ДИПЛОМНІ КУРСОВІ РЕФЕРАТИ


ИЦ OSVITA-PLAZA

Реферати статті публікації

Пошук по сайту

 

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Теоретична фізика у 10 томах

Уравнение Чаплыгина (общая задача о двумерном стационарном движении сжимаемого газа)
Рассмотрев стационарные простые волны, перейдем теперь к
общей задаче о произвольном стационарном плоском потенци-
альном движении. Говоря о потенциальном течении, мы подра-
зумеваем, что движение изэнтропично и что в нем отсутствуют
ударные волны.
Оказывается возможным свести поставленную задачу к реше-
нию всего одного линейного уравнения в частных производных
(С.А. Чаплыгин, 1902). Это осуществляется путем преобразова-
ния к новым независимым переменным — компонентам скорости
vXi vy (это преобразование часто называют преобразонанием го-
дографа] плоскость переменных vx, vy называют при этом плоско-
стью годографа, а плоскость ху — физической пло-
скостью) .
Для потенциального движения вместо уравнений Эйлера
можно написать сразу их первый интеграл, т. е. уравнение Бер-
нулли:
w + — = w0. A16.1)
Уравнение непрерывности имеет вид
^-(pvx) + ^-(pvy) = 0. A16.2)
ох ду
Для дифференциала потенциала (р скорости имеем
dip = vx dx + vy dy.
Произведем преобразование от независимых переменных ж, у к
независимым переменным vXi vy путем преобразования Лежан-
дра. Для этого запишем:
dip = d(xvx) - х dvx + d(yvy) -ydvy.
Вводя функцию
Ф = -if + xvx + yvy, A16.3)
получаем
d<& = x dvx + у dvy,
где Ф рассматривается как функция от vx и vy. Отсюда имеем
ж=-—, У=^~ • A16.4)
ovx ovy
Удобнее, однако, пользоваться не декартовыми компонентами
скорости, а ее абсолютной величиной v и углом б, образуемым
ею с осью х:
vx = vcosO^ vy = vsm6. A16.5)
606 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII
Произведя соответствующее преобразование производных, легко
получаем вместо A16.4) следующие соотношения:
х = cost/— — , у = smt/— + . 116.6
dv v дО' У dv v дв V J
Связь между потенциалом ср и функцией Ф дается при этом про-
стой формулой
(р = -ф + ьЁ1, (П6.7)
OV
Наконец, для того чтобы получить уравнение, определяющее
функцию Ф(г>, #), надо преобразовать к новым переменным урав-
нение непрерывности A16.2). Написав производные в виде яко-
бианов:
д(рух, у) _ д(руу, х) _ q
д(х, у) д(х, у)
умножив затем на д(х, y)/d(v, в) и подставив сюда значения vx
и vy из A16.5), имеем
d(pvcos6, у) d(pvsin6, х) _ ^
d(v, в) ~ d(v, в) ~
При раскрытии этих якобианов надо подставить для хну выра-
ж:ения A16.6). Кроме того, поскольку энтропия s является задан-
ной постоянной величиной, то, выразив плотность в виде функ-
ции от s и w и подставив для w выражение w = г^о — ^2/2, мы
найдем, что плотность может быть написана в виде функции
только от скорости: р = p(v). Имея все это в виду, получим пос-
ле простых преобразований следующее уравнение:
d(pv)(d$ , 1д2Ф\ , д2Ф п
кг } — + + pv = 0.
dv V dv v дв2 ) dv2
Согласно (83.5) имеем
и в результате получим окончательно для функции Ф(г>, в) сле-
дующее уравнение Чаплыгина:
оч j g!i + ,gj = o. (П6.8)
дв2 l-v2/c2dv2 dv V 7
Здесь скорость звука является заданной функцией скорости,
с = с(г>), определяемой уравнением состояния газа и уравнением
Вернул ли.
Уравнение A16.8) вместе с соотношениями A16.6) заменя-
ет собой уравнения движения. Таким образом, задача о решении
нелинейных уравнений движения сводится к решению линейного
§ 116 УРАВНЕНИЕ ЧАПЛЫГИНА 607
уравнения для функции Ф(г>, в). Правда, нелинейными оказыва-
ются зато граничные условия для этого уравнения. Эти условия
заключаются в следующем. На поверхности обтекаемого тела
скорость газа направлена по касательной к ней. Выразив коорди-
наты уравнения поверхности в виде параметрических уравнений
X = X@),Y = Y@) (как это было объяснено в предыдущем па-
раграфе) и подставив X и Y в A16.6) вместо ж и у, мы получим
два уравнения, которые должны удовлетворяться при всех зна-
чениях #, что возможно отнюдь не при всякой функции Ф(г>, 0).
Граничное условие как раз и будет заключаться в требовании,
чтобы оба эти уравнения были совместными при всех #, т. е. одно
из них должно быть автоматическим следствием другого.
Удовлетворения граничных условий, однако, еще не доста-
точно для того, чтобы гарантировать пригодность полученного
решения уравнения Чаплыгина для определения реального те-
чения во всей области движения в физической плоскости. Необ-
ходимо еще выполнение следующего требования: якобиан
д _ д(х, у)
д@, v)
нигде не должен менять знак, проходя через нуль (за исклю-
чением лишь тривиального случая, когда обращаются в нуль
все четыре составляющие его производные). Легко видеть, что
если это условие нарушается, то при прохождении через опре-
деленную равенством А = 0 (так называемую предельную) ли-
нию в плоскости ху решение, вообще говоря, становится комп-
лексным :) . Действительно пусть на линии v = vq@) имеем А =
= 0 и пусть при этом (ду/д0)у ^ 0. Тогда имеем
_ (дх\ =0
\dvJy
dyJv д(у,в)д(у,у) d(v,y) \dvJy
Отсюда видно, что вблизи предельной линии v как функция от
х (при заданном у) определяется уравнением вида
1(д2х\ , ч2
х-х0 = -(—) ^-^о ,
2 \ov2 /у
и по одну из сторон от предельной линии v становится комп-
лексной 2) .
) Прохождение же через нуль путем обращения А в бесконечность не за-
прещается. Если на некоторой линии 1/А = 0, то это приводит лишь к
тому, что соответствие между плоскостями ху и v6 становится не взаимно
однозначным в том смысле, что при обходе плоскости ху некоторая часть
плоскости v9 проходится дважды или трижды.
2) Это утверждение остается, очевидно, справедливым и в тех случаях,
когда одновременно с А обращается в нуль и (d2x/dv2)y, но производная
(dx/dv)y по-прежнему меняет знак при v = г>о, т. е. разность х — хо пропор-
циональна более высокой четной степени v — vq.
608 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII
Легко видеть, что предельная линия может появиться лишь
в областях сверхзвукового движения. Непосредственное вычис-
ление с использованием соотношений A16.6) и уравнения A16.8)
дает
/ д2Ф
\dOdv
~дв)
A16.
Ясно, что при v ^ с всегда А > 0, и лишь при v > с А может
изменить знак, пройдя через нуль.
Появление в решении уравнения Чаплыгина предельных ли-
ний свидетельствует о том, что в данных конкретных условиях
невозможен непрерывный во всей области движения режим об-
текания, и в потоке должны возникать ударные волны. Следует,
однако, подчеркнуть, что положение этих волн отнюдь не совпа-
дает с предельными линиями.
В предыдущем параграфе мы рассмотрели частный случай
сверхзвукового стационарного двумерного течения (простую
волну), характерный тем, что в нем величина скорости явля-
ется функцией только ее направления: v = v@). Это решение
не могло бы быть получено из уравнения Чаплыгина; для него
тождественно 1/Д = 0, и оно теряется, когда при преобразовании
к плоскости годографа приходится умножать уравнение движе-
ния (уравнение непрерывности) на якобиан А. Положение здесь
аналогично тому, что мы имели в теории одномерного нестацио-
нарного движения. Все сказанное в § 105 о взаимоотношении
между простой волной и общим интегралом уравнения A05.2)
полностью относится и ко взаимоотношению между стационар-
ной простой волной и общим интегралом уравнения Чаплыгина.
Положительность якобиана А при дозвуковом движении по-
зволяет установить определенное правило, относящееся к на-
правлению поворота скорости вдоль потока (А.А. Никольский,
Г.И. Таганов, 1946). Имеем тождественно
1 = 0@, у) _ 0@, у) 0(ж, у)
А 0(ж, у) 0(ж, у) 0(ж, у)'
или
dxJv\dy
В дозвуковом потоке А > 0, и мы видим, что производные
(дв/дх)у и (dv/dy)x имеют одинаковый знак. Этот результат
имеет простой геометрический смысл: если передвигаться вдоль
линии v = const = ^о так, чтобы область v < vq лежала справа, то
угол в будет монотонно возрастать, т. е. вектор скорости моно-
тонно поворачивается против часовой стрелки. Этот результат
§ 117 ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОГО СТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ 609
относится, в частности, и к линии перехода из до- в сверхзвуко-
вое течение, вдоль которой v = с = с*.
В заключение выпишем уравнение Чаплыгина для политроп-
ного газа выразив в нем в явном виде с через v:
v
Это уравнение обладает семейством частных интегралов, выра-
жающихся через гипергеометрические функции г) .

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Чаплыгина (общая задача о двумерном стационарном движении сжимаемого газа)» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»

Заказать диплом курсовую реферат
Реферати та публікації на інші теми: Аудит звітності з податку з власників транспортних засобів та інш...
АКТИВНІ ОПЕРАЦІЇ БАНКІВ
Метафора і метонімія
Дохідність на акцію
Комунікаційні сервіси Internet


Категорія: Теоретична фізика у 10 томах | Додав: koljan (30.11.2013)
Переглядів: 533 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]

Онлайн замовлення

Заказать диплом курсовую реферат

Інші проекти




Діяльність здійснюється на основі свідоцтва про держреєстрацію ФОП