Данное в § 82 определение характеристик как линий, вдоль которых распространяются (в приближении геометрической аку- стики) малые возмущения, имеет общее значение, и не ограниче- но применением к плоскому стационарному сверхзвуковому те- чению, о котором речь шла в § 82. Для одномерного нестационарного движения можно ввести характеристики как линии в плоскости xt, угловой коэффици- ент которых dx/dt равен скорости распространения малых воз- мущений относительно неподвижной системы координат. Воз- мущения, распространяющиеся относительно газа со скоростью звука в положительном или отрицательном направлении оси ж, перемещаются относительно неподвижной системы со скоростью v + с или v — с. Соответственно дифференциальные уравнения двух семейств характеристик, которые мы будем условно назы- вать характеристиками G+ и С_, гласят: A1- =U + C' dx\ — = v — с. dtJ - A03.1) Возмущения же, переносящиеся вместе с веществом газа, «рас- пространяются» в плоскости xt по характеристикам третьего § юз ХАРАКТЕРИСТИКИ 541 семейства Со, для которых — = v. dtJo A03.2) Это —просто «линии тока» в плоскости xt (ср. конец § 82) . Подчеркнем, что для существования характеристик здесь от- нюдь не требуется, чтобы движение газа было сверхзвуковым. Выражаемая характеристиками направленность распростране- ния возмущений соответствует здесь просто причинной связи движения в последующие моменты времени с предыдущим дви- жением. В качестве примера рассмотрим характеристики простой вол- ны. Для волны, распространяющейся в положительном направ- лении оси ж, имеем согласно A01.5): х = t(v + с) + f{v). Диффе- ренцируя это соотношение, получаем dx = (v + c)dt + dv[t + tc'(v) + f'(v)]. С другой стороны, вдоль характеристики С+ имеем dx = = (v + c)dt\ сравнивая оба равенства, найдем, что вдоль характе- ристики dv\t + td{v) + f'(v)] = 0. Выражение в квадратных скоб- ках не может быть равно нулю тождественно. Поэтому должно быть dv = 0, т. е. v = const. Таким образом, мы приходим к выво- ду, что вдоль каждой из характеристик С+ остается постоянной скорость, а с нею и все остальные величины (в волне, распро- страняющейся влево, таким же свойством обладают характерис- тики С-). Мы увидим в следующем параграфе, что это обстоя- тельство не случайно, а органически связано с математической природой простых волн. Из этого свойства характеристик С+ простой волны можно в свою оче- редь заключить, что они представля- ют собой семейство прямых линий в плоскости xt] скорость имеет посто- янные значения вдоль прямых х = = f[v + c(v)} + f(v) A01.5). В частно- сти, в автомодельной волне разреже- ния (простая волна с f(v) = 0) эти прямые образуют пучок с общей точкой пересечения — началом координат плоскости xt. Ввиду этого свой- ства автомодельную простую волну называют центрированной. На рис. 86 изображено семейство характеристик С+ для про- стой волны разрежения, образующейся при ускоренном выдви- Поршень Рис. Точно такими же уравнениями A03.1), A03.2) определяются характери- стики и для нестационарного сферически симметричного движения, причем надо только заменить х на сферическую координату г (характеристики бу- дут теперь линиями в плоскости rt). 542 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X Огибающая Поршень гании поршня из трубы. Это есть семейство расходящихся пря- мых, начинающихся на кривой х = X(t), изображающей дви- жение поршня. Справа от характеристики х = c$t простирается область покоящегося газа, в которой все характеристики парал- лельны друг другу. На рис. 87 дан аналогичный чертеж для простой волны сжа- тия, образующейся при ускоренном вдвигании поршня в трубу. В этом случае характеристики представляют собой сходящийся пучок прямых, которые в конце концов должны пересечься друг с другом. Поскольку каждая характери- стика несет свое постоянное значение v, их пересечение друг с другом означа- ет физически бессмысленную многознач- ность функции г;(ж, t) .Это —геометриче- ская интерпретация результата о невоз- можности неограниченного существования простой волны сжатия и неизбежности воз- никновения в ней ударной волны, к кото- рому мы пришли уже аналогичным путем в § 101. Геометрическое же истолкование условий A01.12), определяющих время и место образования ударной волны, заклю- чается в следующем. Пересекающееся се- мейство прямолинейных характеристик имеет огибающую, за- канчивающуюся со стороны малых t угловой точкой, которая и определяет первый момент возникновения многозначности. Ес- ли уравнения характеристик заданы в параметрическом виде х = x(v)j t = t(v), то положение угловой точки как раз и опреде- ляется уравнениями A01.12) . Покажем теперь коротко, каким образом данное нами физи- ческое определение характеристик как линий распространения возмущений соответствует известному из теории дифференци- альных уравнений в частных производных чисто математиче- скому аспекту этого понятия. Рассмотрим уравнение в частных производных вида Рис. 87 dxdt dt* A03.3) линейное по вторым производным (коэффициенты же А, В, С, D могут быть любыми функциями как от независимых пере- менных ж, ?, так и от неизвестной функции (р и ее первых произ- 1) Вся область между двумя ветвями огибающей трижды покрыта харак- теристиками— в соответствии с трехзначностью величин, возникающей при опрокидывании профиля волны. Особому случаю, когда ударная волна возникает на границе с областью покоя, соответствует вырождение одной из ветвей огибающей в отрезок ха- рактеристики х = cot. § 103 ХАРАКТЕРИСТИКИ 543 водных) . Уравнение A03.3) относится к эллиптическому типу, если везде В2 — АС < 0, и к гиперболическому, если В2 — АС > 0. В последнем случае уравнение Adt2 - 2Bdxdt + Cdx2 = 0, A03.4) или dx _ В ± у/В* - АС л " с ' определяет в плоскости xt два семейства кривых — характери- стик (для заданного решения <р(ж, у) уравнения A03.3)). Ука- жем, что если коэффициенты А, В, С в уравнении являются функциями только от ж, t, то характеристики не зависят от кон- кретного решения уравнения. Пусть данное течение описывается некоторым решением (р = = (р(х, t) уравнения A03.3), и наложим на него малое возмуще- ние (fi. Это возмущение предполагаем удовлетворяющим услови- ям, соответствующим геометрической акустике: оно слабо меня- ет движение ((р± мало вместе со своими первыми производными), но сильно меняется на протяжении малых расстояний (вторые производные от cpi относительно велики). Полагая в уравнении A03.3) (р = (fo + (pi, получим тогда для (fi уравнение 2 ddt dt2 ' А в с дх2 dxdt dt2 причем в коэффициентах А, В, С положено (р = щ. Следуя методу, принятому для перехода от волновой к геометрической оптике, пишем ф\ в виде ф\ = ае^, где функция ф (эйконал) — большая величина, и получаем для последней уравнение А( д-±J + 2Вд-±д-± + С(^У = 0. A03.6) V дх) дх dt \dtJ V J Уравнение распространения лучей в геометрической акусти- ке получается приравниванием dx/dt групповой скорости: dx duo ~db ~ ~dk' где , дф дф дх dt Дифференцируя соотношение Ак2 - 2Вкио + Сио2 = 0, ) Для одномерного нестационарного движения уравнению такого вида удовлетворяет потенциал скорости. 544 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X получим dx Вии — Ак dt Си - Вк' а исключая отсюда с помощью того же соотношения к/оо, мы снова придем к уравнению A03.5).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Характеристики» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 