Рассмотрим течение сжимаемого газа по трубе (постоянного сечения) настолько длинной, что нельзя пренебрегать трением газа о стенки, т. е. вязкостью газа. Стенки трубы мы будем пред- полагать теплоизолированными, так что никакого обмена теплом между газом и внешней средой не происходит. § 98 ВЯЗКОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ПО ТРУБЕ 505 При скоростях течения порядка или превышающих скорость звука (о которых только и идет здесь речь) течение газа по тру- бе является, конечно, турбулентным (если только радиус трубы не слишком мал). Турбулентность движения будет существен- на здесь для нас только в одном отношении. Именно, мы видели в § 43, что при турбулентном течении скорость (средняя) практи- чески постоянна почти по всему сечению трубы и быстро падает до нуля лишь на очень близких расстояниях от стенок. На этом основании мы будем считать скорость течения v просто постоян- ной по всему сечению трубы, определив ее так, чтобы произве- дение pvS (S — площадь сечения) было равно полному расходу газа через сечение трубы. Поскольку полный расход газа pvS постоянен вдоль всей дли- ны трубы, a S постоянно по предположению, то должна быть постоянной также и плотность потока газа j = pv = const. (98.1) Далее, поскольку труба теплоизолирована, то вдоль нее должен быть постоянным также и полный поток энергии, переносимой газом через поперечное сечение трубы. Этот поток равен pvS(w + v2/2I и ввиду (98.1) можно написать: w + ^ = w + Ш— = const. (98.2) 2 2 Что же касается энтропии газа «s, то благодаря наличию вну- треннего трения она, конечно, отнюдь не остается постоянной, а возрастает по мере движения газа вперед по трубе. Если х — координата вдоль оси трубы, причем положительное направле- ние оси х совпадает с направлением течения, то — > 0. (98.3) dx Продифференцируем теперь соотношение (98.2) по х. Помня, что dw = T ds + V dp, имеем T— + V^-+j2V— = 0. dx dx dx Далее, подставляя сюда f = (f) f + (f) * (98.4) dx \ op / s dx \ ds J p dx получаем - (985) Согласно известной термодинамической формуле \ds )p~ cp \дт 506 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X Коэффициент теплового расширения газов положителен. Поэто- му в силу (98.3) заключаем, что положительно также и все вы- ражение в левой части равенства (98.5). Знак же производной dp/'dx совпадет, следовательно, со знаком выражения Мы видим, что ^ < 0 при v < с, ^ > 0 при v > с. (98.6) dx dx Таким образом, при дозвуковом течении давление падает вниз по течению (как и для несжимаемой жидкости). При сверхзвуковом же движении давление возрастает вдоль трубы. Аналогичным образом можно установить знак производной dv/dx. Ввиду того, что j = v/V = const, знак dv/dx совпадает со знаком производной dV/dx. Последняя же может быть выраже- на через положительную производную ds/dx с помощью (98.4), (98.5). В результате найдем, что — < 0 при v < с, — > 0 при v > с, (98.7) dx dx т. е. скорость возрастает вниз по течению при дозвуковом и па- дает при сверхзвуковом движении. Любые две термодинамические величины текущего вдоль трубы газа являются функциями друг от друга, совершенно не зависящими, в частности, от закона сопротивления трубы. Эти функции зависят как от параметра от значения постоянной j и определяются уравнением w + j2V2/2 = const, получающимся путем исключения скорости из уравнений сохранения массы и энергии газа. Выясним характер, который имеют кривые зависимости, на- пример, энтропии от давления. Переписав (98.5) в виде ds _ у v2/c2 - 1 мы видим, что в точке, где v = с, энтропия имеет экстремум. Легко видеть, что этот экстремум является максимумом. Дей- ствительно, для значения второй производной от s по р имеем в этой точке: — <0 dp (что связано с предполагающейся везде положительностью про- изводной (d2V/dp2)s). ВЯЗКОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ПО ТРУБЕ 507 Таким образом, кривые зависимости s от р имеют вид, изо- браженный на рис. 73. Справа от максимумов лежит область дозвуковых, а слева — сверхзвуковых скоростей. При увеличе- нии параметра j мы переходим от более высоких к более низко расположенным кривым. Действительно, продифференцировав уравнение (98.2) по j при постоянном р, получим ^? = -v- v>c v<c Рис. 73 <0. Из полученных результатов можно сделать интересный вы- вод. Пусть на входе трубы скорость газа меньше скорости звука. По направлению вниз по течению эн- тропия растет, а давление падает; это соответствует передвижению по правой ветви кривой s = s(p) по направлению от В к О (рис. 73). Так может, однако, продолжаться лишь до тех пор, пока эн- тропия не достигнет своего максималь- ного значения. Дальнейшее передвиже- ние по кривой за точку О (т. е. в область сверхзвуковых скоростей) невозможно, так как оно соответствовало бы умень- шению энтропии газа по мере его тече- ния по трубе. Переход с ветви В О на ветвь О А кривой не может произойти также и посредством возникновения ударной волны, так как скорость «втекающего» в ударную волну газа не может быть дозвуковой. Таким образом, мы приходим к выводу, что если на входе трубы скорость газа меньше скорости звука, то движение остает- ся дозвуковым и на всем дальнейшем ее протяжении. Скорость, равная местной скорости звука, если и достигается вообще, то только на выходном конце трубы (при достаточно низком давле- нии во внешней среде, в которую выпускается газ). Для того чтобы осуществить сверхзвуковое течение газа по трубе, необходимо впускать газ в трубу уже со сверхзвуковой скоростью. В связи с общими свойствами сверхзвукового движе- ния (невозможностью распространения возмущений вверх по те- чению) дальнейшее течение газа будет происходить совершенно независимо от условий на выходе из трубы. В частности, будет происходить совершенно определенным образом возрастание эн- тропии вдоль длины трубы, и максимальное ее значение будет достигнуто на определенном расстоянии х = /& от входа. Если полная длина трубы / < /&, то течение будет сверхзвуковым на всем ее протяжении (чему соответствует перемещение по ветви АО по направлению от А к О). Если же / > /&, то течение не 508 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X может быть сверхзвуковым на всем протяжении трубы и в то же время не может перейти плавным образом в дозвуковое, так как передвигаться по ветви ОВ кривой можно лишь в направ- лении, указанном стрелкой. Поэтому в этом случае неизбежно возникновение ударной волны, переводящей движение скачком из сверх- в дозвуковое. При этом давление возрастает, мы пе- реходим с ветви АО на ветвь В О, минуя точку О, и на всем остальном протяжении трубы течение будет дозвуковым.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вязкое движение сжимаемого газа по трубе» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
