подобие по изменению рода газа. В условиях рассматриваемого приближения давление опре- деляется формулой p-pi~ -Pivi(vx -vi). Вычисление с помощью выражений A26.6) показывает, что ко- эффициент давления на профиль будет функцией вида Q2/3 / \ : P[K - 1 1/3 \^ ' ^ у ' Коэффициенты силы сопротивления и подъемной силы опреде- ляются интегралами по контуру профиля: 1 [ n dY * = T / Cv—-dx, I J dx § 126 ОКОЛОЗВУКОВОЙ ЗАКОН ПОДОБИЯ 655 и, следовательно, являются функциями вида A26.8) % y % а* а* Совершенно аналогичным образом можно получить закон по- добия для трехмерного обтекания тонкого тела, форма которого задается уравнениями вида с двумя параметрами 5 и I E^1). Существенное отличие от плоского случая связано с тем, что потенциал имеет при у —>• О, z —>> 0 логарифмическую особенность (см., например, формулы обтекания тонкого конуса в § 113). Поэтому граничное условие на оси х должно определять не сами производные dip/dy, dip/dz, а остающиеся конечными произведения: дш ^rdY дш rydZ ду dx oz dx Легко убедиться в том, что преобразованием подобия в этом слу- чае является (снова вводим угол в = 5/1) х = Тх, у = ^т^у, z=^T^z, ip = W2Tp, A26.10) причем параметр подобия К=^-± A26.11) (Т. Karman, 1947). Для коэффициента давления на поверхность тела получим выражение вида а для коэффициента силы сопротивления соответственно 2) Сх = 9Af(K). A26.12) 1) Область применимости этих формул определяется неравенством |Mi — 1| ^С 1. Линеаризованной же теории соответствуют большие значе- ния К, т. е. |Mi - 1| > 6>2/3. В области 1 > Mi - 1 > 6>2/3 формулы A26.8) должны, следовательно, переходить в формулы A25.6)—A25.8) линеаризо- ванной теории. Это значит, что при больших К функции fx и fy должны быть пропорциональны К~ ' . ) В области l^>Mi —1^>9 должна получаться формула A23.7) линеари- зованной теории, согласно которой Сх ~ 0 ; это значит, что при увеличении К функция }(К) должна стремиться к постоянной. 656 ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ ГЛ. XIII Все полученные формулы относятся, конечно, как к малым положительным, так и к малым отрицательным значениям Mi —1. Если в точности Mi = 1, то параметр подобия К = 0 и функ- ции в формулах A26.8) и A26.12) сводятся к постоянным, так что эти формулы полностью определяют зависимость Сх и Су от угла 6 и свойств газа а*.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Околозвуковой закон подобия» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
