Разрыв непрерывности в движении газа имеет место вдоль некоторых поверхностей; при прохождении через такую поверх- ность указанные величины испытывают скачок. Эти поверхности называют поверхностями разрыва. При нестационарном движе- нии газа поверхности разрыва не остаются, вообще говоря, непо- движными; необходимо при этом подчеркнуть, что скорость дви- жения поверхности разрыва не имеет ничего общего со скоро- стью движения самого газа. Частицы газа при своем движении могут проходить через эту поверхность, пересекая ее. На поверхностях разрыва должны выполняться определен- ные граничные условия. Для формулирования этих условий рас- смотрим какой-нибудь элемент поверхности разрыва и восполь- зуемся связанной с этим элементом системой координат с осью ж, направленной по нормали к нему г) . Во-первых, на поверхности разрыва должен быть непреры- вен поток вещества: количество газа, входящего с одной стороны, должно быть равно количеству газа, выходящему с другой сто- роны поверхности. Поток газа через рассматриваемый элемент поверхности (отнесенный на единицу площади) равен pvx. По- ) Если движение нестационарно, то мы рассматриваем элемент поверхно- сти в течение малого интервала времени. 15 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI 450 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX этому должно выполняться условие pivix = P2V2x, где индексы 1 и 2 относятся к двум сторонам поверхности разрыва. Разность значений какой-либо величины с обеих сторон по- верхности разрыва мы будем ниже обозначать с помощью ква- дратных скобок; так, и полученное условие напишется в виде [pvx] = 0. (84.1) Далее, должен быть непрерывным поток энергии. Поток энер- гии определяется выражением F.3). Поэтому мы получаем условие [(? )]0. (84.2) Наконец, должен быть непрерывен поток импульса, т. е. дол- жны быть равны силы, с которыми действуют друг на друга газы по обеим сторонам поверхности разрыва. Поток импульса через единицу площади равен (см. § 7) рщ Вектор нормали п направлен по оси х. Поэтому непрерывность ж-компоненты потока импульса приводит к условию [p + pvl]=0, (84.3) а непрерывность у- и ^-компонент дает [pvxvy] = 0, [pvxvz] = 0. (84.4) Уравнения (84.1)—(84.4) представляют собой полную систе- му граничных условий на поверхности разрыва. Из них можно сразу сделать вывод о возможности существования двух типов поверхностей разрыва. В первом случае через поверхность разрыва нет потока ве- щества. Это значит, что piv\x = P2V2X — 0. Поскольку р\ и р2 ОТЛИЧНЫ ОТ НуЛЯ, ТО ЭТО ЗНаЧИТ, ЧТО ДОЛЖНО быТЬ Vix = V2x = 0. Условия (84.2) и (84.4) в этом случае удовлетворяются автомати- чески, а условие (84.3) дает р\ = Р2- Таким образом, на поверхно- сти разрыва в этом случае непрерывны нормальная компонента скорости и давление газа: vix = V2x = 0, [р] = 0. (84.5) Тангенциальные же скорости vyi vz и плотность (а также другие термодинамические величины, кроме давления) могут испыты- вать произвольный скачок. Такие разрывы будем называть тан- генциальными. § 84 ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА 451 Во втором случае поток вещества, а с ним и v\x и V2X отличны от нуля. Тогда из (84.1) и (84.4) имеем Ы = О, Ы = 0, (84.6) т. е. тангенциальная скорость непрерывна на поверхности разры- ва. Плотность же, давление (а потому и другие термодинамиче- ские величины) и нормальная скорость испытывают скачок, при- чем скачки этих величин связаны соотношениями (84.1)—(84.3). В условии (84.2) мы можем в силу (84.1) сократить pvXl а вме- сто v2 в силу непрерывности vy и vz написать v2. Таким обра- зом, на поверхности разрыва в рассматриваемом случае должны иметь место условия: \р»х\ = 0, [| + w] = 0, \р + pv2x] = 0. (84.7) Разрывы этого типа называют ударными волнами. Если теперь вернуться к неподвижной системе координат, то вместо vx надо везде писать разность между нормальной к по- верхности разрыва компонентой vn скорости газа и скоростью и самой поверхности, направленной, по определению, по нормали к ней: vx = Vn — и. (84.8) Скорости vn и и берутся относительно неподвижной системы от- счета. Скорость vx есть скорость движения газа относительно поверхности разрыва; иначе можно сказать, что — vx = и — vn есть скорость распространения самой поверхности разрыва от- носительно газа. Обращаем внимание на то, что эта скорость различна по отношению к газу с обеих сторон поверхности (если vx испытывает разрыв). Тангенциальные разрывы, на которых испытывают скачок касательные компоненты скорости, рассматривались нами уже в § 29. Там было показано, что в несжимаемой жидкости такие разрывы неустойчивы и должны размываться в турбулентную область. Аналогичное исследование для сжимаемой жидкости показывает, что такая неустойчивость имеет место и в общем случае произвольных скоростей (см. задачу 1). Частным случаем тангенциальных разрывов являются раз- рывы, в которых скорость непрерывна и испытывает скачок только плотность (а с ней и другие термодинамические величины за исключением давления); такие разрывы называют контакт- ными. Сказанное выше о неустойчивости к ним не относится.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Поверхности разрыва» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
