Уравнение Чаплыгина (общая задача о двумерном стационарном движении сжимаемого газа)
Рассмотрев стационарные простые волны, перейдем теперь к общей задаче о произвольном стационарном плоском потенци- альном движении. Говоря о потенциальном течении, мы подра- зумеваем, что движение изэнтропично и что в нем отсутствуют ударные волны. Оказывается возможным свести поставленную задачу к реше- нию всего одного линейного уравнения в частных производных (С.А. Чаплыгин, 1902). Это осуществляется путем преобразова- ния к новым независимым переменным — компонентам скорости vXi vy (это преобразование часто называют преобразонанием го- дографа] плоскость переменных vx, vy называют при этом плоско- стью годографа, а плоскость ху — физической пло- скостью) . Для потенциального движения вместо уравнений Эйлера можно написать сразу их первый интеграл, т. е. уравнение Бер- нулли: w + — = w0. A16.1) Уравнение непрерывности имеет вид ^-(pvx) + ^-(pvy) = 0. A16.2) ох ду Для дифференциала потенциала (р скорости имеем dip = vx dx + vy dy. Произведем преобразование от независимых переменных ж, у к независимым переменным vXi vy путем преобразования Лежан- дра. Для этого запишем: dip = d(xvx) - х dvx + d(yvy) -ydvy. Вводя функцию Ф = -if + xvx + yvy, A16.3) получаем d<& = x dvx + у dvy, где Ф рассматривается как функция от vx и vy. Отсюда имеем ж=-—, У=^~ • A16.4) ovx ovy Удобнее, однако, пользоваться не декартовыми компонентами скорости, а ее абсолютной величиной v и углом б, образуемым ею с осью х: vx = vcosO^ vy = vsm6. A16.5) 606 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII Произведя соответствующее преобразование производных, легко получаем вместо A16.4) следующие соотношения: х = cost/— — , у = smt/— + . 116.6 dv v дО' У dv v дв V J Связь между потенциалом ср и функцией Ф дается при этом про- стой формулой (р = -ф + ьЁ1, (П6.7) OV Наконец, для того чтобы получить уравнение, определяющее функцию Ф(г>, #), надо преобразовать к новым переменным урав- нение непрерывности A16.2). Написав производные в виде яко- бианов: д(рух, у) _ д(руу, х) _ q д(х, у) д(х, у) умножив затем на д(х, y)/d(v, в) и подставив сюда значения vx и vy из A16.5), имеем d(pvcos6, у) d(pvsin6, х) _ ^ d(v, в) ~ d(v, в) ~ При раскрытии этих якобианов надо подставить для хну выра- ж:ения A16.6). Кроме того, поскольку энтропия s является задан- ной постоянной величиной, то, выразив плотность в виде функ- ции от s и w и подставив для w выражение w = г^о — ^2/2, мы найдем, что плотность может быть написана в виде функции только от скорости: р = p(v). Имея все это в виду, получим пос- ле простых преобразований следующее уравнение: d(pv)(d$ , 1д2Ф\ , д2Ф п кг } — + + pv = 0. dv V dv v дв2 ) dv2 Согласно (83.5) имеем и в результате получим окончательно для функции Ф(г>, в) сле- дующее уравнение Чаплыгина: оч j g!i + ,gj = o. (П6.8) дв2 l-v2/c2dv2 dv V 7 Здесь скорость звука является заданной функцией скорости, с = с(г>), определяемой уравнением состояния газа и уравнением Вернул ли. Уравнение A16.8) вместе с соотношениями A16.6) заменя- ет собой уравнения движения. Таким образом, задача о решении нелинейных уравнений движения сводится к решению линейного § 116 УРАВНЕНИЕ ЧАПЛЫГИНА 607 уравнения для функции Ф(г>, в). Правда, нелинейными оказыва- ются зато граничные условия для этого уравнения. Эти условия заключаются в следующем. На поверхности обтекаемого тела скорость газа направлена по касательной к ней. Выразив коорди- наты уравнения поверхности в виде параметрических уравнений X = X@),Y = Y@) (как это было объяснено в предыдущем па- раграфе) и подставив X и Y в A16.6) вместо ж и у, мы получим два уравнения, которые должны удовлетворяться при всех зна- чениях #, что возможно отнюдь не при всякой функции Ф(г>, 0). Граничное условие как раз и будет заключаться в требовании, чтобы оба эти уравнения были совместными при всех #, т. е. одно из них должно быть автоматическим следствием другого. Удовлетворения граничных условий, однако, еще не доста- точно для того, чтобы гарантировать пригодность полученного решения уравнения Чаплыгина для определения реального те- чения во всей области движения в физической плоскости. Необ- ходимо еще выполнение следующего требования: якобиан д _ д(х, у) д@, v) нигде не должен менять знак, проходя через нуль (за исклю- чением лишь тривиального случая, когда обращаются в нуль все четыре составляющие его производные). Легко видеть, что если это условие нарушается, то при прохождении через опре- деленную равенством А = 0 (так называемую предельную) ли- нию в плоскости ху решение, вообще говоря, становится комп- лексным . Действительно пусть на линии v = vq@) имеем А = = 0 и пусть при этом (ду/д0)у ^ 0. Тогда имеем _ (дх\ =0 \dvJy dyJv д(у,в)д(у,у) d(v,y) \dvJy Отсюда видно, что вблизи предельной линии v как функция от х (при заданном у) определяется уравнением вида 1(д2х\ , ч2 х-х0 = -(—) ^-^о , 2 \ov2 /у и по одну из сторон от предельной линии v становится комп- лексной 2) . ) Прохождение же через нуль путем обращения А в бесконечность не за- прещается. Если на некоторой линии 1/А = 0, то это приводит лишь к тому, что соответствие между плоскостями ху и v6 становится не взаимно однозначным в том смысле, что при обходе плоскости ху некоторая часть плоскости v9 проходится дважды или трижды. 2) Это утверждение остается, очевидно, справедливым и в тех случаях, когда одновременно с А обращается в нуль и (d2x/dv2)y, но производная (dx/dv)y по-прежнему меняет знак при v = г>о, т. е. разность х — хо пропор- циональна более высокой четной степени v — vq. 608 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII Легко видеть, что предельная линия может появиться лишь в областях сверхзвукового движения. Непосредственное вычис- ление с использованием соотношений A16.6) и уравнения A16.8) дает / д2Ф \dOdv ~дв) A16. Ясно, что при v ^ с всегда А > 0, и лишь при v > с А может изменить знак, пройдя через нуль. Появление в решении уравнения Чаплыгина предельных ли- ний свидетельствует о том, что в данных конкретных условиях невозможен непрерывный во всей области движения режим об- текания, и в потоке должны возникать ударные волны. Следует, однако, подчеркнуть, что положение этих волн отнюдь не совпа- дает с предельными линиями. В предыдущем параграфе мы рассмотрели частный случай сверхзвукового стационарного двумерного течения (простую волну), характерный тем, что в нем величина скорости явля- ется функцией только ее направления: v = v@). Это решение не могло бы быть получено из уравнения Чаплыгина; для него тождественно 1/Д = 0, и оно теряется, когда при преобразовании к плоскости годографа приходится умножать уравнение движе- ния (уравнение непрерывности) на якобиан А. Положение здесь аналогично тому, что мы имели в теории одномерного нестацио- нарного движения. Все сказанное в § 105 о взаимоотношении между простой волной и общим интегралом уравнения A05.2) полностью относится и ко взаимоотношению между стационар- ной простой волной и общим интегралом уравнения Чаплыгина. Положительность якобиана А при дозвуковом движении по- зволяет установить определенное правило, относящееся к на- правлению поворота скорости вдоль потока (А.А. Никольский, Г.И. Таганов, 1946). Имеем тождественно 1 = 0@, у) _ 0@, у) 0(ж, у) А 0(ж, у) 0(ж, у) 0(ж, у)' или dxJv\dy В дозвуковом потоке А > 0, и мы видим, что производные (дв/дх)у и (dv/dy)x имеют одинаковый знак. Этот результат имеет простой геометрический смысл: если передвигаться вдоль линии v = const = ^о так, чтобы область v < vq лежала справа, то угол в будет монотонно возрастать, т. е. вектор скорости моно- тонно поворачивается против часовой стрелки. Этот результат § 117 ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОГО СТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ 609 относится, в частности, и к линии перехода из до- в сверхзвуко- вое течение, вдоль которой v = с = с*. В заключение выпишем уравнение Чаплыгина для политроп- ного газа выразив в нем в явном виде с через v: v Это уравнение обладает семейством частных интегралов, выра- жающихся через гипергеометрические функции г) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Чаплыгина (общая задача о двумерном стационарном движении сжимаемого газа)» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Действительно пусть на линии v = vq@) имеем А = 