Упрощенное уравнение Чаплыгина в форме уравнения Эйле- ра-Трикоми должно, в принципе, применяться к исследованию основных качественных особенностей стационарного плоского об- текания тел, связанных с наличием в нем околозвуковых обла- стей. Сюда относятся, в первую очередь, вопросы, связанные с возникновением ударных волн. В околозвуковой зоне интен- сивность ударной волны мала; подчеркнем, что именно это об- стоятельство делает законным применение уравнения Эйлера- Трикоми в этих условиях. Напомним (см. § 86, 114), что в слабой ударной волне изменение энтропии и ротора скорости — величи- ны более высоких порядков малости; поэтому в первом прибли- жении движение можно считать изэнтропическим и потенциаль- ным и позади разрыва. В этом параграфе мы рассмотрим теоретически важный во- прос — о характере стационарного плоского обтекания, когда ско- рость набегающего потока равна в точности скорости звука. Мы увидим, что при таком обтекании непременно имеется простирающаяся от тела до бесконечности ударная волна. Отсю- да следует важное заключение о том, что ударная волна должна впервые возникнуть при числе Моо, во всяком случае меньшем единицы. Итак, рассмотрим плоское обтекание тела с бесконечно длин- ным размахом («крыла») произвольного, не обязательно сим- метричного сечения. При этом мы будем интересоваться карти- ной течения на достаточно больших (по сравнению с размера- ми) расстояниях от тела. Для удобства изложения мы сначала опишем качественно получающиеся результаты, а затем перейдем к количественному расчету. На рис. 122 АВ и А'В' — звуковые линии, так что сле- ва от них (вверх по течению) лежит целиком до- звуковая область; стрелкой изображено направ- ление натекающего потока (которое мы ниже вы- *—> бираем в качестве оси х с началом где-либо в рай- оне тела). На некотором расстоянии от линии пе- рехода возникают «исходящие» от тела ударные волны (EF и E'F' на рис. 122). Оказывается, что в' \\F' все исходящие от тела характеристики (в области между линией перехода и ударной волной) можно ри ^ разделить на две группы. Характеристики первой группы достигают звуковой линии, оканчиваясь на ней (или, ина- че говоря, отражаясь от нее в виде характеристики, приходящей к телу; на рис. 122 изображена одна из таких характеристик). Характеристики же второй группы оканчиваются на ударной волне. Обе эти группы разделены предельными характеристи- 624 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII ками — единственными, уходящими на бесконечность и никогда не достигающими ни звуковой линии, ни ударной волны {CD и CD' на рис. 122). Поскольку возмущения (связанные, напри- мер, с изменением контура обтекаемого тела), распространяю- щиеся от тела по характеристикам первой группы, достигают границы дозвуковой области, то ясно, что часть сверхзвуково- го потока, лежащая между линией перехода и предельной ха- рактеристикой, влияет на дозвуковую область; весь же поток в области справа от предельных характеристик никакого влияния на поток слева не оказывает: течение слева никак не изменит- ся при возмущении потока справа (в том числе при изменении профиля тела справа от точек С, С1). Течение позади ударной волны, как мы знаем, никак не влияет на течение перед ней. Та- ким образом, весь поток можно разделить на три части (слева от DC CD1 между DC CD' и FEE'F', справа от FEE'F'), при- чем течение во второй никак не влияет на течение в первой, а течение в третьей — на течение во второй. Перейдем теперь к количественному расчету описанной кар- тины (являющемуся в то же время ее проверкой). Начало координат в плоскости годографа (в = т\ = 0) соот- ветствует бесконечно удаленной области в физической плоско- сти, а выходящие из начала координат годографические характе- ристики соответствуют предельным характеристикам CD и CD1. На рис. 123 изображена окрестность начала координат, причем буквы соответствуют обозначениям на рис. 122. Ударная волна изображается в плоскости годографа не одной линией, а двумя (соответствующими движению га- за по обеим сторонам разрыва), причем 11 области между ними (заштрихованной на рис. 123) не соответствуют никакой обла- сти в физической плоскости. Прежде всего необходимо выяснить, какой из общих интегралов Ф& соответ- Рис. 123 ствует данному случаю обтекания. Если Ф(#, г/) имеет порядок однородности /с, то функции х = дФ/дг] и у = дФ/дв будут однородными — соот- ветственно порядков к — 1/3 и к — 1/2. При стремлении в и г/ к нулю мы должны, вообще говоря, попасть на бесконечность в физической плоскости, т. е. х и у должны стремиться к бесконеч- ности. Очевидно, что для этого должно быть к < 1/3. С другой стороны, предельные характеристики в физической плоскости не должны лежать целиком на бесконечности, т. е. не должно быть у = =Ьоо по всей линии 9в2 = 4г/3. Для этого (при 2k +1/6 < 5/6) второй член в квадратных скобках в выражении A18.6) должен § 120 ОБТЕКАНИЕ СО ЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ 625 вообще отсутствовать. Таким образом, функция Ф(#, г/) должна изображаться первым членом выражения A18.6): ф = Ав2кр(-к, -к + -, -2Л + -; I- -^-Y A20.1) V 2 6 9(92/ v J Функция уF, г/) (тоже удовлетворяющая уравнению Эйлера- Трикоми) будет иметь такой же вид с к — 1/2 вместо к. Но если выражение A20.1) имеет место, например, вблизи верхней характеристики @ = +B/3)г/3/2), то при произвольном к < 1/3 оно отнюдь не будет иметь место также и вблизи второй характеристики (в = — B/3)г/3/2). Поэтому мы должны потребо- вать также, чтобы вид A20.1) функции Ф(#, rf) оставался таким же при обходе вокруг начала координат в плоскости годографа от одной характеристики к другой, причем обход должен проис- ходить через полуплоскость т\ < 0 (путь А1 В1 на рис. 119). Такой обход соответствует в физической плоскости переходу от уда- ленных точек одной из предельных характеристик к удаленным точкам другой предельной характеристики, причем путь пере- хода проходит через дозвуковую область и потому нигде не пе- ресекает ударную волну, нарушающую непрерывность течения. Преобразование гипергеометрической функции в A20.1) при та- ком переходе дается первой из формул A18.13), и мы должны потребовать обращения в нуль коэффициента перед i7^ в этой формуле. Это условие выполняется при следующих значениях к < 1/3: к = \~^ п = 0,1,2,... Из всех этих значений должно быть окончательно выбрано лишь одно: к = -\. A20.2) Можно показать, что все значения к с п > 1 приводят к неод- нозначному отображению плоскости годографа на физическую плоскость (при однократном обходе первой вторая обходится несколько раз), т. е. к неоднозначности физического течения, что, разумеется, нелепо. Значение же к = 1/6 дает решение, в ко- тором не по всем направлениям в физической плоскости стрем- ление в и т\ к нулю означает уход на бесконечность; ясно, что такое решение тоже физически непригодно. При к = —1/3 коэффициент при F\ в правой части формулы A18.13) равен +1, т. е. при обходе от одной характеристики к другой функция Ф вообще не меняется. Это значит, что Ф есть четная функция б, а координата у = дФ/дв — соответственно нечетная функция. Физически это означает, что в рассматривае- мом нами первом приближении картина течения на больших рас- 626 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII стояниях от тела оказывается симметричной относительно плос- кости у = 0 независимо от формы тела, в частности от наличия или отсутствия подъемной силы. Таким образом, мы выяснили характер особенности, которую имеет Ф(#, г/) в точке г/ = в = 0. Уже непосредственно отсюда можно сделать заключение о форме звуковой линии, предель- ных характеристик и ударной волны на больших расстояниях от тела. Каждая из этих линий должна соответствовать опре- деленному значению отношения в2/г/3, и поскольку Ф имеет вид Ф = #~2/3/G/3/#2), то с помощью формул A18.4) мы найдем, что х ос #~4/3, у ос #~5/3. Поэтому форма перечисленных линий определяется уравнениями вида х = const • у4/5 A20.3) со своим значением const для каждой из них. Вдоль этих ли- ний в и г/ падают по законам: 6>осу-3/5, г/ ос у/5 A20.4) {Ф.И. Франклъ, 1947; К. Guderley, 1948) х). Мы будем для определенности писать формулы со знаками, соответствующими верхней полуплоскости (у > 0). Покажем, как могут быть вычислены коэффициенты в этих формулах. Значение к = —1/3 есть одно из тех, при которых Ф& сводится к алгебраическим функциям (см. предыдущий па- раграф). Тот частный интеграл, который в данном случае опре- деляет Ф, может быть написан в виде Ф = -, где а\ —произ- 2 06 вольная положительная постоянная, а / есть тот корень кубиче- ского уравнения /3-Зт// + 3# = 0, A20.5) который при 9#2 — 4г/3 > 0 совпадает с единственным веществен- ным корнем. Отсюда 2 Зв Упомянем, что аналогичные результаты оказывается возможным полу- чить и для осесимметричного обтекания (с Моо = 1). В цилиндрических кординатах ж, г форма звуковой поверхности, предель- ной характеристики и ударной волны, и законы изменения скорости на них даются (вдали от тела) формулами х = const • r4/7, vx ос r/7, vr ос г"9/7. См. Гудерлей К.Г. Теория околозвуковых течений. — М.: ИЛ, 1960 [Guder- ley K.G. Theorie schallnaher Stromungen. — Springer Verlag, 1957]; Фалько- вич СВ., Чернов И.А. // Прикл. Матем. Мех. 1964. Т. 28, С. 342. § 120 ОБТЕКАНИЕ СО ЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ 627 а также для координат дФ = 5 2(/2-^K' У ~ Ъв ~ ~ (/2 -Г]K' Эти формулы можно представить в удобном параметрическом виде, введя в качестве параметра величину s = /2/(/2 — TJ)\ тогда х _ i/5 2s-l. ^V5 ~ ttl 2s2/5 ' r;^/5 = ai/V/5C-l), A20.8) чем определяется в параметрическом виде зависимость г/ и б от координат. Параметр s пробегает положительные значения, на- чиная от нуля (s = 0 соответствует х = — оо, т. е. натекающему с бесконечности потоку). В частности, значение s = 1/2 соответ- ствует х = 0, т. е. дает распределение скоростей при больших у в перпендикулярной к оси х плоскости, проходящей в районе об- текаемого тела. Значение 5 = 1 соответствует звуковой линии (г/ = 0), а s = 4/3, как легко убедиться, — предельной характери- стике. Значение же постоянной а\ зависит от конкретной формы обтекаемого тела и могло бы быть определено лишь путем точ- ного решения задачи во всем пространстве. Формулы A20.8) относятся лишь ко всей области перед удар- ной волной. Неизбежность появления последней видна уже из следующих соображений. Простое вычисление по формуле A18.5) дает для якобиана А выражение z_\ — U/i . Легко видеть, что на характеристиках и во всей области слева от них (что соответствует области вверх по течению от предельных характеристик в физической плоскости) А > 0 и нигде в нуль не обращается. В области же справа от характеристик А проходит через нуль, откуда и видна неизбежность возникновения здесь ударной волны. Граничные условия, которым должно удовлетворять реше- ние уравнения Эйлера-Трикоми на ударной волне, заключаются в следующем. Пусть 6\, щ и 02, щ—значения в и т\ по обеим сторонам разрыва. Прежде всего они должны соответствовать одной и той же кривой в физической плоскости, т. е. ж@ь т) = х[в2, т), у(ви т) = у{в2, т). A20.9) 628 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII Далее, условие непрерывности касательной к разрыву компонен- ты скорости (т. е. условие непрерывности производной от потен- циала ср вдоль линии разрыва) эквивалентно условию непрерыв- ности самого потенциала: <р(еи т) = ip(e2, т) (ш.ю) (потенциал ср определяется по функции Ф формулой A19.3)). На- конец, последнее условие можно получить из предельной формы уравнения ударной поляры (92.6), устанавливающего определен- ную связь между компонентами скорости по обеим сторонам раз- рыва. Заменив в (92.6) угол х на #2 — 0\ и введя r/i, щ вместо г>1, V2, получим следующее соотношение: 2@2 - 0гJ = (г/2 - щJ{щ + щ). A20.11) В данном случае решение уравнения Эйлера-Трикоми поза- ди ударной волны (область между OF и OF' в плоскости годо- графа; рис. 123) имеет тот же вид A20.5), A20.6), но, конечно, с другим постоянным коэффициентом (обозначим его как — аъ) вместо а\. Четыре уравнения A20.9)-A20.11) определяют отно- шение a^jcix и связывают между собой величины: r/i, #i, 7/2, 62. В результате довольно сложного их совместного решения получа- ются следующие результаты. Ударной волне соответствует зна- чение s = E^3 + 8)/6 = 2,58 параметра s в формулах A20.8), дающих при этом форму волны и распределение скорости на передней стороне разрыва. В об- ласти позади (вниз по течению) от ударной волны коэффициент —п2 оказывается отри- f2 цательным, а параметр — пробегает от- Р -V рицательные значения. Вводя здесь в каче- /2 стве s положительную величину s = получим вместо A20.8) формулы х _ 1/5 2s+ 1 ^4/5 — tt2 2s2/5 ' V-P1 23/5 ~3~' A20.12) Рис. 124 причем а2/а1 = (9л/з + 1)/(9л/3 - 1) = 1,14, § 121 ОТРАЖЕНИЕ СЛАБОГО РАЗРЫВА ОТ ЗВУКОВОЙ ЛИНИИ 629 a s пробегает значения от s = Eл/3 —8)/6 — 0,11 (на ударной волне) до нуля (на бесконечности вниз по течению). На рис. 124 изображены графики зависимости щ21ъ и вуъ1ъ от жу~4/5, ВЬ1ЧИСденные по формулам A20.8) и A20.12) (постоянная а\ условно положена равной единице).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Обтекание со звуковой скоростью» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Упомянем, что аналогичные результаты оказывается возможным полу- 