Форма, которой должно обладать тело для того, чтобы при сверхзвуковом движении быть хорошо обтекаемым, т. е. испы- тывать по возможности малую силу сопротивления, существен- но отличается от соответствующей формы для дозвукового дви- жения. Напомним, что в дозвуковом случае хорошо обтекаемы- ми являются продолговатые тела, закругленные спереди и за- остренные сзади. При сверхзвуковом же обтекании такого тела перед ним появилась бы сильная ударная волна, что привело бы к сильному возрастанию сопротивления. Поэтому в сверхзву- ковом случае хорошо обтекаемое удлиненное тело должно иметь \ \ Сверхзв. область Дозвук. 1) 77. Жермен нашел несколько типов решений уравнения Эйлера-Три- коми, которые могли бы изображать пересечение ударной волны со звуко- вой линией, но их исследование не было по существу завершено. Некоторые из этих типов не удовлетворяют поставленному выше условию A). \ На рис. 128 а изображен случай, ^ который мог бы отвечать точке окончания ударной волны, замы- кающей местную сверхзвуковую Свеъхзв\ Дозвук. область: в точке пересечения удар- область] область ная волна и звуковая линия обе за- канчиваются и имеют общую каса- тельную, будучи расположены по разные стороны от нее (газ дви- жется слева направо). Выполнение условия B), однако, не проверено. Для показателя к решения указан а б лишь интервал, в котором он мог бы находиться C/4 < к < 11/12), Рис 128 н0 не пР0веРен05 может ли при этом быть удовлетворено условие непрерывности координат на ударной волне в физической плоскости. См. Germain P. Ecoulements transsoniques homogenes. В кн.: Progress in Aeronautical Sciences. — Pergamon Press, 1964, V. 5. область Звуковая линия - Ударная волна \ Характеристика § 123 СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ЗАОСТРЕННОГО ТЕЛА 641 заостренным не только задний, но и передний конец, причем угол заострения должен быть малым; если ось тела наклонена к на- правлению движения, то угол наклона (угол атаки) тоже должен быть малым. При стационарном сверхзвуковом обтекании тела такой фор- мы скорость газа даже вблизи тела будет везде лишь незначи- тельно отличаться по величине и направлению от скорости на- текающего потока, а образующиеся ударные волны будут обла- дать малой интенсивностью (интенсивность головной волны убы- вает вместе с уменьшением раствора обтекаемого угла). Вдали от тела движение газа будет представлять собой расходящие- ся звуковые волны. Основную часть сопротивления газа мож- но представлять себе как обусловленную переходом кинетиче- ской энергии движущегося тела в энергию излучаемых им звуко- вых волн. Это сопротивление, специфическое для сверхзвукового движения, называют волновым х) ; оно может быть вычислено в общем виде при любой форме сечения тела (Th. Karman, N.B. Moore, 1932). Описанный характер течения делает возможным применение линеаризованного уравнения для потенциала A14.4): Й + Й-/52Й = 0' A23.1) дх2 ду2 dz2 где для краткости введена положительная постоянная /З2 = 4 - 1 A23.2) (ось х направлена по направлению движения, индекс 1 отличает величины, относящиеся к натекающему потоку); 1/C есть не что иное, как тангенс угла Маха. Уравнение A23.1) формально совпадает с двумерным волно- вым уравнением, причем x/v\ играет роль времени, a v\/ C — роль скорости распространения волн. Это обстоятельство не случай- но и имеет глубокий физический смысл, так как движение газа вдали от тела представляет собой, как уже указано, именно излу- чаемые телом расходящиеся звуковые волны. Если представить себе газ на бесконечности покоящимся, а тело движущимся, то площадь поперечного сечения тела в заданном месте простран- ства будет меняться со временем, причем расстояние, до которо- го к моменту t распространятся возмущения (т. е. расстояние до конуса Маха), будет расти как v\tjf3\ таким образом, мы будем иметь дело с «двумерным» излучением звука (распространяю- щегося со скоростью Vi/f3) пульсирующим контуром. ) Полная сила сопротивления получается прибавлением к волновому со- противлению сил, связанных с трением и с отрывом у заднего конца тела. 21 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI 642 ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ ГЛ. XIII Руководствуясь этой «звуковой аналогией», можно сразу же написать искомое выражение для потенциала скорости газа, вос- пользовавшись выражением G4.15) для потенциала излучаемых пульсирующим источником цилиндрических звуковых волн (на расстояниях, больших по сравнению с размерами источника), за- менив в последнем ct на х//3. Пусть S(x) —площадь сечения те- ла плоскостями, перпендикулярными к направлению обтекания (оси ж), а длина тела в этом направлении пусть будет /; начало координат выберем в переднем конце тела. Тогда будем иметь х-/3г [ ; A23.3) О в качестве нижнего предела написан нуль, так как при х < О (как и при х > 1) надо положить тождественно S(x) = 0. Таким образом, мы полностью определили движение газа на расстояниях г от оси, больших по сравнению с толщиной тела . Исходящие от тела возмущения в сверхзвуковом потоке распро- страняются, разумеется, только в область позади конуса х — Cг = = 0 с вершиной в переднем конце тела; перед этим конусом имеем просто ср = 0 (однородный поток). Между конусами х — (Зг = = 0 и х — (Зг = I потенциал определяется формулой A23.3); по- зади же конуса х — (Зг = I (с вершиной в заднем конце тела) в этой формуле верхний предел заменяется постоянной величи- ной I. Оба указанных конуса представляют собой в рассматрива- емом приближении слабые разрывы; в действительности это — ударные волны слабой интенсивности. Действующая на тело сила сопротивления есть не что иное, как уносимая звуковыми волнами в единицу времени ж-компо- нента импульса. Выберем в качестве контрольной поверхности цилиндрическую поверхность достаточно большого радиуса г с осью вдоль оси х. Плотность потока ж-компоненты импульса че- рез эту поверхность есть Uxr = pvr(vx + уг) Pi^(vi + ^ дг \ дх х) Для осесимметричного обтекания тела вращения формула A23.3) спра- ведлива для всех вообще г вплоть до самой поверхности тела. Из нее можно, в частности, получить снова формулу A13.6) для обтекания тонкого конуса. С другой стороны, рассмотрев это полученное в линейном приближении решение вдали от обтекаемого тела, можно ввести в него эффект нели- нейного искажения профиля подобно тому, как это было сделано в § 102 для цилиндрической звуковой волны. Этим путем можно определить интен- сивность ударной волны на больших расстояниях от тонкого заостренного тела вращения (в том числе ее зависимость от Mi), т. е. коэффициент в законе затухания (ос г~3^4), о котором шла речь в предыдущем парагра- фе. См. Уизем Дснс. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977, § 9.3 [Whitham G.B. Linear and nonlinear waves.—Wiley, 1974]. § 123 СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ЗАОСТРЕННОГО ТЕЛА 643 При интегрировании по всей поверхности первый член исчезает, так как интеграл от pvr есть равный нулю полный поток массы газа через контрольную поверхность. Поэтому остается + ОО +ОО f ^^dx. A23.4) J or ox На больших расстояниях (в волновой зоне) производные от потенциала вычисляются так, как это было сделано в § 74 (см. формулу G4.17)), и получается х-/3г <>!? = _в&Р = ^_ /Z Г дг Р дх 2тг V 2r J Это выражение подставляем в A23.4), причем квадрат интеграла переписываем в виде двойного интеграла; обозначая для крат- кости х — /Зг = X, получим +оо X X F = eili Г Г [ S"(?i)S"(&)(%! d?2dX х ** J J J V(x-ei)(x-6) -oo 0 0 Произведем интегрирование по dX; после изменения порядка ин- тегрирования оно должно производиться в пределах от больше- го из ?i и ^2 до +оо. В качестве верхнего предела берем сначала некоторое большое, но конечное L, которое затем можно устре- мить к бесконечности. Таким образом, получим 2тг О О Интеграл от члена с постоянным множителем In 4L тождествен- но исчезает, так как на заостренных концах тела обращается в нуль не только площадь S(x), но и ее производная S (х). Таким образом, окончательно получим 1 Ь 2тг О О If S"(ti)S"(b) In F - ИЛИ Fx = -zm / / S"(fi)S"(f2)lii|f2 -fildfidfr. A23.5) 4тг J J О О 21* 644 ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ ГЛ. XIII Это и есть искомая формула для волнового сопротивления тонкого заостренного тела . Порядок величины стоящего здесь интеграла есть (Sy/2J/2, где S — некоторая средняя площадь се- чения тела. Поэтому Коэффициент сопротивления удлиненного тела условимся опре- делять как Сх = f* , A23.6) относя его к квадрату длины тела. В данном случае Сж~52//4; A23.7) он пропорционален квадрату площади поперечного сечения тела. Обратим внимание на формальную аналогию между форму- лой A23.5) и формулой D7.4) для индуктивного сопротивления тонкого крыла: вместо функции T(z) в D7.4) здесь стоит функ- ция viS'(x). Ввиду этой аналогии для вычисления интеграла A23.5) можно пользоваться тем же методом, который был из- ложен в конце § 47. Следует также заметить, что определяемое формулой A23.5) волновое сопротивление не изменится, если изменить направле- ние обтекания на обратное, — стоящий в этой формуле интеграл не зависит от того, в каком направлении проходится длина тела. Это свойство силы сопротивления характерно именно для линеа- ризованной теории 2) . Наконец, несколько слов об области применимости получен- ной формулы. К этому вопросу можно подойти следующим обра- зом. Амплитуда колебаний газовых частиц в излучаемых телом звуковых волнах — порядка величины толщины тела, которую мы обозначим буквой д. Скорость же колебаний — соответствен- но порядка величины отношения амплитуды S к периоду вол- ны l/v\ (Svi/l). Но линейное приближение для распространения звуковых волн (т. е. линеаризованное уравнение для потенциа- ла) во всяком случае требует малости скорости движения газа в волне по сравнению со скоростью звука, т. е. должно быть vi//3 ^> v\5/l, или, что фактически то же: Mi <//<*. A23.8) ) Что касается подъемной силы (для неосесимметрического тела или при наличии угла атаки), то в рассматриваемом здесь приближении таковая во- обще отсутствует. ) Оно имеет место и в изложенной в § 125 теории волнового сопротивления тонкого крыла. § 124 СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ЗАОСТРЕННОГО ТЕЛА 645 Таким образом, изложенная теория становится неприменимой при значениях Mi, сравнимых с отношением длины тела к его толщине. Она неприменима, разумеется, и в обратном предельном слу- чае слишком близких к единице значений Mi, когда тоже недо- пустима линеаризация уравнений.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Сверхзвуковое обтекание заостренного тела» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 