Рядом поучительных особенностей обладает задача о сходя- щейся к центру ударной волне большой интенсивности 2) . Вопрос о конкретном механизме возникновения такой волны нас не будет интересовать; достаточно представлять себе, что волна создана каким-то «сферическим поршнем», сообщающим газу начальный толчок; по мере схождения к центру волна усиливается. Мы будем рассматривать движение газа на той стадии процес- са, когда радиус R сферической поверхности разрыва уже мал по сравнению с ее начальным радиусом — радиусом «поршня» Rq. На этой стадии характер движения в значительной степени (ни- же будет видно —какой) не зависит от конкретных начальных условий. Ударную волну будем считать уже настолько сильной, что давлением р\ газа перед ней можно (как и в предыдущем па- раграфе) пренебречь по сравнению с давлением р2 позади нее. Что касается полной энергии газа, заключенной в рассматри- ваемой (переменной!) области г ~ R <С i?o, то она отнюдь не постоянна (как будет видно ниже — убывает со временем). Пространственный масштаб рассматриваемого движения мо- жет определяться лишь самим, меняющимся со временем, ра- диусом ударной волны i?(?), а масштаб скорости — производной dR/dt. В этих условиях естественно предположить, что движе- ние будет автомодельным, с независимой «автомодельной пере- менной» ? = г/R(t). Однако зависимость R(t) нельзя определить из одних только соображений размерности. Примем момент фокусировки ударной волны (т. е. момент, когда R обращается в нуль) в качестве t = 0. Тогда времени до фокусировки отвечают значения t < 0. Будем искать функцию R(t) в виде R(t) = A(-t)a A07.1) с неизвестным заранее показателем автомоделъности а. Ока- зывается, что этот показатель определяется условием существо- *) Результаты вычислений для других значений j, а также аналогичное решение задачи о сильном взрыве в случае цилиндрической симметрии при- ведены Л.И. Седовым в кн.: «Методы подобия и размерности в механике», изд. 9. —М.: Наука, 1981, гл. IV, § 11. 2) Эта задача была рассмотрена независимо Гудерлеем (G. Guderley, 1942) и Л.Д. Ландау и К.П. Станюковичем A944, опубликовано в 1955). 562 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X вания самого решения уравнений движения (в области г <С До) с надлежащими граничными условиями. Тем самым определя- ется и размерность постоянного параметра А. Величина же это- го параметра остается неопределенной и может быть, в принци- пе, найдена лишь путем решения задачи о движении газа в це- лом, т. е. путем сшивки автомодельного решения с решением на расстояниях г ~ До, зависящим от конкретных начальных усло- вий. Именно через этот параметр, и только через него, зависит движение при Д <С Rq от способа начального создания ударной волны. Покажем, как осуществляется решение поставленной таким образом задачи. Подобно тому, как это было сделано в § 106, введем безраз- мерные неизвестные функции согласно определениям " = fm P = PiG(Z), c2 = ^Z(O, (Ю7.2) где ? = — = —-— A07.3) Ц R(t) A(-t)<* V У (при а = 2/5 определения A07.2) совпадают с A06.4)). Напом- ним, что v — радиальная скорость газа относительно неподвиж- ной системы координат, связанной с неподвижным газом внутри сферы г = Rq] газ движется вместе с ударной волной по направ- лению к центру, чему отвечает v < 0 (так что V(?) > 0). Фактически искомое решение уравнений движения относит- ся лишь к области г ~ R позади ударной волны, и к достаточно малым временам t (при которых R <С До)- Но формально по- лучаемое решение охватывает все пространство г ^ R — от по- верхности разрыва до бесконечности, и все времена t ^ 0; при этом переменная ? пробегает все значения от 1 до оо. Соответ- ственно, граничные условия для функций G, V, Z должны быть поставлены при ? = 1 и ? = оо. Значение ? = 1 отвечает поверхности ударной волны; гранич- ные условия на ней совпадают с A06.6). Для установления условий на бесконечности (по ?) замеча- ем, что при t = 0 (в момент фокусировки волны) все вели- чины v, р, с2 на всех конечных расстояниях от центра дол- жны оставаться конечными. Но при t = 0, г ф 0 переменная ? = оо. Для того чтобы функции г; (г, t) и с2 (г, t) при этом оставались конечными, функции V(?) и Z(?) должны обращаться в нуль, У(оо) = 0, Z(oo) = 0. A07.4) § 107 СХОДЯЩАЯСЯ СФЕРИЧЕСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА 563 После подстановки A07.2), A07.3), система уравнений A06.7) принимает вид dint; 7 dln( j dint; 7 - Х-^- =2-Z- Vi1- - v), j dint; 7 \a ) , A07.5) dZ (последние два уравнения — ср. с A06.9)). Отметим, что незави- симая переменная ? входит в эти уравнения только в виде диф- ференциала dint;] постоянная In А при этом выпадает из урав- нений вовсе и, следовательно, остается неопределенной — в соот- ветствии со сказанным выше. Коэффициенты при производных в уравнениях A07.5) и их правые части содержат только V и Z (но не G) г) . Решив эти уравнения относительно производных, мы выразим последние через эти две функции. Таким образом, получим уравнения A076) dV CV - (I V) W y } d^ z-(i-vy (где ус = 2A — a)/(aj)). В качестве же третьего напишем уравне- ние, получающееся делением производной dZ/dln^ на оно гласит: dZ_ = Z f [Z-(l- \ _ = f +„_ dV l-v\CV->c)Z-V(l-V)(l/a-V) Если найдено нужное решение уравнения A07.8), т. е. функцио- нальная зависимость Z(V), то после этого решение уравнений A07.6), A07. 7) (нахождение зависимости ?(V) и затем G(?)) сво- дится к квадратурам. Таким образом, вся задача сводится прежде всего к реше- нию уравнения A07.8). Интегральная кривая на плоскости VZ должна выходить из точки (назовем ее точкой У) с координата- ми 1^A), Z(l) — «образа» ударной волны на плоскости VZ. Ука- занием этой точки уже определяется решение уравнения A07.8) (при заданном а): интегральная кривая уравнения первого по- рядка однозначно определяется заданием одной (не особой) ее ) Именно в этом состоит преимущество введения в качестве основных пе- ременных v, р, с2 вместо v, р, р. 564 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X точки. Выясним условие, позволяющее установить значение а, приводящее к «правильной» интегральной кривой. Это условие возникает из очевидного физического требова- ния: зависимости всех величин от ? должны быть однозначны- ми—каждому значению ? должны отвечать единственные зна- чения V, G, Z. Это значит, что во всей области изменения пере- менной ? A ^ ? ^ оо, т. е. О ^ ln? ^ оо) функции ?(У), ?(<?), i{Z) не должны иметь экстремумов. Другими словами, производные d\n?/dV, ... должны нигде не обращаться в нуль. На рис. 95 кривая 1 —парабола Z = A-VJ. A07.9) Легко видеть, что точка Y лежит над ней . Между тем, интегральная кривая, отвечаю- щая решению поставленной задачи, должна прийти в начало координат —в соответствии _у с предельным условием A07.4); поэтому она о р q- непременно пересекает параболу A07.9). Но все указанные производные выражаются, со- гласно A07.6)—A07.8), дробными выражениями, в числителе ко- торых стоит разность Z—(l—VJ. Для того чтобы эти выражения не обращались в нуль в точке пересечения интегральной кривой с параболой A07.9), должно одновременно быть CV - k)Z = V(l - V)(l/a - V). A07.10) Другими словами, интегральная кривая должна проходить через точку пересечения параболы A07.9) с кривой A07.10) (кривая 2 на рис. 95); эта точка —особая точка уравнения A07.8) (произ- водная dZ/dV = 0/0). Этим условием и определяется значение показателя автомодельности а; приведем два значения, полу- чающиеся в результате численных расчетов: а = 0,6884 при 7 = 5/3; а = 0,7172 при 7 = 7/5. A07.11) Пройдя через особую точку, интегральная кривая устремля- ется в начало координат (точка О), отвечающее предельным зна- чениям A07.4). Для уяснения математической ситуации, опишем кратко картину распределения интегральных кривых уравнения A07.8) на плоскости VZ (при «правильном» значении а), не про- водя соответствующих вычислений 2) . 1) Это обстоятельство выражает собой просто тот факт, что скорость газа на задней стороне поверхности разрыва меньше скорости звука в нем. 2) Исследование производится общими методами качественной теории дифференциальных уравнений. Классификацию типов особых точек урав- нения первого порядка можно найти в кн.: В.В. Степанов. Курс дифферен- циальных уравнений, гл. П. § 107 СХОДЯЩАЯСЯ СФЕРИЧЕСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА 565 Кривые A07.9) и A07.10) пересекаются, вообще говоря, в двух точках — кружки на рис. 95 (помимо несущественной точки V = = 1, Z = 0 на оси абсцисс). Кроме того, уравнение имеет особую точку с в пересечении кривой A07.10) с прямой (З7 — 1)^ = 2/а (обращение в нуль второго множителя в числителе в A07.8)). Точка а, через которую проходит «правильная» интегральная кривая —точка типа седла; точки b и с —узлы. Узловой особой точкой является также и начало координат О. Вблизи последне- го уравнение A07.8) принимает вид dZ_ _ 2Z dV ~ V + xZ' Элементарное интегрирование этого однородного уравнения по- казывает, что при V —> 0 функция Z(V) стремится к нулю бы- стрее, чем V, а именно Z^ const -V2. A07.12) Таким образом, из начала координат выходит бесконечное мно- жество интегральных кривых (отличающихся значением const в A07.12)). Все эти кривые входят затем в узел Ъ или узел с — за исключением лишь одной, входящей в седловую точку а (одна из двух сепаратрис — единственных интегральных кривых, про- ходящих через седло) х). Началу координат отвечает ? = оо, т. е. момент фокусировки ударной волны в центре. Определим предельные распределения всех величин по радиальным расстояниям в этот момент. С уче- том A07.12) из уравнений A07.6), A07.7) найдем, что V = const • С1/а, z = const • С2/а, G = const при f ->> 00 A07.13) (значения постоянных коэффициентов могут быть найдены толь- ко путем фактического численного определения интегральной кривой на всем ее протяжении). Подставив эти выражения в определения A07.2), получим 2) \v\ ос с ос г-A/«-1)? р = const, p ос r-2(iA*-i)e (Ю7.14) Эти законы можно было бы найти и прямо из соображений раз- мерности (после того, как стала известной размерность А). Описанная картина, как оказывается, имеет место лишь при j < 71 = = 1,87... При 7 = 7i и «правильном» а точки а и Ъ сливаются, а при 7 > 7i картина распределения интегральных кривых меняется и требуется более глубокое исследование. Напомним, однако, что в физически реальных случаях 7 ^ 5/3 (ср. примеч. на с. 560). ) Предельное значение отношения р/pi в момент фокусировки равно 20,1 для 7 = 7/5 и 9,55 для 7 = 5/3. 566 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X В нашем распоряжении имеется два параметра, р\ и А, и од- на переменная г; из них можно составить всего одну комбинацию размерности скорости: ^V^i-i/a. величиной же с размерностью плотности является лишь само р\. Найдем еще закон, по которому меняется со временем полная энергия газа в области автомодельного движения. Размеры (по радиусу) этой области — порядка величины радиуса R ударной волны и уменьшаются вместе с ним. Примем условно за гра- ницу автомодельной области некоторое определенное значение r/R = ?1. Полная энергия газа в сферическом слое между ра- диусами R и ^\R после введения безразмерных переменных вы- ражается интегралом J 1-2 7G-1) (ср. A06.11)). Интеграл здесь — постоянное число х) . Поэтому находим, что .С/авт ОС К ' ОС \ — t) . [W (.lOj Для всех реальных значений 75 показатель степени здесь поло- жителен. Хотя интенсивность самой ударной волны растет по мере ее приближения к центру, но в то же время уменьшает- ся объем области автомодельного движения и это приводит к уменьшению полной заключенной в ней энергии. После фокусировки в центре возникает «отраженная» удар- ная волна, расширяющаяся (при t > 0) навстречу движущемуся к центру газу. Движение в этой стадии тоже автомодельно, с тем же показателем автомодельности а, так что закон расшире- ния R ос ta. Более подробным исследованием этого движения мы здесь заниматься не будем 2) . Таким образом, рассмотренная задача дает пример автомо- дельного движения, в котором, однако, показатель автомодель- ности (т. е. вид автомодельной переменной ?) не может быть определен из соображений размерности; он определяется лишь в результате решения самих уравнений движения, с учетом усло- вий, диктуемых физической постановкой задачи. С математиче- ской точки зрения характерно, что эти условия формулируются как требование прохождения интегральной кривой дифференци- ального уравнения первого порядка через его особую точку. При Интеграл расходится при ?i —»¦ оо. Это обстоятельство — следствие неприменимости автомодельного режима на расстояниях r^>R. ) Укажем лишь, что отражение ударной волны сопровождается дальней- шим сжатием вещества, достигающим 145 для 7 = 7/5 и 32,7 для 7 = 5/3. § 108 ТЕОРИЯ «МЕЛКОЙ ВОДЫ» 567 этом показатель автомодельности оказывается, вообще говоря, иррациональным числом .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Сходящаяся сферическая ударная волна» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 