Соблюдение условий эволюционности само по себе необходи- мо, но еще недостаточно для гарантирования устойчивости удар- ной волны. Волна может оказаться неустойчивой по отношению к возмущениям, характеризующимся периодичностью вдоль по- верхности разрыва и представляющим собой как бы «рябь», или «гофрировку», на этой поверхности (такого рода возмущения § 90 ГОФРИРОВОЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН 471 рассматривались уже в § 29 для тангенциальных разрывов) . Покажем, каким образом исследуется этот вопрос для ударных волн в произвольной среде (СП. Дьяков, 1954). Пусть ударная волна покоится, занимая плоскость х = 0; жидкость движется сквозь нее слева направо, в положительном направлении оси х. Пусть поверхность разрыва испытывает воз- мущение, при котором ее точки смещаются вдоль оси х на малую величину ? = ?ое*(М-"*)? (90.1) где ку — волновой вектор «ряби». Эта рябь на поверхности вызы- вает возмущение течения позади ударной волны, в области х > 0 (течение же перед разрывом, х < 0, не испытывает возмущения в силу своей сверхзвуковой скорости). Произвольное возмущение течения складывается из энтро- пийно-вихревой волны и звуковой волны (см. задачу к § 82). В обоих зависимость величин от времени и координат дается мно- жителем вида ехр [г(kr — cot)] с той же частотой со, что и в (90.1). Из соображений симметрии очевидно, что волновой вектор к ле- жит в плоскости ху] его у-компонента совпадает с ку в (90.1), а ж-компонента различна для возмущений двух типов. В энтропийно-вихревой волне kv2 = со, т. е. кх = со/1J (v2 — невозмущенная скорость газа за разрывом). В этой волне возму- щение давления отсутствует, возмущение удельного объема свя- зано с возмущением энтропии, SV^3UT^ = (dV/ds)p Ss, а возмуще- ние скорости подчинено условию В звуковой волне в движущемся газе связь между часто- той и волновым вектором дается равенством (со — kvJ = с2к2 (см.F8.1)); поэтому кх в этой волне определяется уравнением (co-kxv2J = c2(k2x + k2y). (90.3) Возмущения давления, удельного объема и скорости связаны со- отношениями: [ \ (90.4) (и - «2Jfex)<JvCB) = V2\a^(зв)• (90.5) Возмущение в целом представляется линейной комбинацией возмущений обоих типов: <fo = <fo(9HT)+&/9B), 8V = 8V^T) + 5V{m\ 5p = 8p{-m\ (90.6) ) Неустойчивость по отношению к таким возмущениям называют гофри- ровочной (corrugation instability по английской терминологии). 472 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX Оно должно удовлетворять определенным граничным условиям на возмущенной поверхности разрыва. Прежде всего, на этой поверхности должна быть непрерывна тангенциальная к ней составляющая скорости, а скачок нормальной составляющей дол- жен выражаться через возмущенные давление и плотность равенством (85.7). Эти условия записы- ваются как vi t = (v2 + 5v)t, vm - (v2 + <*v)n = [(p2 - Pi + 8p){Vi -V2- 6V)}1/2, где t и n — единичные векторы касательной и нор- мали к поверхности разрыва (рис. 59). С точностью до величин первого порядка малости компоненты ис' этих векторов (в плоскости ху) равны t(ik(, 1) и пA, — ikQ] выражение ikC^ возникает как производная д(^/ду. С этой же точностью граничные условия для скорости принимают вид \^^\ (90.7) 2 — Pi vi — Далее, возмущенные значения p2 + dp и V2 + SV2 должны удовлетворять тому же уравнению адиабаты Гюгонио, что и не- возмущенные р2 и V2- Отсюда получаем условие, связывающее др и SV: $р = *E1SV, (90.8) (IV2 где производная берется вдоль адиабаты. Наконец, еще одно соотношение возникает из связи между по- током вещества через поверхность разрыва и скачками давления и плотности на ней. Для невозмущенного разрыва это соотноше- ние выражается формулой (85.6), а для возмущенного аналогич- ное соотношение есть i-(vm-unJ= V!-V2-SV где и — скорость точек поверхности разрыва. В первом прибли- жении по малым величинам имеем un = —гоо(] разлагая напи- санное равенство также и по степеням др и dV, получим 2^с = 8р + SV (909) с + ^ (909) Vl P2 - Pi Vl - V2 Равенства (90.2), (90.4), (90.5), (90.7)-(90.9) составляют си- стему восьми линейных алгебраических уравнений для восьми § 90 ГОФРИРОВОЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН 473 величин ?, Sp, 8VCHT\ 6V^3B\ Svi^y •> Svx*y *) • Условие совмест- ности этих уравнений (выражаемое равенством нулю определи- теля их коэффициентов) имеет вид — (ку + 4)-(— + kl) (" - v?ky)A + h) = 0. (90Л0) vi \ Щ J \viv2 / где для краткости введено обозначение h = j2\dtV2/'Ф2) •> aJ имеет обычный смысл: j = v\/V\ = г^/Т^. Величину кх в (90.10) надо понимать как функцию ку и о;, определяемую равенством (90.3). Условие неустойчивости состоит в существовании возмуще- ний, экспоненциально возрастающих со временем, причем они должны экспоненциально убывать с удалением от поверхности разрыва (т. е. при х —>> оо); последнее условие означает, что ис- точником возмущения является сама ударная волна, а не какой- то внешний по отношению к ней источник. Другими словами, волна неустойчива, если уравнение (90.10) имеет решения, у ко- торых Imo; > 0, 1т?;ж>0. (90.11) Исследование уравнения (90.10) на предмет выяснения усло- вий существования таких решений довольно громоздко. Мы не будем производить его здесь, ограничившись указанием оконча- тельного результата 2) . Гофрировочная неустойчивость ударной волны возникает, если j2^ < -1, (90.12) dp2 или c2 напомним, что производная берется вдоль ударной адиабаты (при заданных pi, Vi) 3) . Условия (90.12), (90.13) отвечают наличию у уравнения (90.10) комплексных корней, удовлетворяющих требованиям (90.11). Но в определенных условиях это уравнение может иметь также и 1)Все эти равенства берутся при х = 0, и под перечисленными величи- нами в них могут подразумеваться постоянные амплитуды, без переменных экспоненциальных множителей. 2) Это исследование можно найти в оригинальной статье: Дьяков СП. // ЖЭТФ. 1954. Т. 27. С. 288. В следующем параграфе будет приведено еще и менее строгое, но более наглядное обоснование условий (90.12), (90.13). 3) Отметим, что при выводе (90.12), (90.13) используется только обяза- тельное условие (88.1), но не используется неравенство р2 > р\. Поэтому эти условия неустойчивости относятся и к ударным волнам разрежения, кото- рые могли бы существовать при (d2V/dp2)s < 0. 474 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX корни с вещественными ио и kx, отвечающие «уходящим» от раз- рыва реальным незатухающим звуковым и энтропийным волнам, т.е. спонтанному излучению звука поверхностью разрыва. Мы будем говорить о такой ситуации как об особом виде неустойчи- вости ударной волны, хотя неустойчивости в буквальном смысле здесь нет, — раз созданное на поверхности разрыва возмущение (рябь) неограниченно долго продолжает излучать волны, не за- тухая и не усиливаясь при этом; энергия, уносимая излучаемыми волнами, черпается из всей движущейся среды х) . Для определения условий возникновения этого явления, пре- образуем уравнение (90.10), введя угол в между к и осью х\ тогда с2кх = с^о cos 6, с2ку = ooq sin#, ш2=с2(к2 + к2) (9°Л4) (ojq — частота звука в системе координат, движущейся вместе с газом за ударной волной), и получаем квадратное относительно cos в уравнение: + ij cos^ + [ 1 + h V2 J C2 L 1 + h + 1 + а (дол5) 1 + h \ c| / Скорость распространения звуковой волны в движущемся со ско- ростью V2 газе, по отношению к неподвижной поверхности раз- рыва, есть V2 + С2 cos в. Звуковая волна будет уходящей, если эта сумма положительна, т. е. если -v2/c2 <cos<9< I (90.16) (значения cos в < 0 отвечают случаям, когда вектор к направ- лен в сторону разрыва, но снос звуковой волны движущимся га- зом делает ее все же «уходящей»). Спонтанное излучение звука ударной волной возникает, если уравнение (90.15) имеет корень, лежащий в этих пределах. Простое исследование приводит к сле- дующим неравенствам, определяющим область этой неустойчи- вости 2) l-v2/c2-vlV2/c2 (нижний и верхний пределы здесь фактически отвечают ниж- нему и верхнему пределам в условиях (90.16)). Область (90.17) примыкает к области неустойчивости (90.13), расширяя ее. 1) Сравните с аналогичной ситуацией для тангенциальных разрывов — задача 2 § 84. ) Эта неустойчивость тоже была указана СП. Дьяковым A954); правиль- ное значение нижней границы в (90.17) найдено В.М. Конторовичем A957). § 90 ГОФРИРОВОЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН 475 К происхождению неустойчивости ударных волн в области (90.17) можно подойти также и с несколько иной точки зрения, рассмотрев отражение от поверхности разрыва звука, падающе- го на нее со стороны сжатого газа. Поскольку ударная волна движется относительно газа впереди нее со сверхзвуковой ско- ростью, то в этот газ звук не проникает. В газе же позади вол- ны будем иметь, наряду с падающей звуковой волной, еще и от- раженную звуковую и энтропийно-вихревую волны (а на самой поверхности разрыва возникает рябь). Задача об определении коэффициента отражения по своей постановке близка к задаче об исследовании устойчивости. Разница состоит в том, что на- ряду с подлежащими определению амплитудами исходящих от разрыва (отраженных) волн в граничных условиях фигуриру- ет еще и заданная амплитуда приходящей (падающей) звуковой волны. Вместо системы однородных алгебраических уравнений мы будем иметь теперь систему неоднородных уравнений, в кото- рых роль неоднородности играют члены с амплитудой падающей волны. Решение этой системы дается выражениями, в знамена- телях которых стоит определитель однородных уравнений, —как раз тот, приравнивание которого нулю дает дисперсионное урав- нение спонтанных возмущений (90.10). Тот факт, что в области (90.17) это уравнение имеет вещественные корни для cos б, озна- чает, что существуют определенные значения угла отражения (и тем самым угла падения), при которых коэффициент отражения становится бесконечным. Это — другая формулировка возможно- сти спонтанного излучения звука, т. е. излучения без падающей извне звуковой волны. То же самое относится и к коэффициенту прохождения зву- ка, падающего на поверхность разрыва спереди, навстречу ей. В этом случае не существует отраженной волны, а позади поверх- ности разрыва возникают прошедшие звуковая и энтропийно- вихревая волны. В области (90.17) возможно обращение коэф- фициента прохождения в бесконечность . Скажем несколько слов о некоторых возможных, в принци- пе, типах ударных адиабат, содержащих области рассмотренных неустойчивостей 2) . 1) Вычисление коэффициентов отражения и прохождения звука на удар- ной волне при произвольных направлениях падения в произвольных сре- дах см.: Дьяков СП. II ЖЭТФ. 1957. Т. 33. С. 948, 962; Конторо- вич В.М. II ЖЭТФ. 1957. Т. 33. С. 1527; Акустический журнал. 1959. Т. 5. С. 314. 2)В политропном газе h = — (ci/^iJ, в чем легко убедиться с помощью полученных в § 89 формул. Ни одно из условий (90.12), (90.13) и (90.17) при этом заведомо не выполняется, так что ударная волна устойчива. Устойчи- вы, конечно, также и ударные волны слабой интенсивности в произвольной среде. 476 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX Условие (90.12) требует отрицательной производной причем ударная адиабата должна быть наклонена (к оси аб- сцисс) в точке 2 менее круто, чем проведенная в нее хорда 12 (т. е. обратно тому, что имеет место в обычных случаях — рис. 53). Для этого адиабата должна перегнуться, как показано на рис. 60; условие неустойчивости (90.12) выполняется на участке ab. Рис. 60 Рис. 61 Условие (90.13) требует положительности производной dp2/dV2-) причем наклон адиабаты должен быть достаточно мал. На рис. 60 это условие выполняется на определенных отрезках адиабаты, непосредственно примыкающих к точкам а и b и рас- ширяющих, таким образом, область неустойчивости. Условие (90.13) может оказаться выполненным и на участке (cd на рис. 61) адиабаты, не содержащей участка типа ab. Условие (90.17) еще менее жестко, чем (90.13) и еще допол- нительно расширяет область неустойчивости на адиабатах Гю- гонио с dp2/dV2 > 0. Более того, нижний предел в (90.17) может быть отрицательным, так что неустойчивость этого типа может, в принципе, иметь место и в некоторых участках адиабат обыч- ного вида, со всюду отрицательной производной dp2/dV2. Вопрос о судьбе гофрировочно-неустойчивых ударных волн тесно связан со следующим замечательным обстоятельством: при выполнении условий (90.12) или (90.13) решение гидродинамиче- ских уравнений оказывается неоднозначным (C.S. Gardner, 1963). Для двух состояний среды, 1 и2, связанных друг с дру- гом соотношениями (85.1)—(85.3), ударная волна является обыч- но единственным решением задачи (одномерной) о течении, пе- реводящем среду из состояния 1 в 2. Оказывается, что если в состоянии 2 выполнены условия (90.12) или (90.13), то решение указанной гидродинамической задачи не однозначно: переход из состояния 1 в 2 может быть осуществлен не только в ударной волне, но и через более сложную систему волн. Это второе ре- шение (его можно назвать распадным) состоит из ударной вол- ны меньшей интенсивности, следующего за ней контактного раз- рыва и из изэнтропической нестационарной волны разрежения § 90 ГОФРИРОВОЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН 477 (см. ниже § 99), распространяющейся (относительно газа поза- ди ударной волны) в противоположном направлении; в ударной волне энтропия увеличивается от «si до некоторого значения 53 < < 52, а дальнейшее увеличение от 53 до заданного 52 происходит скачком в контактном разрыве (эта картина относится к типу, изображенному ниже на рис. 78 б] предполагается выполненным неравенство (86.2)) г). Вопрос о том, чем определяется отбор одного из двух реше- ний в конкретных гидродинамических задачах, не ясен. Если от- бирается распадное решение, то это означало бы, что неустой- чивость ударной волны с самопроизвольным усилением поверх- ностной ряби вообще не осуществляется. По-видимому, однако, такой отбор не может быть связан именно с этой неустойчиво- стью, поскольку неоднозначность решения не ограничена усло- виями (90.12), (90.13) 2).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Гофрировочная неустойчивость ударных волн» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 