Турбулентные пульсации скорости тоже являются источни- ком возбуждения звука в окружающем объеме жидкости. В этом параграфе будет изложена общая теория этого явления (M.J. Lighthill, 1952). Будет рассматриваться ситуация, когда турбулентность занимает конечную область Vb, окруженную неограниченным объемом неподвижной жидкости. При этом са- мая турбулентность рассматривается в рамках теории несжима- емой жидкости — вызываемым пульсациями изменением плотно- сти пренебрегаем; это значит, что скорость турбулентного дви- жения предполагается малой по сравнению со скоростью звука (как это предполагалось и во всей гл. III). Начнем с вывода общего уравнения, учитывающего, наряду с движением в звуковых волнах, также и движение жидкости в турбулентной области. Отличие от произведенного в § 64 вывода состоит лишь в том, что должен быть сохранен нелинейный член (vV)v — хотя скорость v мала по сравнению с с, но она велика по сравнению со скоростью жидкости в звуковой волне. Поэтому вместо F4.3) имеем — + (vV)v + -Vpf = 0. ot ро Применив к этому уравнению операцию div и используя уравне- ние F4.5) -?- + рос2 div v = 0, ot получим Правую часть этого уравнения можно преобразовать с помощью уравнения непрерывности divv = 0 (турбулентность рассматри- вается как несжимаемая!): можно вынести знак дифференциро- вания по Хк из-под скобок. Окончательно имеем (индекс у ро снова опускаем). Вне турбулентной области выра- жение в правой части этого уравнения представляет собой ма- лую величину второго порядка и может быть опущено, так что мы возвращаемся к волновому уравнению распространения зву- ка. Правая же часть, отличная от нуля в объеме Vo, играет роль источника звука. В этом объеме v — скорость турбулентного дви- жения. 406 звук гл. viii Уравнение G5.1) —типа уравнения запаздывающих потенци- алов. Решение этого уравнения, описывающее исходящее от ис- точника излучение, есть p'(r, t) = JL{ ^Tu^hU ™. G5.2) 4тг J dxdx tR/ R dxudxik t-R/c R (см. II, § 62). Здесь г — радиус-вектор точки наблюдения, ri — бегущей точки в области интегрирования, R = |r — ri|; подын- тегральное выражение берется в «запаздывающий» момент вре- мени t — R/c. Интегрирование в G5.2) фактически производится лишь по объему Vb, в котором подынтегральное выражение от- лично от нуля. Основная часть энергии турбулентного движения заключена в частотах ~и/1, отвечающих основному масштабу турбулент- ности Z; ^ — характерная скорость движения (см. § 33). Таковы же будут, очевидно, и основные частоты в спектре излучаемых звуковых волн. Соответствующие же длины волн А ~ cl/u ^> I. Для определения интенсивности излучения достаточно рас- смотреть звуковое поле на расстояниях, больших по сравнению с длиной волны А (в «волновой зоне»), эти расстояния велики и по сравнению с линейными размерами источника — турбулент- ной области х) . Множитель 1/R в подынтегральном выражении в этой зоне можно заменить множителем 1/г и вынести его из- под знака интеграла (г — расстояние точки наблюдения до нача- ла координат, выбранного где-либо внутри источника); тем са- мым мы пренебрегаем членами, убывающими быстрее, чем 1/г, которые все равно не дают вклада в интенсивность уходящих на бесконечность волн. Таким образом, р'(г, t) = -?- Г 32г**(Г1>*) dVi. G5.3) 4тгг J охц дх\к t—R/c Производные в подынтегральном выражении берутся до взя- тия значения при t — R/c, т. е. только по первому аргументу функций T^(ri, t). Эти производные можно заменить производ- ными от функций Tjfc(r, t — R/c), взятыми по обоим аргументам, вычитая из них каждый раз производные по второму аргументу. Первые представляют собой полные дивергенции и интегралы от них, будучи преобразованы в интегралы по удаленным замкну- тым поверхностям, обращаются в нуль, поскольку вне турбулент- ной области Tik = 0. Производные же по «текущим» координа- там ri, входящим в состав аргумента t — R/c, можно заменить производными по координатам точки наблюдения г, поскольку г г) Говоря о порядках величин, мы не проводим различия между основным масштабом / и размерами турбулентной области, хотя последние и могут заметно превышать первый. § 75 ВОЗБУЖДЕНИЕ ЗВУКА ТУРБУЛЕНТНОСТЬЮ 407 и ri входят только в виде разности R = |r — ri|. Таким образом, приходим к выражению р'^ *) = -Г7Г1Г /г*(гь *" -) dVl- G5-4) 4тгг axi дхк J \ с / Время t — R/ с отличается от времени t — г/с на интервал ~ 1/с. Но такой интервал времени мал по сравнению с периодами 1/и основных турбулентных пульсаций. Это позволяет заменить аргумент t — R/ с в подынтегральном выражении на t — г/с = = т х) . Производя после этого дифференцирование под знаком интеграла, и заметив, что dr/dxi = щ (п — единичный вектор в направлении г), получим р'(г, t) = -^rurik ffik(TU r)dVu G5.5) 4тгс2г J где точка означает дифференцирование по т. Тензор Tikj как и всякий симметричный тензор с неравным нулю следом, может быть представлен в виде fik = fa - \fu8ik) + ifuSik = Qik + Q8ik, G5.6) где Q^ — «неприводимый» тензор с равным нулю следом, a Q — скаляр. Тогда сферическая волна G5.5) разобьется на сумму двух членов p'(r, t) = -JL-IjQin, T)dVi+ninkfQik(ri, r)dvX G5.7) из которых первый представляет собой излучение монопольного, а второй — квадрупольного источника. Вычислим полную интенсивность излучения. Плотность по- тока звуковой энергии в волновой зоне направлена в каждой точ- ке вдоль направления п, а по величине равна q = р'2/(ср). Пол- ная интенсивность получается умножением q на г2do и интегри- рованием по всем направлениям п 2) . Фактически нас интере- сует, однако, не мгновенное пульсирующее значение интенсивно- сти, а ее усредненное по времени значение (турбулентность пред- полагается при этом «стационарной»). Эту последнюю операцию 1) При этом мы отказываемся от рассмотрения спектрального состава из- лучения и ограничиваемся основными частотами, определяющими полную интенсивность. Отметим также, что указанную замену нельзя было бы про- извести на более ранней стадии преобразований, в G5.3), поскольку интеграл обратился бы в нуль. ) Интегрирование по направлениям п осуществляется следующими выра- жениями для средних значений произведений двух или четырех компонент вектора п: ГЦПк = Sik, ПъПкЩПт = (SikSlm + 6ц6кт + ^irn^kl)- 3 15 408 звук гл. viii осуществляем, написав квадрат интегралов в виде двойных ин- тегралов и производя усреднение (которое обозначаем угловыми скобками) под знаком интегралов. В результате получим следую- щий результат: = /7Мгь r)Q(r2, r)} dVi dV2 + ff(Qik(n, r)Qik(r2, r)} dV! dV2. G5.8) «Перекрестное» произведение двух членов в G5.7) при интегри- ровании по направлениям выпадает, так что полная интенсив- ность оказывается равной сумме монопольного и квадрупольно- го излучений. Обе эти части в данном случае — вообще говоря, одинакового порядка величины. Оценим этот порядок величины (вернее — выясним зависи- мость / от параметров турбулентного движения). Компоненты тензора Т^ ~ и2, где и — характерная скорость турбулентного движения. Каждое дифференцирование по времени умножает этот порядок величин на характерную частоту и/1. Поэтому Q~ ^u^/l2. Корреляция между скоростями турбулентных пульсаций в различных точках простирается на расстояния ~1. Поэтому количество энергии, испускаемой в виде звука единицей массы турбулентной среды в единицу времени 7з и8 l = G5-9) Интенсивность излучения пропорциональна, таким образом, восьмой степени скорости турбулентного движения. Турбулентное движение поддерживается за счет мощности, подводимой от некоторого внешнего источника. В «стационар- ном» случае эта мощность совпадает с диссипируемой в единицу времени энергией. Отнесенная к единице массы, эта последняя ?дисс ~ и3/I . Акустический коэффициент полезного действия можно определить как отношение излучаемой мощности к дис- сипируемой: ^2^~(-M. G5.10) Стоящая здесь высокая степень отношения и/с приводит к тому, что при и/с <^ 1 эффективность турбулентности как излучателя звука низка.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Возбуждение звука турбулентностью» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Акустический коэффициент полезного действия 