ДИПЛОМНІ КУРСОВІ РЕФЕРАТИ


ИЦ OSVITA-PLAZA

Реферати статті публікації

Пошук по сайту

 

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Теоретична фізика у 10 томах

Произвольное одномерное движение сжимаемого газа
Рассмотрим теперь общую задачу о произвольном одномер-
ном изэнтропическом движении сжимаемого газа (без ударных
волн) и покажем прежде всего, что эта задача может быть сведе-
на к решению некоторого линейного дифференциального урав-
нения.
Всякое одномерное движение (движение, зависящее всего от
одной пространственной координаты) непременно потенциально,
§ 105 ПРОИЗВОЛЬНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 549
так как всякую функцию г;(ж, t) можно представить в виде про-
изводной v(x, t) = dip(x, t)/dx. Поэтому мы можем воспользо-
ваться в качестве первого интеграла уравнения Эйлера уравне-
нием Бернулли (9.3):
— + — + w = 0.
dt 2
С помощью этого равенства получаем для дифференциала dip:
dip = — dx + — dt = v dx — ( — + w) dt.
^ dx dt V 2 У
Независимыми переменными являются здесь х и t\ произведем
теперь переход к новым независимым переменным, выбрав в ка-
честве таковых v и w. Для этого производим преобразование Ле-
жандра; написав
dip = d(xv) — xdv — dltlw + — )\ +td[w + — )
I \ 2 / J V 2 /
и введя вместо потенциала ip новую вспомогательную функцию
X = <Р — xv -\- tlw -\- — К
получаем
dx = —xdv + td(w + — j = tdw + (vt — x) dv,
где x рассматривается как функция от v и w. Сравнив это соот-
ношение с равенством dx = — dw + — dv, имеем
dw dv
dw dv
или
dw dw dv
Если функция x{v-> w) известна, то по этим формулам опреде-
лится зависимость v и w от координаты х и времени t.
Выведем теперь уравнение, определяющее %. Для этого ис-
ходим из неиспользованного еще уравнения непрерывности
др , д ( ч dp , dp , dv n
dt dx dt dx dx
Преобразуем это уравнение к переменным v,w. Написав частные
производные в виде якобианов, имеем
д(р, х) ^ d(t, p) d(t, v) _ q
d(t ) h
d(t, x) d(t, x) h d(t, x)
550 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X
или, умножая на d(t, x)/d(w, v):
д(р, х) + v d(t, p) + p d(t, v) = Q
d(w, v) d(w, v) d(w, v)
При раскрытии этих якобианов надо иметь в виду следующее.
Согласно уравнению состояния газа плотность р есть функция
каких-либо двух других независимых термодинамических вели-
чин; например, можно рассматривать р как функцию от w и s.
При s = const тогда будет просто р = p(w); существенно при
этом, что в переменных г>, w плотность оказывается не завися-
щей от v. Раскрывая якобианы, получаем поэтому
dp дх dp dt . dt n
— — —v — — + p— = 0.
dw dv dw dv dw
Подставляя сюда для t и х выражения A05.1), получаем после
сокращений:
( ) + =0
pdw\dw dv2) dw2
При s = const имеем dw = dp/p. Поэтому можно написать
dp _ dp dp _ p
dw dp dw c2
Окончательно получаем для х следующее уравнение:
(скорость звука с надо рассматривать здесь как функцию от
w). Задача об интегрировании нелинейных уравнений движения
приведена, таким образом, к решению линейного уравнения.
Применим полученное уравнение к политропному газу. Здесь
с2 = G — 1)^, и основное уравнение A05.2) принимает вид
f!f f. A05.3)
Это уравнение может быть проинтегрировано в общем виде эле-
ментарным образом, если число является целым четным
7-1
числом:
i^ = 2n, 7 = ir^J, n = 0,l,2,... A05.4)
7 — 1 2n + 1
Этому условию как раз удовлетворяют одноатомный G = 5/3,
п = 1) и двухатомный G = 7/5, п = 2) газы. Вводя п вместо 7,
переписываем A05.3) в виде
^^9! 9. A05.5)
w +
2n + l dw2 dv2 dw
§ 105 ПРОИЗВОЛЬНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 551
Будем обозначать функцию, удовлетворяющую этому урав-
нению при заданном п, посредством Хп- Для функции хо имеем
Введя вместо w переменную и = y/2w , получаем
q
ди2 dv2
Но это есть обычное волновое уравнение, общее решение кото-
рого есть: хо — fi(u + v) + /2^ — г;), где /i, /2 — произвольные
функции. Таким образом,
- v). A05.6)
Покажем теперь, что если известна функция Хп-> т0 функцию
Xn+i мож:но получить простым дифференцированием. В самом
деле, дифференцируя уравнение A05.5) по w, получаем после
перегруппировки членов:
2 w °2 (дХп) + 2п + 3 д (°Хп\ _ д^(дХп) = 0
2п + 1 dw2 \dw ) 2n + 1 dw \ dw ) dv2\dw)
Если ввести вместо v переменную
/ /2п
V = V\
V 2п + 1
то получим для dxn/dw уравнение
2 2
w () +() (
2(п + 1) + 1 а^2 V dw ) dwKdwJ dv'2 V dw
д (дХп) +±@Хп) _ ^(дХп) = 0
а2 V d ) dKdJ d'2 V d J '
совпадающее с уравнением A05.5) для функции Xn+ii^-, vf). Та-
ким образом, мы приходим к результату, что
, v = —Хп(щ V) = — Хп(^, \ ——-v )• 105.7
aw; aw \ pn + 3 /
Применяя эту формулу п раз к функции хо A05.6), получаем
искомое общее решение уравнения A05.5):
или
>)+/2
х =
n + 1)«; - v)]
где Fij F2 — снова две произвольные функции.
552 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X
Если ввести вместо w скорость звука согласно
с2 2п + 1 2
w = = с ,
7-1 2
то решение A05.8) примет вид
[( У(^) (Ш5.9)
/ 1с \ 2га+ 1/ с \ 2n + l/J
Выражения
= с ± v.
2
с ±
2п + 1
стоящие в качестве аргумента в произвольных функциях, пред-
ставляют собой не что иное, как инварианты Римана A04.3), по-
стоянные на характеристиках.
В применениях часто возникает необходимость в вычислении
значений функции x{v-> c) на характеристике. Для этой цели слу-
жит следующая формула х) :
А)""' \Ыс
cdcJ Ic \
\cdcJ Ic \
при
2п
= с + a
(а — произвольная постоянная).
Выясним теперь, в каком взаимоотношении с найденным
здесь общим решением газодинамических уравнений находится
решение, описывающее простую волну. Последнее отличается
тем свойством, что в нем v nw являются определенной функцией
1) Проще всего эту формулу можно вывести с помощью теории функ-
ций комплексного переменного, используя теорему Коши. Для произвольной
функции F(c + и) имеем
д
с 2тгг
где интеграл берется в плоскости комплексного переменного z по контуру,
охватывающему точку z = с . Положив теперь и = с + а и произведя в
интеграле подстановку y/z = 2? — с, получим
1 (п-1)! Г FBC
2тгг
где теперь контур интегрирования по ?, охватывает точку С = С5 снова при-
меняя теорему Коши, находим, что этот интеграл совпадает с написанным
в тексте выражением.
§ 105 ПРОИЗВОЛЬНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 553
друг от друга, v = v(w), и поэтому обращается тождественно в
нуль якобиан
д _ d(v, w)
д[х, t) '
Между тем при преобразовании к переменным г>, w нам при-
шлось разделить уравнение движения на этот якобиан, в резуль-
тате чего решение, для которого А = 0, оказалось потерянным.
Таким образом, простая волна не содержится непосредствен-
но в общем интеграле уравнений движения, а является их особым
интегралом.
Для понимания природы этого особого интеграла существен-
но, однако, что он может быть получен из общего интеграла
путем своеобразного предельного перехода, тесно связанного с
физическим смыслом характеристик как линий распространения
малых возмущений. Представим себе, что область плоскости vw,
в которой функция x{v-> w) отлична от нуля, стягивается к очень
узкой в (пределе — к бесконечно узкой) полосе вдоль одной из ха-
рактеристик. Производные от х в поперечных к характеристике
направлениях пробегают при этом значения в очень широком
(в пределе — бесконечном) интервале, поскольку \ очень быстро
убывает в этих направлениях. Такого рода решения %(г;, w) урав-
нений движения заведомо должны существовать. Действительно,
рассматриваемые как «возмущение» в плоскости vw они удовле-
творяют условиям геометрической акустики и, как должно быть
для таких возмущений, расположены вдоль характеристики.
Из сказанного ясно, что при такой функции х время t =
= dx/dw будет пробегать сколь угодно большой интервал значе-
ний. Производная же от х вдоль характеристики будет некото-
рой конечной величиной. Но вдоль характеристики (например,
одной из характеристик Г_) имеем
dJ- _ 1 1 dp dw _ -, 1 dw _ p
dv pc dw dv с dv
Поэтому производная от ^ по и вдоль характеристики (обозна-
чим ее как —f(v)) есть
dx = Ox + dx_dw_ = Ох + сдх = _/(^).
dv dv dw dv dv dw
Выражая частные производные от х через х и t согласно A05.1),
получим отсюда соотношение х = (v + c)t + f(v), т. е. как раз
уравнение A01.5) простой волны. Соотношение же A01.4), уста-
навливающее связь между г> и с в простой волне, автоматически
выполняется в силу постоянства J_ вдоль характеристики Г_.
В § 104 было показано, что если в некоторой части плоско-
сти xt решение уравнений движения сводится к постоянному те-
554 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X
чению, то в граничащих с нею областях должна иметься про-
стая волна. Поэтому движение, описывающееся общим решени-
ем A05.8), может следовать за постоянным движением (в част-
ности, за областью покоя), лишь через промежуточную стадию
простой волны. Граница между простой волной и общим реше-
нием, как и всякая граница между областями двух аналитически
различных решений, есть характеристика. При решении различ-
ных конкретных задач возникает необходимость в определении
значения функции x(wi v) на этой граничной характеристике.
Условие сшивания простой волны с общим решением на гра-
ничной характеристике получается подстановкой выражений
A05.1) для х и t в уравнение простой волны х = (г; ± c)t + f(v)]
это дает
§* ± |х+/(„) = 0.
OV OW
Кроме того, в простой волне (и на граничной характеристике)
имеем
7 | dp | dw
dv = ±— = ± —,
рс с
или ±с = dw/' dv. Подставив это в написанное условие, получим
? + ?^ + /(«) = ? + /(«) = о,
ov ow dv dv
откуда окончательно
f(v)dv, A05.11)
чем и определяется искомое граничное значение %. В частно-
сти, если простая волна центрирована в начале координат, т. е.
f{v) = 0, то х — const; поскольку функция \ вообще определена
лишь с точностью до аддитивной постоянной, то в этом случае
можно, не уменьшая общности, положить на граничной харак-
теристике х — 0-

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Произвольное одномерное движение сжимаемого газа» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»

Заказать диплом курсовую реферат
Реферати та публікації на інші теми: Непрямі форми державного фінансового сприяння санації підприємств
Проектне фінансування інвестиційних проектів
РЕЗЕРВНИЙ КАПІТАЛ ПІДПРИЄМСТВА, ЙОГО ВИДИ ТА ДЖЕРЕЛА ФОРМУВАННЯ
НЕОБХІДНІСТЬ, ЗАВДАННЯ ТА ПРИНЦИПИ ЕКСПЕРТНОГО ОЦІНЮВАННЯ ВАРТОСТ...
Выстрел на дне океана


Категорія: Теоретична фізика у 10 томах | Додав: koljan (30.11.2013)
Переглядів: 578 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]

Онлайн замовлення

Заказать диплом курсовую реферат

Інші проекти




Діяльність здійснюється на основі свідоцтва про держреєстрацію ФОП