При выводе уравнений звуковой волны в § 64 предполага- лось, что волна распространяется в однородной среде. В частно- сти, плотность среды ро и скорость звука в ней с рассматрива- лись как постоянные величины. Имея в виду получить некото- рые общие соотношения, применимые и в общем случае произ- вольной неоднородной среды, выведем предварительно уравне- ние распространения звука в такой среде. Напишем уравнение непрерывности в виде — + pdivv = 0. dt Но в силу адиабатичности звука имеем ( ( dt \dpJs dt с2 dt с2 \dt и уравнение непрерывности приводится к виду ^ 2 = 0. dt Положим, как обычно, р = ро + /У, причем ро является те- перь заданной функцией координат. Что же касается давления, то в р = ро + pf должно по-прежнему быть ро = const, поскольку в равновесии давление должно быть постоянно вдоль всей сре- ды (если, конечно, отсутствует внешнее поле). Таким образом, с точностью до величин второго порядка малости имеем dt Это уравнение совпадает по форме с уравнением F4.5), но коэффициент рс2 в нем есть функция координат. Что касается уравнения Эйлера, то мы имеем, как и в § 64: <9v \7p Исключая v из обоих этих уравнений (и опуская индекс у ро), по- лучаем окончательно уравнение распространения звука в неод- нородной среде: W 1 dV div —*— — — = U. Gо.1) р рс2 dt2 Если речь идет о монохроматической волне с частотой о;, то Yl + 2Lp' = 0. G6.2) р рс2 Рассмотрим звуковую волну, излучаемую источником неболь- ших размеров, совершающим пульсационные колебания (такое р' = — аГ_р', так что 410 звук гл. viii излучение, как мы видели в § 74, изотропно). Обозначим точку, в которой находится источник, через А, а давление р' в излу- чаемой им волне в точке В х) через рл(В). Если тот же самый источник помещен в точку Б, то создаваемое им в точке А дав- ление обозначим соответственно через рв(А). Выведем соотно- шение между ра(В) и рв(А). Для этого воспользуемся уравнением G6.2), применив его один раз к излучению источника, находящегося в точке А, а дру- гой раз —к излучению источника, находящегося в В: div -z± + —рА = 0, div -J2- + —рв = 0. р рс2 р рс2 Умножим первое уравнение на р'в, а второе на р'А, и вычтем второе из первого. Получаем р'в div М _ р'А div М = divf ^^ - &Щ = 0. Р р \ р р J Проинтегрируем это уравнение по объему, заключенному между бесконечно удаленной замкнутой поверхностью С и двумя ма- лыми сферами С а и Св-> окружающими соответственно точки А и В. Объемный интеграл преобразуется в интеграл по этим трем поверхностям, причем интеграл по С обращается в нуль, поскольку на бесконечности звуковое поле исчезает. Таким обра- зом, получаем / {^ ^) f = 0. G6.3) Внутри малой сферы С а давление р'А в волне, создаваемой источником, находящимся в А, быстро меняется с расстоянием от А, и потому градиент Vp'A велик. Давление же p'Bl создавае- мое источником, находящимся в Б, в области вблизи точки А, значительно удаленной от Б, является медленно меняющейся функцией координат, так что его градиент Vp'B относительно мал. При достаточно малом радиусе сферы С а можно поэтому в интеграле по ней пренебречь вторым членом подынтеграль- ного выражения по сравнению с первым, а в последнем можно вынести почти постоянную величину р'в из-под знака интеграла, заменив ее значением в точке А. Аналогичные рассуждения при- менимы к интегралу по сфере С#, и в результате мы получаем из G6.3) следующее соотношение: р'в(А) Са Св ) Размеры источника должны быть малыми по сравнению с расстоянием между А и В, а также по сравнению с длиной волны. § 76 ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ 411 Но Vp'/р = —dw/dt] поэтому это равенство можно переписать в виде СА Св Интеграл / лгд df представляет собой количество жидкости, СА протекающей через поверхность сферы С а в единицу времени, т. е. изменение (в 1 с) объема пульсирующего источника звука. Поскольку источники в точках А ж В тождественны, то ясно, что / vA rff = / vB rff, С а Св и, следовательно, р'А(В)=р'в(А). G6.4) Это равенство представляет собой содержание так называе- мого принципа взаимности: давление, создаваемое в точке В ис- точником, находящимся в точке А, равно давлению, создаваемо- му в А таким же источником, находящимся в В. Подчеркнем, что этот результат относится, в частности, и к тому случаю, когда среда представляет собой совокупность нескольких различных областей, каждая из которых однородна. При распространении звука в такой среде на поверхностях раздела различных областей происходит отражение и преломление. Таким образом, принцип взаимности применим и в тех случаях, когда на пути своего рас- пространения от точки А к В и обратно волна испытывает от- ражения и преломления.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Принцип взаимности» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
