Важную категорию одномерных нестационарных движений сжимаемого газа составляют течения, происходящие в услови- ях, характеризующихся какими-либо параметрами скорости, но не длины. Простейший пример такого движения представляет движение газа в цилиндрической трубе, неограниченной с одной стороны и закрытой поршнем с другой, возникающее, когда пор- шень начинает двигаться с постоянной скоростью. Наряду с параметром скорости такое течение определяется еще и параметрами, дающими, скажем, давление и плотность газа в начальный момент времени. Однако из всех этих пара- метров нельзя составить никаких комбинаций с размерностью длины или времени. Отсюда следует, что распределения всех ве- личин могут зависеть от координаты х и времени t только в ви- де их отношения x/t, имеющего размерность скорости. Другими словами, эти распределения в различные моменты времени бу- дут подобны друг другу, отличаясь лишь своим масштабом вдоль оси ж, увеличивающимся пропорционально времени. Можно ска- зать, что если измерять длины в единицах, растущих пропор- ционально ?, то картина движения вообще не будет меняться — движение автомодельно. Уравнение сохранения энтропии для движения, зависящего только от одной координаты ж, гласит: ds . ds n — +vx— = 0. dt дх Считая, что все величины зависят только от переменной ? = x/t, и замечая, что при этом д_ _ ld_ д_ _ _^d_ дх~ td^ dt~ td^ будем иметь (vx — ^)sf = 0 (штрих означает здесь дифференци- рование по ?). Отсюда s' = 0, т. е. s = const ; таким образом, 1) Предположение же vx — ^ = 0 противоречило бы остальным уравнениям движения: из (99.3) получилось бы vx = const, что не соответствовало бы сделанному предположению. § 99 ОДНОМЕРНОЕ АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 509 автомодельное одномерное движение не только адиабатично, но и изэнтропично. Аналогично из у- и ^-компонент уравнения Эйлера dt X дх ' dt X дх найдем, что vy и vz постоянны; не ограничивая общности, мы можем положить их в дальнейшем равными нулю. Далее, уравнение непрерывности и ж-компонента уравнения Эйлера имеют вид | + РГ + «1? = 0, (99.1) dt дх дх % + vt = -1-t (99-2) dt дх р дх (здесь и ниже вместо vx пишем г;). После введения переменной ? они примут вид (v ~ Op' + pv' = 0, (99.3) (v - ?)v' =-? = clp'. (99.4) P P (Имея в виду постоянство энтропии, пишем во втором уравнении pf = (dp/dp)sP' = с2Р'.) Эти уравнения имеют, прежде всего, тривиальное решение v = const, p = const — однородный поток с постоянной скоро- стью. Для нахождения же нетривиального решения исключаем из уравнений р' и v' и получаем равенство (v — ?J = с2, откуда ? = v =Ь с. Будем писать это соотношение со знаком плюс: -=v + c (99.5) (выбор знака означает, что мы принимаем определенное условие для выбора положительного направления оси ж, смысл которо- го выяснится ниже). Наконец, подставляя v — ? = — с в (99.3), получим ср' = pv' или с dp = pdv. Скорость звука является функцией термодинамического состояния газа; выбрав в каче- стве основных термодинамических величин энтропию s и плот- ность р, мы можем представить скорость звука в виде функ- ции плотности с(р) при заданном постоянном значении энтро- пии. Подразумевая под с такую функцию, пишем на основании полученного равенства =[c_dp=fdp J Р J СР 510 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X Эту формулу можно написать также и в виде v= f\f-dpdV , (99.7) где не предрешается выбор независимого переменного. Формулы (99.5), (99.6) определяют искомое решение уравне- ний движения. Если функция с(р) известна, то по формуле (99.6) вычисляем скорость v как функцию плотности. Уравнение (99.5) определит тогда в неявном виде зависимость плотности от x/t, после чего определится зависимость также и всех остальных ве- личин от x/t. Выясним некоторые общие свойства полученного решения. Дифференцируя уравнение (99.5) по ж, получаем tdpd(v + c) =L (g98) д L дх dp Для производной от v + с имеем с помощью (99.6) d(v + с) с dc 1 d(pc) dp p dp p dp Но J-dv/др дифференцируя это выражение, получим «=C2« = AV9V\ _ (999) dp dp 2 V dp2 ) s Таким образом, ±±А = ^(^) >0. (99.10) dp 2 V dp2 J s Из (99.8) следует поэтому, что при t > 0 будет — > 0. Замечая, дх др одр др . п тт dv что —- = с —, заключаем, что и —- > 0. Наконец, имеем — = дх дх дх дх дх дх = - —, так что — > 0. Таким образом, имеем неравенства: р дх дх ^>0, |^>0, ^>0. (99.11) дх дх дх Смысл этих неравенств становится более ясным, если следить не за изменением величин вдоль оси х (при заданном t), а за их изменением с течением времени у данного передвигающего- ся в пространстве элемента газа. Эти изменения определяются полными производными по времени; так, для плотности имеем, воспользовавшись уравнением непрерывности: dp dp . dp dv dt dt дх дх §99 ОДНОМЕРНОЕ АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 511 Согласно третьему из неравенств (99.11) эта величина отрица- тельна; вместе с ней, разумеется, отрицательна и производная dp dt' А А ^ < О, * < 0. (99.12) dx dx Аналогичным образом (используя уравнение Эйлера (99.2)) можно убедиться, что dv/dt < 0; это, однако, не означает, что абсолютная величина скорости падает со временем, так как v может быть отрицательной. Неравенства (99.12) показывают, что плотность и давление каждого элемента газа падают по мере его передвижения в про- странстве. Другими словами, передвижение газа сопровождается его монотонным разрежением. Поэтому рассматриваемое движе- ние можно назвать нестационарной волной разрежения х) . Волна разрежения может простираться лишь на конечное расстояние вдоль оси х\ это видно уже из того, что формула (99.5) привела бы при х —>> =Ьоо к бессмысленному результату — бесконечной скорости. Применим формулу (99.5) к плоскости, ограничивающей за- нимаемую волной разрежения область пространства. При этом x/t будет представлять собой скорость движения этой границы относительно выбранной неподвижной системы координат. Ско- рость же ее относительно самого газа есть разность x/t — v и согласно (99.5) равна как раз местной скорости звука. Это зна- чит, что границы волны разрежения представляют собой слабые разрывы. Картина автомодельного движения в различных кон- кретных случаях складывается, следовательно, из волн разре- жения и областей постоянного течения, разделенных между со- бой поверхностями слабых разрывов (кроме того, конечно, могут иметься и различные области постоянного течения, разделенные между собой ударными волнами). Сделанный нами выбор знака в формуле (99.5) соответствует, как теперь видно, тому, что эти слабые разрывы предполагают- ся движущимися относительно газа в положительном направле- нии оси х. Неравенства (99.11) связаны именно с таким выбором; неравенства же (99.12), разумеется, от выбора направления оси х вообще не зависят. Обычно приходится иметь дело с такой постановкой конкрет- ных задач, при которой волна разрежения с одной стороны гра- ничит с областью неподвижного газа. Пусть эта область (/ на 1) Это движение может возникнуть лишь в результате наличия некоторой особенности в начальных условиях (так, в примере с поршнем в момент t = 0 скачком меняется скорость поршня). Обратное движение могло бы проис- ходить лишь под действием сжимающего поршня, движущегося по вполне определенному закону. Ill II 512 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X рис. 74) находится справа от волны разрежения. Область // есть волна разрежения, а III —таз, движущийся с постоянной ско- ростью; стрелками на рисунке показаны направления движения газа и перемещения ограничивающих волну разрежения слабых разрывов (разрыв а движется непременно в сторону покоящегося газа, а разрыв b может двигаться в обо- их направлениях в зависимости от вели- j. чины достигаемой в волне разрежения скорости; ср. задачу 2). Выпишем в яв- ном виде соотношения между различны- ми величинами в такой волне разреже- ния, предполагая газ политропным. При адиабатическом процессе рТ1^1) = = const. Поскольку скорость звука пропорциональна \/Т, то можно написать это соотношение в виде / \ 2/G-1) Р = ро(-) • (99.13) Подставляя это выражение в интеграл (99.6), получаем 2 f 2 = dc= - (с - с0); 7- 1 J 1-7 v 7 - 1 J 1-7 постоянная интегрирования выбрана так, что с = cq при v = О (индексом нуль отличаем значения величин в точке, в которой газ покоится). Будем выражать все величины через г>, причем надо иметь в виду, что при условленном расположении областей скорость газа направлена в отрицательную сторону оси ж, так что v < 0. Таким образом с = со-З^М, (99.14) чем определяется местная скорость звука через скорость газа. Подставляя в (99.13), находим для плотности: ^I (98.15) и аналогично для давления 2 Наконец, подставляя (99.14) в формулу (99.5), получаем (9917) чем определяется зависимость v от х и t. § 99 ОДНОМЕРНОЕ АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 513 Величина с не может быть, по самому своему существу, от- рицательной. Поэтому из формулы (99.14) можно сделать суще- ственное заключение, что скорость должна удовлетворять нера- венству ^ (99.18) \v\ ^ ; 7-1 при достижении скоростью этого предельного значения плот- ность газа (а также рис) обращается в нуль. Таким образом, первоначально покоившийся газ при нестационарном расшире- нии в волне разрежения может ускориться лишь до скорости, не превышающей 2со/G ~~ !)• Мы уже упомянули в начале параграфа простой пример ав- томодельного движения, возникающего в цилиндрической тру- бе, когда поршень начинает двигаться с постоянной скоростью. Если поршень выдвигается из трубы, он создает за собой разре- жение, и возникает описанная выше волна разрежения. Если же поршень вдвигается в трубу, он производит перед собой сжатие газа, а переход к более низкому первоначальному давлению мо- жет произойти лишь в ударной волне, которая и возникает перед поршнем, распространяясь вперед по трубе (см. задачи к этому параграфу) :).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Одномерное автомодельное движение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
; таким образом, 