Произвольное малое возмущение распространяется, вообще говоря, по всем трем характеристикам (С+, С_, Со), исходящим из данной точки плоскости xt. Можно, однако, разложить про- извольное возмущение на такие части, каждая из которых рас- пространяется лишь по одной из характеристик. Рассмотрим сначала изэнтропическое движение газа. Напи- шем уравнение непрерывности и уравнение Эйлера в виде др . др . 2 dv n ~? + г>я+Рс7Г = 0' dt ох ох El+v^ + idp=0. dt dx p дх § 104 ИНВАРИАНТЫ РИМАНА 545 в уравнении непрерывности мы заменили производные от плот- ности на производные от давления согласно dp _ fdp\ dp _ 1 dp dp _ 1 dp dt ~ \dp) s dt ~ c2 dt' dx~ c2 dx' Разделив первое уравнение на =Ьрс и сложив его со вторым, по- лучим dv ±dp /Л, J_ dp\ {v c) = ( } dt pcdt \dx pcdx)y } v 7 Далее, введем в качестве новых неизвестных функций величины A04.2) , f, рС J рС называемые инвариантами Римана. Напомним, что при изэн- тропическом движении рис являются определенными функция- ми от р, и потому стоящие здесь интегралы имеют определенный смысл. Для политропного газа J+ = v + -?— с, J_ = г; - -?— с. A04.3) 7~1 j — 1 После введения этих величин уравнения движения приобре- тают простой вид ] [ ]- = °- A044) Дифференциальные операторы, действующие на J+ и J_, пред- ставляют собой не что иное, как операторы дифференцирования в плоскости xt вдоль характеристик G+ и С—. Таким образом, мы видим, что вдоль каждой из характеристик G+ и С— остается по- стоянной соответственно величина J+ или J_. Мы можем также сказать, что малые возмущения величины J+ распространяются только вдоль характеристик G+, а возмущения J_ — вдоль С—. В общем случае неизэнтропического движения уравнения A04.1) не могут быть написаны в виде A04.4), так как dp/(pc) не является полным дифференциалом. Эти уравнения, однако, по- прежнему позволяют выделить возмущения, распространяющи- еся по характеристикам лишь одного семейства. Таковыми явля- ются возмущения вида 6v ± Sp/(pc), где 6v и Jp — произвольные малые возмущения скорости и давления. Распространение этих возмущений описывается линеаризованными уравнениями Полная система уравнений движения малых возмущений полу- чается добавлением сюда еще и уравнения адиабатичности a = 0> A04-6) 18 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI 546 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X показывающего, что возмущения 5 s распространяются вдоль ха- рактеристик Со. Произвольное малое возмущение всегда можно разложить на независимые части указанных трех видов. Сравнение с формулой A01.4) показывает, что инварианты Римана A04.2) совпадают с теми величинами, которые в про- стых волнах постоянны вдоль всей области движения в течение всего времени: в простой волне, распространяющейся вправо, по- стоянно J_, а в волне, бегущей влево, постоянно J+. С математи- ческой точки зрения это есть основное свойство простых волн. Из него следует, в частности, и указанное в предыдущем параграфе свойство — прямолинейность одного из семейств характеристик. Пусть, например, волна распространяется вправо. Каждая из ха- рактеристик С+ несет свое постоянное значение J+ и, кроме того, на ней постоянна являющаяся постоянной во всей области вели- чина J-. Но из постоянства двух величин J+ и J_ следует, что постоянны также и v и р (а с ними и все остальные величины), и мы приходим к найденному в § 103 свойству характеристик С7+, непосредственно ведущему к их прямолинейности. Если в двух смежных областях плоскости xt течение описы- вается двумя аналитически различными решениями уравнений движения, то граница между этими областями есть характери- стика. Действительно, эта граница представляет собой разрыв производных каких-либо величин, т. е. некоторый слабый раз- рыв; последние же непременно совпадают с какой-либо характе- ристикой. Весьма существенное значение в теории изэнтропического од- номерного движения имеет следующее свойство простых волн: течение в области, граничащей с областью постоянного течения (течения с v = const, р = const), есть непременно простая волна. и Доказательство этого утверждения очень х_^волнаN просто. Пусть интересующая нас область 1 /с+ плоскости xt граничит справа с областью 2 постоянного течения (рис. 88). В послед- ней, очевидно, постоянны оба инварианта J+ и J_, а оба семейства характеристик прямо- линейны. Граница между обеими областя- ос течение ми есть одна из характеристик С+, и ли- Ри 88 нии С+ одной области не переходят в другую область. Характеристики же С- непрерывно продолжаются из одной области в другую и, покрывая область i, приносят в нее из области 2 постоянное значение J_. Таким об- разом, величина J_ будет постоянна и вдоль всей области i, так что последняя есть простая волна. Свойство характеристик переносить вдоль себя постоянные значения определенных величин проливает свет на общую по- становку вопроса о задании начальных и граничных условий к § 104 ИНВАРИАНТЫ РИМАНА 547 уравнениям гидродинамики. В различных конкретных физиче- ских задачах выбор этих условий обычно не вызывает сомне- ний и диктуется непосредственно физическими соображениями. В более сложных случаях могут, однако, оказаться полезными и чисто математические соображения, основанные на общих свой- ствах характеристик. Будем для определенности говорить об изэнтропическом од- номерном движении газа. С чисто математической точки зрения постановка газодинамической задачи сводится обычно к опре- делению двух искомых функций (например, v и р) в области плоскости xt, лежащей между двумя заданными кривыми (ОА и ОВ на рис. 89 а), на которых задаются граничные значения. Вопрос заключается в том, зна- чения скольких величин долж- \ 1вел. У \веЛ' 1в^" 2гвел' 2вел- ны быть заданы на этих кривых. В этом смысле существенно, как расположена каждая кривая по отношению к направлениям ис- ходящих из каждой ее точки двух ветвей характеристик С+ и С- (показанным на рис. 89 стрелками). Могут представиться два случая: либо оба направле- ния характеристик лежат по одну сторону от кривой, либо кри- вая расположена между ними. На рис. 89 а кривая О А относит- ся к первому, а О В — ко второму случаю. Ясно, что для полного определения искомых функций в области АОВ на кривой О А должны быть заданы значения двух величин (например, обоих инвариантов J+ и J-), а на кривой О В — всего одной. Действи- тельно, значения второй величины будут перенесены на кривую ОВ с кривой О А характеристиками соответствующего семейства и потому не могут быть заданы произвольным образом 2) . Ана- логично, на рис. 89 5, в изображены случаи, когда на обеих гра- ничных кривых должны быть заданы по одной или по две вели- чины. Следует также указать, что если граничная кривая совпада- ет с какой-либо характеристикой, то на ней вообще невозмож- но произвольное задание двух независимых величин, так как их Х)В плоскости xt «исходящими» из заданной точки ветвями характери- стик являются ветви, направленные в сторону возрастания t. 2)Для иллюстрации укажем пример такого случая: задача о движении газа при вдвигании или выдвигании поршня из бесконечной трубы. Здесь речь идет о нахождении решения газодинамических уравнений в области плоскости xt между двумя линиями: правой полуосью х и линией х = X(t), изображающей движение поршня (см. рисунки 86, 87). На первой линии за- даются значения двух величин (начальные условия v = 0, р = ро при t = 0), а на второй — всего одной величины (v = и, где u(t) —скорость поршня). 18* 548 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X значения связаны друг с другом одним условием — условием по- стоянства соответствующего инварианта Римана. Аналогичным образом может быть разобран вопрос о зада- нии граничных условий в общем случае неизэнтропического дви- жения. Выше мы говорили везде о характеристиках одномерного дви- жения как о линиях в плоскости xt. Характеристики могут, од- нако, быть определены и в плоскости любых других двух пе- ременных, описывающих движение. Можно, например, рассма- тривать характеристики в плоскости переменных vc. Для изэн- тропического движения уравнения этих характеристик даются просто равенствами J+ = const, J_ = = const с произвольными постоянны- ми в их правых частях (будем называть их условно характеристиками Г+ и Г_). Так, для политропного газа это есть со- гласно A04.3) два семейства параллель- ных прямых (рис. 90). Рис qq Замечательно, что эти характерис- тики всецело определяются свойствами движущейся среды (газа) как таковой и не зависят от конкретно- го решения уравнений движения. Это связано с тем, что уравне- ние изэнтропического движения в переменных г>, с есть (как мы увидим в следующем параграфе) линейное уравнение в частных производных второго порядка с коэффициентами, зависящими только от независимых переменных. Характеристики в плоскостях xt и vc являются отображе- ниями друг друга с помощью заданного решения уравнений дви- жения. Это отображение, однако, отнюдь не должно быть вза- имно однозначным. В частности, заданной простой волне соот- ветствует всего одна характеристика в плоскости vc, на которую отображаются все характеристики плоскости xt. Так, для вол- ны, бегущей вправо, это есть одна из характеристик Г_; характе- ристики С- отображаются на всю линию Г_, а характеристики С+ — на отдельные ее точки.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Инварианты Римана» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
из каждой ее точки 