Одной из важнейших причин возникновения поверхностей разрыва в газе могут являться разрывы в начальных условиях движения. Начальные условия (т. е. начальные распределения скорости, давления и т. п.) могут быть заданы, вообще говоря, произвольным образом. В частности, эти начальные распределе- ния отнюдь не должны быть непременно везде непрерывными функциями и могут испытывать разрывы на некоторых поверх- ностях. Так, если в некоторый момент времени привести в сопри- косновение две массы газа, сжатые до различных давлений, то поверхность их соприкосновения будет поверхностью разрыва в начальном распределении давления. Существенно, что скачки различных величин в разрывах на- чальных условий (или, как мы будем говорить, в начальных раз- рывах) могут быть совершенно произвольными; между ними не должно существовать никаких соотношений. Между тем, мы зна- ем, что на поверхности разрывов, которые могут существовать в газе в качестве устойчивых образований, должны соблюдаться определенные условия; так, скачки плотности и давления в удар- ной волне связаны друг с другом ударной адиабатой. Поэтому ясно, что если в начальном разрыве эти необходимые условия не соблюдаются, то в дальнейшем он во всяком случае не сможет продолжать существовать как таковой. Вместо этого начальный разрыв, вообще говоря, распадается на несколько разрывов, ка- ждый из которых является каким-нибудь из возможных типов разрывов (ударная волна, тангенциальный разрыв, слабый раз- рыв); с течением времени эти возникшие разрывы будут отхо- дить друг от друга г) . В течение малого промежутка времени, начиная от началь- ного момента t = 0, разрывы, на которые распадается началь- ный разрыв, еще не успеют разойтись на большие расстояния друг от друга, и потому вся исследуемая картина движения бу- дет ограничена сравнительно узким объемом, прилегающим к поверхности начального разрыва. Как обычно, достаточно рас- сматривать в общем случае отдельные участки поверхности на- чального разрыва, каждый из которых можно считать плоским. Поэтому можно ограничиться рассмотрением плоской поверхно- сти разрыва. Мы выберем эту плоскость в качестве плоскости yz. Из соображений симметрии очевидно, что разрывы, на которые распадется начальный разрыв при t > 0, будут тоже плоскими и перпендикулярными к оси х. Вся картина движения будет зави- сеть только от одной координаты х (и времени), так что задача сводится к одномерной. Благодаря отсутствию каких бы то ни было характеристических параметров длины и времени, задача х) Общее исследование этого вопроса дано Н.Е. Кочиным A926). 518 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X автомодельна, и мы можем воспользоваться полученными в пре- дыдущем параграфе результатами. Разрывы, возникающие при распаде начального разрыва, должны, очевидно, двигаться от места их образования, т. е. от места нахождения начального разрыва. Легко видеть, что при этом в каждую из двух сторон (в положительном и отрицатель- ном направлениях оси х) может двигаться либо одна ударная волна, либо одна пара слабых разрывов, ограничивающих волну разрежения. Действительно, если бы, скажем, в положительном направлении оси х распространялись две образовавшиеся в од- ном и том же месте в момент t = 0 ударные волны, то передняя из них должна была бы двигаться со скоростью большей, чем скорость задней волны. Между тем согласно общим свойствам ударных волн первая должна двигаться относительно остающе- гося за ней газа со скоростью, меньшей скорости звука с в этом газе, а вторая должна двигаться относительно того же газа со скоростью, превышающей ту же величину с (в области между двумя ударными волнами с = const), т. е. должна догонять пер- вую. По такой же причине не могут следовать друг за другом в одну и ту же сторону ударная волна и волна разрежения (до- статочно заметить, что слабые разрывы движутся относительно газов впереди и позади них со звуковой скоростью). Наконец, две одновременно возникшие волны разрежения не могут разойтись, так как скорость заднего фронта первой равна скорости заднего фронта второй. Наряду с ударными волнами и волнами разрежения при рас- паде начального разрыва должен, вообще говоря, возникнуть так же и тангенциальный разрыв. Такой разрыв во всяком случае необходим, если в начальном разрыве испытывали скачок попе- речные компоненты скорости vyi vz. Поскольку эти компоненты скорости не меняются ни в ударной волне, ни в волне разреже- ния, то их скачок будет всегда происходить на тангенциальном разрыве, остающемся на том же месте, где находился началь- ный разрыв; с каждой стороны от этого разрыва vyi vz будут оставаться постоянными (в действительности, конечно, благода- ря неустойчивости тангенциального разрыва со скачком скоро- сти он, как всегда, с течением времени размоется в турбулентную область). Тангенциальный разрыв, однако, должен возникнуть даже и в том случае, когда vy, vz не имеют скачка в начальном разры- ве (не ограничивая общности, можно считать в этом случае, что постоянные vy и vz равны нулю, что и будет подразумеваться ни- же). Это показывают следующие соображения. Возникающие в результате распада разрывы должны дать возможность перейти от заданного состояния 1 газа с одной стороны начального раз- рыва к заданному состоянию 2 с другой стороны. Состояние газа § 100 РАЗРЫВЫ В НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ 519 1 —> l * —> 3 ГУ+ 3 a 3 3' 4, >¦ U_ 2 к > определяется тремя независимыми величинами, например, р, р и vx = v. Поэтому необходимо иметь в распоряжении три про- извольных параметра для того, чтобы посредством некоторого набора разрывов перейти, скажем, от состояния 1 к произвольно заданному состоянию 2. Но мы знаем, что ударная волна (пер- пендикулярная к направлению потока), распространяющаяся по газу, термодинамическое состояние которого задано, полностью определяется одним параметром (§ 85). То же самое относится к волне разрежения (как видно из формул (99.14)—(99.16), при заданном состоянии входящего в вол- ну разрежения газа состояние выходяще- го газа полностью определится заданием одной из величин в нем). С другой сторо- ны, мы видели, что в результате распада в каждую сторону может пойти не более одной волны — ударной или разрежения. Таким образом, мы будем иметь в нашем распоряжении всего два параметра, что недостаточно. Возникающий на месте начального разрыва тангенциальный разрыв как раз и представляет этот недостающий тре- тий параметр. На этом разрыве остает- ся непрерывным давление; плотность же (а с ней и температура, энтропия) испы- тывает скачок. Тангенциальный разрыв неподвижен относительного газа по обе- им его сторонам, и потому к нему не от- носятся использованные выше соображе- ния о взаимном обгоне двух распростра- няющихся в одном направлении волн. Газы, находящиеся по обе стороны тангенциального разрыва, не перемеши- ваются друг с другом, так как движения газа через тангенциальный разрыв нет; во всех перечисленных ниже вариантах эти газы могут быть даже газами различ- ных веществ. На рис. 78 схематически изображены все возможные типы распада начального разрыва. Сплошной линией изображен ход изменения давления вдоль оси х (изменение плотности изобра- зилось бы линией такого же характера, с той лишь разницей, что имелся бы скачок также и на тангенциальном разрыве). Верти- кальные отрезки изображают образовавшиеся разрывы, а стрел- ками указаны направления их распространения и направления движения газа. Система координат выбрана везде та, в которой Ударная волна Тангенц. разрыв Слабый разрыв Рис. 78 520 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X тангенциальный разрыв покоится; вместе с ним покоится также и газ в прилегающих к нему областях 3, 3'. Давления, плотно- сти и скорости газов в крайних слева и справа областях 1 и 2 — это те значения соответствующих величин, которые они имеют в момент времени t = 0 на обеих сторонах начального разрыва. В первом случае (который мы условно записываем в виде Н^У^ТУ^, рис. 78 а) из начального разрыва Н возникают две ударные волны У, распространяющиеся в противоположные стороны, и расположенный между ними тангенциальный разрыв Т. Этот случай осуществляется при столкновении двух масс газа, движущихся с большой скоростью навстречу друг другу. В случае Н-^У^ТР^ (рис. 78 б) по одну сторону от танген- циального разрыва распространяется ударная волна, а по дру- гую—волна разрежения Р. Этот случай осуществляется, напри- мер, если в начальный момент времени приводятся в соприкос- новение две неподвижные друг относительно друга массы газа (v2 —vi =0), сжатые до различных давлений. Действительно, из всех четырех случаев, изображенных на рис. 78, только во вто- ром из них газы 1 и 2 движутся в одинаковом направлении и потому может быть v\ = v^- Далее, в третьем случае (Н^Р^ТР^) в обе стороны от тан- генциального разрыва распространяются по волне разрежения. Если газы 1 и 2 разлетаются друг от друга с достаточно боль- шой скоростью г?2 — г>ь т0 в волнах разрежения давление мо- жет достичь при своем падении значения нуль. Тогда возникает картина, изображенная на рис. 78 г; между областями 4 и 4' образуется область вакуума 3. Выведем аналитические условия, определяющие характер распада начального разрыва в зависимости от его параметров. Будем считать во всех случаях, что р2 > Pi, а положительное направление оси х выбираем везде в направлении от области 1 к области 2 (в соответствии с рис. 78). Имея в виду, что газы по обеим сторонам начального разры- ва могут быть газами различных веществ, будем различать их, называя соответственно газами 1 и 2. 1. Распад Н^У^ТУ^. Если р% = pf3, vs = vrs, Vs, V3 — дав- ление, скорость и удельные объемы в образовавшихся после рас- пада областях 3 и 3', то имеем рз > Р2 > Pi, & объемы Vs и V% определяются как абсциссы точек с ординатами рз на ударных адиабатах, проведенных соответственно через точки pi, V\ и Р2-, У2 в качестве исходных. Поскольку газы в областях 3 и 3' в выбранной системе координат неподвижны, то согласно форму- ле (85.7) можно написать для скоростей v\ и г>2, направленных соответственно в положительном и отрицательном направлениях оси х: -.P2XV3 - V3O. § 100 РАЗРЫВЫ В НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ 521 Наименьшее значение, которое может иметь давление рз при за- данных pi и р2 так, чтобы не противоречить исходному пред- положению (рз > Р2 > Pi), есть рз = Р2- Имея также в виду, что разность v\ — V2 есть монотонно возрастающая функция ^з, находим искомое неравенство A00.1) где символом V' обозначен объем, являющийся абсциссой точ- ки с ординатой р2 на ударной адиабате газа i, проведенной че- рез точку pi, V\ в качестве начальной. Вычислив V' по формуле (89.1) (написав в ней V' вместо V2), получим для политропного газа условие A00.1) в виде /ZZ 2V . (Ю0.2) 1 - l)Pl + G1 + 1)Р2 Отметим, что условия A00.1), A00.2), устанавливающие грани- цу возможных значений разности скоростей v\ — ^2, не зависят, очевидно, от выбора системы координат. 2. Распад Н^У^ТР^. Здесь pi < рз = р'з < Р2- Для скоро- сти газа в области 1 имеем опять - V3), а полное изменение скорости в волне разрежения 4 равно соглас- но (99.7) V2 V2 = \/—dpdV. Рз При заданных р\ и р2 значения рз могут лежать в пределах от р\ до р2- Заменяя рз в разности V2 — v\ один раз на р\, а другой — на р2, получим условие V2 yS-dpdV <vx-v2< V(P2-pi)(Vi-Vf). A00.3) Здесь V' имеет тот же смысл, что и в предыдущем случае; выра- жение, определяющее верхний предел разности v\ — V2, должно вычисляться для газа i, а нижний предел — для газа 2. Для по- литропного газа получим 72-1 72-1 1 _ ?1 *n \ <Vl_V2 G1 - l)Pl + G1 + 1)P2 где С2 = V72^2^2 — скорость звука в газе 2 в состоянии р2, 522 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X 3. Распад Н^Р^ТР^. Здесь р2 > р\ > рз — Рз > 0- Тем же путем найдем следующее условие осуществления этого случая: Vl V2 V2 - [ лУ-dpdV - [ лУ-dpdV < Vi - V2 < - [ лУ-dpdV. 0 0 vi A00.5) Интеграл в правой части неравенства вычисляется для газа 2, а в левой части первый интеграл —для газа i, а второй —для газа 2. Для политропного газа получим [72-1 -1 (V\ \ 2Т9 /-1 глгл г>\ 1 — ( ?— ) L (IUU.oJ Vp2 / J где с\ = л/jiPiVi, с2 = л/гу2р2У2. Если vi - v2 < --**- - -*?*-, A00.7) 7i — l 72 — I то меж:ду волнами разреж:ения возникает область вакуума (рас- пад Н^Р^ВР^). К задаче о разрыве в начальных условиях сводятся, в част- ности, задачи о различных столкновениях плоских поверхностей разрывов. В момент столкновения обе плоскости совпадают и представляют собой некоторый «начальный разрыв», в дальней- шем распадающийся одним из описанных выше способов. Так, в результате столкновения двух ударных волн снова возникают две ударные же волны, расходящиеся от остающегося между ни- ми тангенциального разрыва: Когда одна ударная волна догоняет другую, возможны два слу- чая В обоих случаях вперед продолжает распространяться ударная же волна. К этой же категории относится задача об отражении и про- хождении ударной волны через тангенциальный разрыв (грани- цу двух сред). Здесь возможны два случая: Прошедшая во вторую среду волна всегда является ударной (см. также задачи к этому параграфу) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Разрывы в начальных условиях» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 