Рассмотрим теперь общую задачу о произвольном одномер- ном изэнтропическом движении сжимаемого газа (без ударных волн) и покажем прежде всего, что эта задача может быть сведе- на к решению некоторого линейного дифференциального урав- нения. Всякое одномерное движение (движение, зависящее всего от одной пространственной координаты) непременно потенциально, § 105 ПРОИЗВОЛЬНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 549 так как всякую функцию г;(ж, t) можно представить в виде про- изводной v(x, t) = dip(x, t)/dx. Поэтому мы можем воспользо- ваться в качестве первого интеграла уравнения Эйлера уравне- нием Бернулли (9.3): — + — + w = 0. dt 2 С помощью этого равенства получаем для дифференциала dip: dip = — dx + — dt = v dx — ( — + w) dt. ^ dx dt V 2 У Независимыми переменными являются здесь х и t\ произведем теперь переход к новым независимым переменным, выбрав в ка- честве таковых v и w. Для этого производим преобразование Ле- жандра; написав dip = d(xv) — xdv — dltlw + — )\ +td[w + — ) I \ 2 / J V 2 / и введя вместо потенциала ip новую вспомогательную функцию X = <Р — xv -\- tlw -\- — К получаем dx = —xdv + td(w + — j = tdw + (vt — x) dv, где x рассматривается как функция от v и w. Сравнив это соот- ношение с равенством dx = — dw + — dv, имеем dw dv dw dv или dw dw dv Если функция x{v-> w) известна, то по этим формулам опреде- лится зависимость v и w от координаты х и времени t. Выведем теперь уравнение, определяющее %. Для этого ис- ходим из неиспользованного еще уравнения непрерывности др , д ( ч dp , dp , dv n dt dx dt dx dx Преобразуем это уравнение к переменным v,w. Написав частные производные в виде якобианов, имеем д(р, х) ^ d(t, p) d(t, v) _ q d(t ) h d(t, x) d(t, x) h d(t, x) 550 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X или, умножая на d(t, x)/d(w, v): д(р, х) + v d(t, p) + p d(t, v) = Q d(w, v) d(w, v) d(w, v) При раскрытии этих якобианов надо иметь в виду следующее. Согласно уравнению состояния газа плотность р есть функция каких-либо двух других независимых термодинамических вели- чин; например, можно рассматривать р как функцию от w и s. При s = const тогда будет просто р = p(w); существенно при этом, что в переменных г>, w плотность оказывается не завися- щей от v. Раскрывая якобианы, получаем поэтому dp дх dp dt . dt n — — —v — — + p— = 0. dw dv dw dv dw Подставляя сюда для t и х выражения A05.1), получаем после сокращений: ( ) + =0 pdw\dw dv2) dw2 При s = const имеем dw = dp/p. Поэтому можно написать dp _ dp dp _ p dw dp dw c2 Окончательно получаем для х следующее уравнение: (скорость звука с надо рассматривать здесь как функцию от w). Задача об интегрировании нелинейных уравнений движения приведена, таким образом, к решению линейного уравнения. Применим полученное уравнение к политропному газу. Здесь с2 = G — 1)^, и основное уравнение A05.2) принимает вид f!f f. A05.3) Это уравнение может быть проинтегрировано в общем виде эле- ментарным образом, если число является целым четным 7-1 числом: i^ = 2n, 7 = ir^J, n = 0,l,2,... A05.4) 7 — 1 2n + 1 Этому условию как раз удовлетворяют одноатомный G = 5/3, п = 1) и двухатомный G = 7/5, п = 2) газы. Вводя п вместо 7, переписываем A05.3) в виде ^^9! 9. A05.5) w + 2n + l dw2 dv2 dw § 105 ПРОИЗВОЛЬНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 551 Будем обозначать функцию, удовлетворяющую этому урав- нению при заданном п, посредством Хп- Для функции хо имеем Введя вместо w переменную и = y/2w , получаем q ди2 dv2 Но это есть обычное волновое уравнение, общее решение кото- рого есть: хо — fi(u + v) + /2^ — г;), где /i, /2 — произвольные функции. Таким образом, - v). A05.6) Покажем теперь, что если известна функция Хп-> т0 функцию Xn+i мож:но получить простым дифференцированием. В самом деле, дифференцируя уравнение A05.5) по w, получаем после перегруппировки членов: 2 w °2 (дХп) + 2п + 3 д (°Хп\ _ д^(дХп) = 0 2п + 1 dw2 \dw ) 2n + 1 dw \ dw ) dv2\dw) Если ввести вместо v переменную / /2п V = V\ V 2п + 1 то получим для dxn/dw уравнение 2 2 w () +() ( 2(п + 1) + 1 а^2 V dw ) dwKdwJ dv'2 V dw д (дХп) +±@Хп) _ ^(дХп) = 0 а2 V d ) dKdJ d'2 V d J ' совпадающее с уравнением A05.5) для функции Xn+ii^-, vf). Та- ким образом, мы приходим к результату, что , v = —Хп(щ V) = — Хп(^, \ ——-v )• 105.7 aw; aw \ pn + 3 / Применяя эту формулу п раз к функции хо A05.6), получаем искомое общее решение уравнения A05.5): или >)+/2 х = n + 1)«; - v)] где Fij F2 — снова две произвольные функции. 552 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X Если ввести вместо w скорость звука согласно с2 2п + 1 2 w = = с , 7-1 2 то решение A05.8) примет вид [( У(^) (Ш5.9) / 1с \ 2га+ 1/ с \ 2n + l/J Выражения = с ± v. 2 с ± 2п + 1 стоящие в качестве аргумента в произвольных функциях, пред- ставляют собой не что иное, как инварианты Римана A04.3), по- стоянные на характеристиках. В применениях часто возникает необходимость в вычислении значений функции x{v-> c) на характеристике. Для этой цели слу- жит следующая формула х) : А)""' \Ыс cdcJ Ic \ \cdcJ Ic \ при 2п = с + a (а — произвольная постоянная). Выясним теперь, в каком взаимоотношении с найденным здесь общим решением газодинамических уравнений находится решение, описывающее простую волну. Последнее отличается тем свойством, что в нем v nw являются определенной функцией 1) Проще всего эту формулу можно вывести с помощью теории функ- ций комплексного переменного, используя теорему Коши. Для произвольной функции F(c + и) имеем д с 2тгг где интеграл берется в плоскости комплексного переменного z по контуру, охватывающему точку z = с . Положив теперь и = с + а и произведя в интеграле подстановку y/z = 2? — с, получим 1 (п-1)! Г FBC 2тгг где теперь контур интегрирования по ?, охватывает точку С = С5 снова при- меняя теорему Коши, находим, что этот интеграл совпадает с написанным в тексте выражением. § 105 ПРОИЗВОЛЬНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 553 друг от друга, v = v(w), и поэтому обращается тождественно в нуль якобиан д _ d(v, w) д[х, t) ' Между тем при преобразовании к переменным г>, w нам при- шлось разделить уравнение движения на этот якобиан, в резуль- тате чего решение, для которого А = 0, оказалось потерянным. Таким образом, простая волна не содержится непосредствен- но в общем интеграле уравнений движения, а является их особым интегралом. Для понимания природы этого особого интеграла существен- но, однако, что он может быть получен из общего интеграла путем своеобразного предельного перехода, тесно связанного с физическим смыслом характеристик как линий распространения малых возмущений. Представим себе, что область плоскости vw, в которой функция x{v-> w) отлична от нуля, стягивается к очень узкой в (пределе — к бесконечно узкой) полосе вдоль одной из ха- рактеристик. Производные от х в поперечных к характеристике направлениях пробегают при этом значения в очень широком (в пределе — бесконечном) интервале, поскольку \ очень быстро убывает в этих направлениях. Такого рода решения %(г;, w) урав- нений движения заведомо должны существовать. Действительно, рассматриваемые как «возмущение» в плоскости vw они удовле- творяют условиям геометрической акустики и, как должно быть для таких возмущений, расположены вдоль характеристики. Из сказанного ясно, что при такой функции х время t = = dx/dw будет пробегать сколь угодно большой интервал значе- ний. Производная же от х вдоль характеристики будет некото- рой конечной величиной. Но вдоль характеристики (например, одной из характеристик Г_) имеем dJ- _ 1 1 dp dw _ -, 1 dw _ p dv pc dw dv с dv Поэтому производная от ^ по и вдоль характеристики (обозна- чим ее как —f(v)) есть dx = Ox + dx_dw_ = Ох + сдх = _/(^). dv dv dw dv dv dw Выражая частные производные от х через х и t согласно A05.1), получим отсюда соотношение х = (v + c)t + f(v), т. е. как раз уравнение A01.5) простой волны. Соотношение же A01.4), уста- навливающее связь между г> и с в простой волне, автоматически выполняется в силу постоянства J_ вдоль характеристики Г_. В § 104 было показано, что если в некоторой части плоско- сти xt решение уравнений движения сводится к постоянному те- 554 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X чению, то в граничащих с нею областях должна иметься про- стая волна. Поэтому движение, описывающееся общим решени- ем A05.8), может следовать за постоянным движением (в част- ности, за областью покоя), лишь через промежуточную стадию простой волны. Граница между простой волной и общим реше- нием, как и всякая граница между областями двух аналитически различных решений, есть характеристика. При решении различ- ных конкретных задач возникает необходимость в определении значения функции x(wi v) на этой граничной характеристике. Условие сшивания простой волны с общим решением на гра- ничной характеристике получается подстановкой выражений A05.1) для х и t в уравнение простой волны х = (г; ± c)t + f(v)] это дает §* ± |х+/(„) = 0. OV OW Кроме того, в простой волне (и на граничной характеристике) имеем 7 | dp | dw dv = ±— = ± —, рс с или ±с = dw/' dv. Подставив это в написанное условие, получим ? + ?^ + /(«) = ? + /(«) = о, ov ow dv dv откуда окончательно f(v)dv, A05.11) чем и определяется искомое граничное значение %. В частно- сти, если простая волна центрирована в начале координат, т. е. f{v) = 0, то х — const; поскольку функция \ вообще определена лишь с точностью до аддитивной постоянной, то в этом случае можно, не уменьшая общности, положить на граничной харак- теристике х — 0-
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Произвольное одномерное движение сжимаемого газа» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
